人教版2022届一轮复习打地基练习 一元二次方程根的分布与系数的关系

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 一元二次方程根的分布与系数的关系，共19页。试卷主要包含了若函数f，若关于x的方程x2+，“关于x的方程x2+，已知关于x的方程x2﹣2，若方程mx2+，关于x的方程x2﹣，若方程x2﹣2x﹣lg等内容，欢迎下载使用。
1．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则1x1+1x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．12D．92
2．若函数f（x）＝mx2﹣x+m﹣1的两个零点一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（0，1]
C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
3．若关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0有两个正数根，则实数m的取值是（ ）
A．0＜m＜3B．m≥9或m≤1C．m＞9D．0＜m≤1
4．“关于x的方程x2+（2m+1）x+m＝0（m∈R）的两根都在区间（﹣1，2）内”的一个必要不充分条件是（ ）
A．m∈（﹣1，+∞）B．m∈（﹣1，0）C．m∈（−65，0）D．m∈（﹣∞，0）
5．已知关于x的方程x2﹣2（m2﹣1）x﹣3m＝0的两个实数根的倒数和等于0，则（ ）
A．m＝﹣1B．m＝0C．m＝1D．m＝±1
6．已知关于x的方程x2﹣2ax+8＝0的两个实根x1，x2满足x1＞x2＞2，则实数a的取值范围为（ ）
A．（22，3）B．（2，+∞）C．（22，+∞）D．（﹣22，3）
7．若方程mx2+（m+1）x+m＝0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．−13＜m＜1
C．−13＜m＜0或0＜m＜1D．不确定
8．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式b−1a−1+a−1b−1的值为（ ）
A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20
9．关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i＝0有实根，则实数m的值是（ ）
A．m≥−14B．m≤−14C．m=112D．m=−112
10．若方程x2﹣2x﹣lg（2a2﹣a）＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1或a＜−12B．−12＜a＜1C．a＞−12D．a＜1
11．一元二次方程x2+2x+a＝0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜﹣1D．a＞1
12．已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个实数根，则（ ）
A．ab≤18B．ab≥18C．ab≥14D．ab≤14
13．关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，5]B．[3，6]C．（5，163]D．[163，6）
14．已知实数x，y满足x2+3y2＝3，则x+y的最大值为（ ）
A．1B．3C．2D．4
15．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|−12＜x＜13}，则a﹣b等于（ ）
A．﹣10B．﹣14C．10D．14
二．多选题（共2小题）
16．若关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+2﹣m＝0的两根为正数，则m的取值可以是（ ）
A．﹣1﹣22B．﹣1+22C．1.9D．1.99
17．已知一元二次方程x2+(m+1)x+12=0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜3，则m的值为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5
三．填空题（共12小题）
18．关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+3＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是 ．
19．设关于x的三个方程x2﹣ax﹣1＝0，x2﹣x﹣2a＝0，xea﹣1＝0的实根分别为x1，x2，x3，x4，x5，若x1＜x3＜x5＜x2＜x4，则实数a的取值范围是 ．
20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
21．要使关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 ．
