河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题扫描版含答案

定州市2021—2022学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案

1．【答案】A

【详解】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：A．

2．【答案】C

【详解】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以．故选：C．

3．【答案】D

【详解】点关于平面对称点为，

点关于轴对称点为点为，

所以，故选：D

4．【答案】C

【详解】，则.

取，解得，故直线过定点,必过第三象限.故选：C

5．【答案】D

【详解】∵方程，

表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，

∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；

∴；∴椭圆的方程是，即为化简的结果．故选：D．

6．【答案】D

【详解】由题意可得，=-=-(+).

∵，，∴.故选：D.

7．【答案】C

【详解】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为，

∴，解得，即.

∴.故选：C

8．【答案】B

【详解】如图所示，在平面内，，

所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，

则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，

所以，椭圆方程为.

点在底面的投影设为点，则点为的中心，，

故点正好为椭圆短轴的一个端点，

，则，

因为，故只需计算的最大值.

设，则，

则，

当时，取最大值，

即，

因此可得，故的最大值为.故选：B.

9．【答案】ABC

【详解】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，则也是空间的一个基底，故A正确；

对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，故B正确；

对于C，由方向向量的性质得出，故C正确；

对于D，因为，所以，故D错误；故选：ABC

10．【答案】BD

【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，

∵截面与底面所成的角为，

∴椭圆的长轴长为，则，

所以，

离心率为，

当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，

则椭圆的方程为.故选：BD.

11．【答案】AD

【详解】设点，由，

得，化简得，即，故A选项正确；

对于B选项，设，由得，

又，联立方程可知无解，故B选项错误；

对于C选项，设，由M在直线上得，

又，联立方程可知无解，故C选项错误；

对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.故选：AD.

12．【答案】CD

【详解】长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，

在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

，与不垂直，故A错误；

在B中，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，

，，，，0，，，0，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

不共线，平面与平面相交，故B错误；

在C中，三棱锥的体积为：

，故C正确；

在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，

三棱锥的外接球半径，

三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．故选：CD．

13．【详解】因为焦距是，所以，

当焦点在轴时，解得，，

当焦点在轴时，解得，，

14．【答案】1

【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所以定点与圆心的距离为：，

所以则的最小值为：，

此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．

故答案为：．

15．【答案】

【详解】由已知得，

∴，又，

所以在上的投影向量的长度为.

故答案为：.

16．【答案】

【详解】由已知椭圆的方程可得：，，则，

由椭圆的定义可得，

又因为，所以，

所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以点的轨迹方程为：，

故答案为：

17．【详解】（1）因为，，

所以.…………………………………4分

（3）取轴上的单位向量，，   …………………………6分

依题意，…………………………7分

即，

故，解得，．…………………………10分

18．【详解】（1）由解得，∴点P的坐标为 …………………3分

（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：

①时，，不妨设直线l方程为：

∵直线l过点P，∴，得

 ∴直线方程为：，即     …………………7分

②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得

∵，

∴所求的直线方程为：，即 …………………11分

综上所述，所求直线方程为：或…………………12分

19．【详解】（1）圆心到直线的距离为：…………………2分

设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得：…………………4分

故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25…………………6分

（2）由题意

故过AB的直线方程为y＝－x＋2，

又A、B的中点为（1，1），

∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）

故方程为y＝x              ………………………………8分

由解得，即圆心坐标为（－1，－1），………………………9分

半径为，………………………10分

∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16………………………12分

20．【详解】（1）由题设，中，而，

∴，即，………………………2分

又面面，面面且，面，………3分

∴面，又面，则，

又且面，

∴面，又面，即面面；………………………5分

（2）由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，∴，………………6分

则，

若是面的一个法向量，则，令，即，………………………8分

若是面的一个法向量，则，

令，即，………………………10分

，………………………11分

故.………………………12分

21．【详解】方法1：（1）过作直线于，则，

设，

………………………2分

……………………4分

，即两站点A，B之间距离的40km.………………………5分

（2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图……………6分

由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，

根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为

此时直线为圆与圆的公切线.                ………………………7分

因为出入口在古建筑群和市中心之间，

由，，

圆的方程为，圆的方程为，………………………8分

设直线的方程为，

则所以，两式相除，得，所以或，

所以此时或（舍去），此时，………………………10分

当时，，………………………11分

综上，.

即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.

                                                  ………………………12分

方法2：以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图

………………………1分

（1）

                                                  ………………………2分

原点到直线AB的距离为

………………………4分

即两站点A，B之间距离的40km      .………………………………5分

（2）  .………………………………6分

                                    .………………………………7分

由题意得

 .………………………………10分

此时，

当时，，  .………………………………11分

综上，.

即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.

                                            .………………………………12分

22．【详解】（1）设椭圆的标准方程为，

由图可得，

所以，所以，  .………………………………2分

“帽体段”的方程：；  .……………………4分（没有范围扣1分）

（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，  .…………5分

将代入得，

所以，  .………………………………6分

由题意得，

将，代入上式得

，  .………………………………8分

要使得为定值，

即为定值，即，解得，

即时，为定值，  .………………………………10分

②当直线与轴重合时，直线的方程为，

成立  .………………………………11分

所以存在定点，使得为定值．  .………………………………12分