1.1　探索勾股定理

第1课时　勾股定理

【教学目标】

1.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.

2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题.

【教学重难点】

重点：勾股定理的探索过程.

难点：分清直角边和斜边.

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

多媒体展示教材第2页开头的情境.

问：题目中的已知条件是什么？要求的是直角三角形的哪一条边？

(学生思考)

事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊的关系.学完了这节课，我们就会很容易地求出钢索的长度.

二、师生互动，探究新知

要想解决上述问题，我们需要求出直角三角形的斜边，那么已知条件是什么？

(学生观察得出直角边分别为6m和8m)

已知两条直角边能不能求出斜边呢？我们来探索一下，首先画一个直角三角形，使直角边分别为3cm和4cm，测量一下斜边是多少cm，再画一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形，测量一下斜边是多少cm，直角边分别是5cm和12cm的时候呢？你能观察出直角三角形三边之间的关系吗？

(学生测量出斜边并观察、思考、交流得出猜想：两直角边的平方和等于斜边的平方)

那么所有的直角三角形都符合这个规律吗？

(一)探索直角边分别为3，3和2，2的等腰直角三角形的情况

多媒体展示教材图1—2.

(1)这两个三角形都是什么样的三角形？

(2)直角三角形三边的平方分别是多少？它们满足怎样的数量关系？(学生通过数格子的方法可以得出SA＋SB＝SC)

(二)探索直角边分别为3，4和3，1的直角三角形的情况

出示教材图1—3.

对于一般的直角三角形是否也有这样的关系呢？你是如何计算的？

(同桌交流、小组讨论，共同探讨，找到三边的平方之间的关系)

如果直角三角形的两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.

(学生思考、交流，教师请学生口答，并板书，指出这就是这节课要学习的勾股定理)

总结：直角三角形三边的平方之间有怎样的关系？

教师总结：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

思考：

(1)运用此定理的前提条件是什么？

(2)公式a2＋b2＝c2有哪些变形公式？

(3)由(2)知在直角三角形中，只要知道________条边，就可以利用________求出________.

(4)想一想：图1—1的问题中，需要多长的钢索？

(小组交流、讨论得出结论，教师及时给予点评)

三、运用新知，解决问题

完成教材第3页“随堂练习”第1，2题.

四、课堂小结，提炼观点

1.勾股定理有哪些应用？

2.运用勾股定理有条件吗？

学生答：1.已知直角三角形的任意两边，求第三边.

2.必须在直角三角形中.

五、布置作业，巩固提升

教材第4页课本习题1.1.

【板书设计】

第1课时　勾股定理

勾股定理：a2＋b2＝c2

注意：(1)必须在直角三角形中

(2)      三边平方之间的关系

第2课时　勾股定理的验证和简单应用

【教学目标】

1.掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.

【教学重难点】

重点：经历勾股定理的证明过程，能利用勾股定理解决实际问题.

难点：用拼图法验证勾股定理.

【教学过程】

一、回顾复习，导入新课

提问：直角三角形的三边有怎样的关系？

在研究直角三角形三条边关系时，我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理.那么，我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢？请跟我一起去探索吧！

二、师生互动，探究新知

师：投影教材图1—4：分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.

生：用割补法进行证明.

说明：学生在此时会对于怎样用割补法证明感到很困难，激发了学生学习的兴趣.

师：投影教材图1—5和图1—6，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？

生讨论交流.

师总结：图1—5是在大正方形的四周补上四个边长分别为a，b，c的直角三角形；图1—6是把大正方形分割成四个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个小正方形；图1—5采用的是“补”的方法，而图1—6采用的是“割”的方法.请同学们将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来.

生动笔操作，独立完成.

师：图1—5中正方形ABCD的面积是多少？你们有哪些方法表示？与同伴进行交流.

生：分组讨论面积的不同表示方法，得出(a＋b)2，4×ab＋c2两种方法.

师：板书学生讨论的结果，提问：你能利用图1－5验证勾股定理吗？

生：根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.

师：化简之后能得到勾股定理吗？

生：回答化简的过程，得到a2＋b2＝c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理.

师：你能用图1—6也证明一下勾股定理吗？

生独立完成.

师讲评学生的证明过程，强调割补法是几何证明题中常用的方法，要注意这种方法的运用.你能用其他的方法证明勾股定理吗？

生分组讨论交流，并回答.

师投影例题，引导学生分析.(如何画出示意图，如何确定垂直关系，等)

生独立完成，有困难的，小组交流.

师：投影“议一议”，判断图中三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2.

生：分别求出网格中正方形的面积进行判断.

说明：教师要巡视指导，对于学生出现的问题及时指导，特别是每个小正方形面积的得出.

师：投影“随堂练习”，提问：该沿江高速公路的造价预计是多少？怎样求？

生独立完成.

三、运用新知，解决问题

师：投影习题1.2第1，2题.

生：独立思考，若有困难小组内讨论.

四、课堂小结，提炼观点

师：请同学们把你的心得总结一下，与同伴交流.

学生交流后每组派一名代表回答，最后让一名同学全面总结.

五、布置作业，巩固提升

教材第16页复习题第1题.

【板书设计】

第2课时　勾股定理的验证和简单应用

勾股定理证明：割补法

勾股定理的应用：例