22．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2（m+3）x+m2+3＝0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）2+（β﹣1）2的最小值为 ．
23．关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m的取值范围为 ．
24．已知实系数方程x2+ax+2b＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2＜2，则a2+b2的取值范围是 ．
25．若关于x的方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是 ．
26．方程x2﹣mx﹣m+3＝0的两根都在（0，2）区间内，则实数m的取值范围是 ．
27．已知关于x的方程x2﹣ax﹣3a＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根是 ．
28．若关于x的方程2x2+（m﹣3）x﹣1＝0的一个根大于﹣2，另一个根小于﹣2，则实数m的取值范围是 ．
29．关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+1＝0一个根大于1，另一个根小于1，则实数m的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
30．已知方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一非零根x1，方程﹣ax2+bx+c＝0有一非零根x2
（1）令f（x）=a2x2+bx+c，求证：f（x1）f（x2）＜0
（2）证明：方程a2x2+bx+c＝0必有一根介于x1和x2之间．
31．已知关于x的实系数一元二次方程2x2﹣4（m﹣1）x+m2+1＝0．
（1）若方程的一个根为a+i，a∈R，求实数a的值；
（2）若方程的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|＝2，求实数m的值．
32．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
33．已知方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围．
34．已知函数f（x）＝8x2﹣6kx+2k﹣1．
（1）若函数f（x）的零点在（0，1]内，求实数k的范围；
（2）是否存在实数k，使得函数f（x）的两个零点x1，x2满足x12+x22＝1，x1x2＞0．
人教版2022届一轮复习打地基练习 一元二次方程根的分布与系数的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则1x1+1x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．12D．92
【分析】根据韦达定理求得x1+x2＝3，x1•x2=32，然后由1x1+1x2变形为含有x1+x2和x1•x2的式子，并代入求值即可．
【解答】解：∵方程2x2﹣6x+3＝0的二次项系数a＝2，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝3，
∴根据韦达定理，得x1+x2＝3，x1•x2=32，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2
故选：A．
2．若函数f（x）＝mx2﹣x+m﹣1的两个零点一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（0，1]
C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系、二次函数的性质，求得实数m的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝mx2﹣x+m﹣1的两个零点一个大于1，一个小于1，
∴m＞0f(1)=2m−2＜0，或 m＜0f(1)=2m−2＞0，
求得0＜m＜1，或m∈∅，
故选：A．
3．若关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0有两个正数根，则实数m的取值是（ ）
A．0＜m＜3B．m≥9或m≤1C．m＞9D．0＜m≤1
【分析】由已知中关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0的两个正实数根，则方程的△≥0，且方程的两根x1，x2满足x1+x2＞0，x1•x2＞0，由此构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．
【解答】解：若关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0的两个正实根，
即x1＞0，x2＞0，△≥0，
则△=(m−3)2−4m≥0x1+x2=3−m＞0x1⋅x2=m＞0
解得0＜m≤1
故实数m的取值范围是（0，1]
故选：D．
