专题14 中位线和相似三角形（解析版）-2021年中考数学真题分项汇编

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专题14中位线和相似三角形一、中线与中位线1．（2021·江苏连云港市）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．【答案】【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．【详解】解：连接ED是的中线，，设，与是等高三角形，，故答案为：． 本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．2．（2021·江苏泰州市）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．【答案】0＜S≤2【分析】过点M作ME⊥PN于E，根据三角形的中位线定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根据三角形的面积公式得出S==ME，结合已知和垂线段最短得出S的范围；【详解】解：过点M作ME⊥PN于E，∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4，∴PM=PN=AB=CD=2，∴△PMN的面积S==ME，∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，∴M、N不重合，∴ME＞0，∵ ME≤MP=2，∴0＜S≤2 本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三边的一半是解题的关键3．（2021·江苏南京市）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．
 【答案】6【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点 得 得点B的横坐标是6．故答案为6． 本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键． 二、相似三角形4．（2021·江苏南京市）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
 （1）求证；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的长为． 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．5．（2021·江苏连云港市）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．【详解】解：过点C作的延长线于点，与是等高三角形，设，故选：A． 本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·江苏徐州市）如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．【答案】【分析】先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解．【详解】解：∵，∴  ∴ ∵∠B=∠B，∴，∴ ∴与四边形的面积的比=．故答案是：． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．7．（2021·江苏无锡市）如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________．
 【答案】【分析】过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再证明，得，，进而即可求解．【详解】解：过点F作FM⊥AC于点M，
 ∵将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上，∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，∴EG=，∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，∴，∴，∴=，，∴AM=AE+EM=，∴．故答案是：． 本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键．8．（2021·江苏宿迁市）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．【答案】【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．【详解】解：如图，连接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,∵CF=2AF，∴,∴,∵CD=2BD，∴,∴,∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，此时△AFE面积最大为．故答案为： 本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键．9．（2021·江苏扬州市）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．【答案】3【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案为：3． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．