4．“关于x的方程x2+（2m+1）x+m＝0（m∈R）的两根都在区间（﹣1，2）内”的一个必要不充分条件是（ ）
A．m∈（﹣1，+∞）B．m∈（﹣1，0）C．m∈（−65，0）D．m∈（﹣∞，0）
【分析】方程x2+（2m+1）x+m＝0（m∈R）的两根都在区间（﹣1，2）内，可转化为m∈[−65，0），再根据充要关系的集合理解处理即可．
【解答】解：依题意，方程x2+（2m+1）x+m＝0（m∈R）的两根都在区间（﹣1，2）内，
则−1＜−2m+12＜2，(2m+1)2−4m≥0，1+(2m+1)×(−1)+m＞0，4+(2m+1)×2+m＞0，解得m∈[−65，0），
因为若m∈[−65，0），则m∈（﹣∞，0），
所以方程x2+（2m+1）x+m＝0（m∈R）的两根都在区间（﹣1，2）内”的一个必要不充分条件为m∈（﹣∞，0）．
故选：D．
5．已知关于x的方程x2﹣2（m2﹣1）x﹣3m＝0的两个实数根的倒数和等于0，则（ ）
A．m＝﹣1B．m＝0C．m＝1D．m＝±1
【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数关系，求得m的值．
【解答】解：∵设a、b是关于x的方程x2﹣2（m2﹣1）x﹣3m＝0的两个实数根，
则a+b＝2（m2﹣1），ab＝﹣3m，
∴a、b的倒数和等于 1a+1b=a+bab=2(m2−1)−3m=0，∴a、b异号，且 m2﹣1＝0，
求得m＝1，
故选：C．
6．已知关于x的方程x2﹣2ax+8＝0的两个实根x1，x2满足x1＞x2＞2，则实数a的取值范围为（ ）
A．（22，3）B．（2，+∞）C．（22，+∞）D．（﹣22，3）
【分析】由题设知函数f（x）＝x2﹣2ax+8在（2，+∞）内有两个零点，由此得到关于a的不等式，解不等式即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：由题设知，函数f（x）＝x2﹣2ax+8在（2，+∞）内有两个零点，则f(2)＞0a＞2△=4a2−32＞0，
即4−4a+8＞0a＞24a2−32＞0，解得：22＜a＜3，
故选：A．
7．若方程mx2+（m+1）x+m＝0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．−13＜m＜1
C．−13＜m＜0或0＜m＜1D．不确定
【分析】由题意可得 m≠0，且△＝（m+1）2﹣4m2＞0，由此解得m的范围．
【解答】解：由于方程mx2+（m+1）x+m＝0有两个不相等的实根，
故有m≠0，且△＝（m+1）2﹣4m2＞0，解得−13＜m＜1且m≠0，
即−13＜m＜0或0＜m＜1，
故选：C．
8．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式b−1a−1+a−1b−1的值为（ ）
A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20
【分析】根据a≠b，知a、b满足条件a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，可把a，b看成x2﹣8x+5＝0的两个根，根据根与系数的关系即可解答求出结果．
【解答】解：由已知条件可知，a、b为方程x2﹣8x+5＝0的两根，此时△＞0，
∴a+b＝8，ab＝5，
∴b−1a−1+a−1b−1=a2+b2−2(a+b)+2ab−(a+b)+1=(a+b)2−2ab−2(a+b)+2ab−(a+b)+1=−20
故选：A．
9．关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i＝0有实根，则实数m的值是（ ）
A．m≥−14B．m≤−14C．m=112D．m=−112
【分析】首先分析题目关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i＝0有实根，可把实根设出来，然后根据根与系数关系判断系数的一部分也为实数，即可解出m．
【解答】解：已知关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i＝0有实根，首先可以设实根为a，
则a2﹣（2i﹣1）a+3m﹣i＝0，则虚部为0，即a2+a+3m＝0且﹣2a﹣1＝0，
所以m=112．
故选：C．
10．若方程x2﹣2x﹣lg（2a2﹣a）＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1或a＜−12B．−12＜a＜1C．a＞−12D．a＜1
【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系，韦达定理可得两根之积﹣lg（2a2﹣a）＜0，即2a2﹣a＞1，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣lg（2a2﹣a）＝0有一个正根和一个负根，
∴两根之积﹣lg（2a2﹣a）＜0，故lg（2a2﹣a）＞0，
∴2a2﹣a＞1，求得a＞1或a＜−12，
故选：A．
11．一元二次方程x2+2x+a＝0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜﹣1D．a＞1
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系求出命题的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．．
【解答】解：若一元二次方程x2+2x+a＝0有一个正根和一个负根，
则△=4−4a＞0a＜0，即a＜1a＜0，
解得a＜0，即一元二次方程x2+2x+a＝0有一个正根和一个负根的充要条件是a＜0，
则a＜0的充分不必要条件可以是a＜﹣1，
故选：C．
12．已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个实数根，则（ ）
A．ab≤18B．ab≥18C．ab≥14D．ab≤14
【分析】由条件利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质可得2au2﹣u+b＝0有解，2au2+u+b＝0有解，故有△＝1﹣8ab≥0，由此得出结论．
【解答】解：由题意可得b2﹣4ac≥0，还可得到−b+b2−4ac2a=b2﹣4ac，或−b−b2−4ac2a=b2﹣4ac．
设u=b2−4ac，则 2au2﹣u+b＝0，或2au2+u+b＝0，
再根据这两个关于u的方程都有实数解，故它们的判别式都大于或等于零，
故有△＝1﹣8ab≥0，由此求得ab≤18，
故选：A．
13．关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，5]B．[3，6]C．（5，163]D．[163，6）
【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的范围．
【解答】解：关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，令f（x）＝x2﹣（a﹣1）x+4，
则有△=(a−1)2−16＞01＜a−12＜3f(1)=6−a≥0f(3)=16−3a≥0，求得5＜a≤163，
故选：C．
14．已知实数x，y满足x2+3y2＝3，则x+y的最大值为（ ）
A．1B．3C．2D．4
【分析】设t＝x+y，则y＝t﹣x，则可得到4x2﹣6tx+（3t2﹣3）＝0，此方程有解，根据判别式的意义得到△≥0，解得t的范围，于是可求出x+y的最大值．
【解答】解：设t＝x+y，则y＝t﹣x，
∵x2+3y2＝3，
∴x2+3（t﹣x）2＝3，整理得4x2﹣6tx+（3t2﹣3）＝0，
∵x为实数，
∴△＝（﹣6t）2﹣4×4（3t2﹣3）≥0，
∴﹣2≤t≤2，
∴x+y的最大值为2．
故选：C．
15．不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|−12＜x＜13}，则a﹣b等于（ ）
A．﹣10B．﹣14C．10D．14
【分析】先根据不等式的解集得到方程的解为−12或13，进而求出a与b的数值，即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集{x|−12＜x＜13}，
所以方程ax2+bx+2＝0的解为−12或13，
所以a﹣2b+8＝0且a+3b+18＝0，
所以a＝﹣12，b＝﹣2，
所以a﹣b值是﹣10．
故选：A．
二．多选题（共2小题）
16．若关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+2﹣m＝0的两根为正数，则m的取值可以是（ ）
A．﹣1﹣22B．﹣1+22C．1.9D．1.99
【分析】由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系、韦达定理，求得m的范围，可得结论．
【解答】解：关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+2﹣m＝0的两根为正数，
∴△=(m−1)2−4(2−m)≥0m+1＞02−m＞0，解得﹣1+22≤m＜2，
故BCD选项的值符合．
故选：BCD．
17．已知一元二次方程x2+(m+1)x+12=0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜3，则m的值为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5
【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，求得m的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+(m+1)x+12=0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜3，
设f（x）＝x2+（m+1）x+12，则 f(0)=12＞0f(1)=m+52＜0f(3)=3m+252＞0，求得−256＜m＜−52．
结合m∈Z，可得m＝﹣3，﹣4，
故选：BC．
三．填空题（共12小题）
18．关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+3＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是 （1，+∞） ．
【分析】由已知中关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+3＝0有两个不相等的正实数根，则方程的△＞0，且方程的两根x1，x2满足x1+x2＞0，x1•x2＞0，由此构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．
【解答】解：若关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+3＝0有两个不相等的正实数根，
即x1＞0，x2＞0，且x1≠x2，
∴△＝（m+3）2﹣4（m+3）＞0且m+3＞0，
解得m＞1
故实数m的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
19．设关于x的三个方程x2﹣ax﹣1＝0，x2﹣x﹣2a＝0，xea﹣1＝0的实根分别为x1，x2，x3，x4，x5，若x1＜x3＜x5＜x2＜x4，则实数a的取值范围是 (0，3−32) ．
【分析】首先将3个方程的a分离出来，画出函数的图象，由x1＜x3＜x5＜x2＜x4结合可得y＝a在x轴上方，联立a=x2−1x=x−1x可得x的值，进一步利用点和直线的位置关系的应用求出参数的取值范围．
【解答】解：方法1：（分离参数、数形结合）如图所示：
a=x2−1x=x−1x两根为x1，x2，a=x2−x2的两根为x3，x4，ea=1x，两边取对数得a＝﹣lnx的根为x5，然后在同一坐标系中分别作出对应的函数图象y=x−1x，y=x2−x2，y＝﹣lnx与y＝a相交的交点横坐标别为五个根x1，x2，x3，x4，x5，
由x1＜x3＜x5＜x2＜x4结合可得y＝a在x轴上方，
由y=x−1xy=x2−x2得（x﹣1）（x2﹣2x﹣2）＝0，所以x＝1，x=1±3，y=x−1x与y=x2−x2交点坐标为A(1−3，3−32)，（1，0），(1+3，3+32)得直线y＝a在x轴上方，点A下方，所以0＜a＜3−32，
故答案为：(0，3−32)．
解：方法2：
（利用二次函数的根分布）
由题意得x5=1ea分别在x2﹣ax﹣1＝0，x2﹣x﹣2a＝0的两根之间，
所以x52−ax5−1=(1ea)2−aea−1＜0x52−x5−2a=(1ea)2−1ea−2a＜0，
即e2a+aea−1＞02ae2a+ea−1＞0，解得a＞0；
因为x1x2＝﹣1得x1＜0＜x2，
由x3＜x2＜x4得：x22−ax2−1=0x22−x2−2a＜0得a=x22−1x2代入x22−x2−2a=(x2−1)(x22−2x2−2)x2＜0，
解得1＜x2＜1+3，所以a=x22−1x2=x2−1x2∈(0，1+32)；
因为x3+x4＝1，得x3＜12，
再由x1＜x3＜x2，x32−x3−2a=0x32−ax3−1＜0，得a=x32−x32代入得2x32−(x32−x3)x3−2=(x3−1)(−x32+2x3+2)＜0，
解得1−3＜x3＜1，a=x32−x32∈(0，3−32)，
综合得0＜a＜3−32，
故答案为：(0，3−32)．
20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 （﹣1，0）（0，13） ．
【分析】由题意利用二次函数的性质，求得m的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0，
且△＝[﹣（1﹣m）]2﹣4m2＞0，求得﹣1＜m＜13．
综上可得，m的取值范围为：（﹣1，0）∪（0，13），
故答案为：（﹣1，0）∪（0，13）．
21．要使关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 （﹣2，1） ．
【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的范围．
【解答】解：关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一根比1大且另一根比1小，
设f（x）＝x2+（a2﹣1）x+a﹣2，
则f（1）＝1+a2﹣1+a﹣2＝a2+a﹣2＜0，求得﹣2＜a＜1，
故答案为：（﹣2，1）．
22．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2（m+3）x+m2+3＝0有两个实数根α、β，那么（α﹣1）2+（β﹣1）2的最小值为 18 ．
【分析】由题意利用韦达定理、二次函数的性质，求得（α﹣1）2+（β﹣1）2的最小值．
【解答】解：∵关于x的实系数一元二次方程x2+2（m+3）x+m2+3＝0有两个实数根α、β，
∴△＝4（m+3）2﹣4（m2+3）＝24（m+1）≥0，即m≥﹣1．
且α+β＝﹣2（m+3），α•β＝m2+3，
则（α﹣1）2+（β﹣1）2＝（α+β）2﹣2αβ﹣2（α+β）+2＝4（m+3）2﹣2×（m2+3 ）+4（m+3）+2＝2m2+28m+44＝2（m+7）2﹣54，
故当m＝﹣1时，（α﹣1）2+（β﹣1）2取得最小值为18，
故答案为：18．
23．关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m的取值范围为 （−1913，0） ．
【分析】令f（x）＝mx2+2（m+3）x+2m+14，然后根据二次函数根的分布问题即可求解．
【解答】解：令f（x）＝mx2+2（m+3）x+2m+14，
由题意可得m＞0f(4)＜0或m＜0f(4)＞0，
即m＞026m+38＜0或m＜026m+38＞0，解得−1913＜m＜0，
故实数m的取值范围为（−1913，0），
故答案为：（−1913，0）．
24．已知实系数方程x2+ax+2b＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2＜2，则a2+b2的取值范围是 （1，10） ．
【分析】由题意可推出a，b 满足的条件，画出约束条件的可行域，结合a2+b2的几何意义，求出范围即可．
【解答】解：实系数方程x2+ax+2b＝0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，
所以 1+a+2b＜02b≥04+2a+2b≥0，
a2+b2的几何意义是，约束条件内的点与（0，0）连线距离的平方，
画出可行域如图，点M（﹣3，1）和点N（﹣1，0）的坐标为最优解，
∴a2+b2的取值范围是（1，10）
故答案为（1，10）．
25．若关于x的方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是 （25，+∞） ．
【分析】由题意，方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＝0的两根均大于1，设f（x）＝8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7，根据根的分布，只需要满足f(1)＞0−b2a＞1b2−4ac＞0即即可求解m的取值范围．
【解答】解：由题意，方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＝0的两根均大于1，设f（x）＝8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7，
根据根的分布，满足f(1)＞0−b2a＞1b2−4ac＞0即f(1)=8−m+1+m−7＞0(m−1)2−4×8(m−7)＞0m−116＞1，解得：m＞25．
所以m的取值范围是（25，+∞）．
故答案为：（25，+∞）．
26．方程x2﹣mx﹣m+3＝0的两根都在（0，2）区间内，则实数m的取值范围是 [2，73） ．
【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的，二次函数的性质，求得实数m的取值范围．
【解答】解：方程x2﹣mx﹣m+3＝0的两根都在（0，2）区间内，设f（x）＝x2﹣mx﹣m+3，
则有△=m2−4(−m+3)≥00＜m2＜2f(0)=−m+3＞0f(2)=7−3m＞0，求得2≤m＜73，
则实数m的取值范围为[2，73），
故答案为：[2，73）．
27．已知关于x的方程x2﹣ax﹣3a＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根是 6 ．
【分析】由题意利用韦达定理，求得它的另一个根．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣ax﹣3a＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根是b，
∴﹣2+b＝a，且﹣2b＝﹣3a，
求得b＝6，
故答案为：6．
28．若关于x的方程2x2+（m﹣3）x﹣1＝0的一个根大于﹣2，另一个根小于﹣2，则实数m的取值范围是 （132，+∞） ．
【分析】令f（x）＝2x2+（m﹣3）x﹣1，由题意可得f（﹣2）＜0，由此求得实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+（m﹣3）x﹣1＝0的一个根大于﹣2，另一个根小于﹣2，
则令f（x）＝2x2+（m﹣3）x﹣1，可得f（﹣2）＝8+（m﹣3）×（﹣2）﹣1＝13﹣2m＜0，
∴m＞132，
故答案为：（132，+∞）．
29．关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+1＝0一个根大于1，另一个根小于1，则实数m的取值范围是 m＜0或m＞1 ．
【分析】设f（x）＝mx2﹣2mx+1，根据关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+1＝0一个根大于1，另一个根小于1，可得不等式mf（1）＜0，解不等式，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：设f（x）＝mx2﹣2mx+1，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+1＝0一个根大于1，另一个根小于1，
∴mf（1）＜0，
∴m（﹣m+1）＜0，
∴m＜0或m＞1．
故答案为：m＜0或m＞1．
四．解答题（共5小题）
30．已知方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一非零根x1，方程﹣ax2+bx+c＝0有一非零根x2
（1）令f（x）=a2x2+bx+c，求证：f（x1）f（x2）＜0
（2）证明：方程a2x2+bx+c＝0必有一根介于x1和x2之间．
【分析】（1）由方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一非零根x1，方程﹣ax2+bx+c＝0有一非零根x2，可得bx1+c=−ax12，bx2+c=ax22，代入f（x1）f（x2）=−3a24x12x22，即可证明．
（2）由（1）可得：f（x1）f（x2）＜0．利用函数零点存在定理即可证明．
【解答】证明：（1）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一非零根x1，方程﹣ax2+bx+c＝0有一非零根x2，
∴ax12+bx1+c＝0，−ax22+bx2+c＝0，
∴bx1+c=−ax12，bx2+c=ax22，
∴f（x1）f（x2）=(a2x12+bx1+c)(a2x22+bx2+c)
=(a2x12−ax12)(a2x22+ax22)
=−3a24x12x22＜0．
∴f（x1）f（x2）＜0．
（2）由（1）可得：f（x1）f（x2）＜0．
∴方程a2x2+bx+c＝0必有一根介于x1和x2之间．
31．已知关于x的实系数一元二次方程2x2﹣4（m﹣1）x+m2+1＝0．
（1）若方程的一个根为a+i，a∈R，求实数a的值；
（2）若方程的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|＝2，求实数m的值．
【分析】（1）把a+i代入方程即可求得a的值；
（2）根据△＞0或△＜0进行讨论可解决此问题．
【解答】解：（1）把x＝a+i代入关于x的实系数一元二次方程2x2﹣4（m﹣1）x+m2+1＝0得：2（a+i）2﹣4（m﹣1）（a+i）+m2+1＝0，解得：a＝0或2．
故a的值为0或2；
（2）当△≥0，即m∈（﹣∞，2−3]∪[2+3，+∞），由韦达定理可得 x1+x2＝2m﹣2，x1•x2=m2+12＞0，
可知两根同号，从而|x1|+|x2|＝|x1+x2|＝2，求得 2（m﹣1）＝±2，解得m＝0，或m＝2（舍）．
当△＜0，可得：m∈（2−3，2+3），此时方程有两个共轭复根，故|x1|＝|x2|，且由|x1|+|x2|＝2可得|x1|＝1，
进1＝|x1|2＝x1x2=m2+12，解得m＝1，或m＝﹣1（舍）．从而综上所述：m＝0或1．
故m的值为0或1．
32．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
【分析】（1）求出方程的实根，利用倍根方程的定义判断即可；
（2）先根据倍根方程的定义求出方程的两根，再根据方程根的情况分类求出b、c的值即可．
【解答】解：（1）该方程是倍根方程，理由如下：
由x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴x2＝2x1，
∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，
∴方程的另一个根是1或4，
①当方程根为1，2时，
﹣b＝1+2，解得：b＝﹣3，c＝1×2＝2；
②当方程根为2，4时，
﹣b＝2+4，解得：b＝﹣6，c＝2×4＝8．
综合以上知：b=−3c=2或b=−6c=8．
33．已知方程x2﹣2（m+2）x+m2﹣1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围．
【分析】利用韦达定理和△≥0列出不等式组，解出m的取值范围即可．
【解答】解：设方程的两个根为x1，x2，
由韦达定理得：x1+x2＝2（m+2），x1x2=m2−1，
由题意可得：△=4(m+2)2−4(m2−1)≥0(x1−2)+(x2−2)＞0(x1−2)⋅(x2−2)＞0，即m+4≥02m＞0m2−4m−5＞0，解得：m＞5，
所以实数m的取值范围为：{m|m＞5}．
34．已知函数f（x）＝8x2﹣6kx+2k﹣1．
（1）若函数f（x）的零点在（0，1]内，求实数k的范围；
（2）是否存在实数k，使得函数f（x）的两个零点x1，x2满足x12+x22＝1，x1x2＞0．
【分析】（1）由条件利用二次函数的性质求得实数k的范围．
（2）由条件利用二次函数的性质求得实数k的值，再结合（1）中k的范围，得出结论．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝8x2﹣6kx+2k﹣1的零点在（0，1]内，
可得△=36k2−32(2k−1)≥00＜−−6k2×8＜1f(0)=2k−1＞0f(1)=7−4k≥0，求得12＜k≤74．
（2）由题意可得△=36k2−32(2k−1)≥0x1+x2=3k4＞0x1⋅x2=2k−18＞0，求得k＞12．
再根据x12+x22＝1=(x1+x2)2−2x1x2＝1，可得916k2−2k−14=1，
求得 k=4+2319，或 k=4−2319（舍去）．
结合（1）可得12＜k≤74．
故不存在实数k满足题中条件．