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    2020-2021学年浙江省温州市某校高二(上)8月月考数学试卷人教A版
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    2020-2021学年浙江省温州市某校高二(上)8月月考数学试卷人教A版

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    这是一份2020-2021学年浙江省温州市某校高二(上)8月月考数学试卷人教A版,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1. 已知全集U={−1,0,1,2,3},A={0,1},B={1,2,3},则∁UA∩B=( )
    A.{1}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{−1,0,2,3}

    2. 函数f(x)=lg2(3−x)的定义域为( )
    A.(−∞,3)B.(−∞,1)∪(1,3)
    C.(3,+∞)D.(−∞,2)∪(2,3)

    3. 若aA.aba2D.1a>1b

    4. 要得到函数y=sin2x+π3的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
    A.向右平移π6个单位B.向左平移π6个单位
    C.向右平移π3个单位D.向左平移π3个单位

    5. 已知两个单位向量a→,b→满足2a→+3b→=7,则a→与b→的夹角是( )
    A.π6B.π3C.2π3D.5π6

    6. 数列{an}中,a3=5,a7=2,若4an−1(n∈N*)是等比数列,则a5=( )
    A.−1或3B.−1C.3D.10

    7. 若关于x的不等式|x+2|+|x−a|≥1的解集为R,则实数a的取值范围是( )
    A.[−3,−1]B.(−∞,−3]∪[−1,+∞)
    C.[1,3]D.(−∞,1]∪[3,+∞)

    8. 函数f(x)=sinx|x|的图象大致是( )
    A.
    B.
    C.
    D.

    9. 已知函数f(x)=12x−1,x≤0,−x2+2x,x>0.若f(f(t))+3≥0,则实数t的取值范围是( )
    A.[3,+∞)B.(−∞,−2]C.(−∞,3]D.[−2,+∞)

    10. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csinC=asinA+(b−a)sinB,csAcsB>ba,则( )
    A.a二、填空题

    若幂函数f(x)=xα经过点(3,9),则α=________.

    已知a→=(1,2),b→=(−1,1),则a→⋅b→=________,|a→+2b→|=________.

    已知角α的终边经过点P(−3,4),则tanα=________,sin2α=________.

    若实数lg3a=blg23=1,则a=________,ab=________.

    已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值是________,1a+4b的最小值是________.

    已知函数f(x)=x|x|,则不等式f(2x−1)≥9的解集是________.

    设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,若存在常数λ,使得a2n=λan(n∈N*)恒成立,则910nSn取最大值时,n=________.
    三、解答题

    已知集合M={x|(x−t)(x+1)≤0},N={x||x−2|<1}.
    (1)当t=2时,求M∪N;

    (2)若N⊆M,求实数t的取值范围.

    设函数f(x)=3sin2x−2cs2x.
    (1)求f(0)的值及函数f(x)的最小正周期;

    (2)当x∈0,π2时,求函数f(x)的值域.

    已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m→=(b,3),n→=(−sinC,a−ccsB),m→⊥n→.
    (1)求角C的大小;

    (2)若c=23,AB边上的中线CD长为5,求△ABC的面积.

    设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,6Sn=3nan+1−2n(n+1)(n+2),n∈N*,记bn=ann.
    (1)求证:{bn}为等差数列,并求bn;

    (2)若cn=2n−1bn,记数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn.

    设a,b∈R,已知函数f(x)=|ax2+bx−2|.
    (1)若a>0,b=a−2,求函数f(x)的单调递增区间;

    (2)若对任意b∈12,2,x∈1,1a时,不等式f(x)≤2x恒成立,求实数a的取值范围.
    参考答案与试题解析
    2020-2021学年浙江省温州市某校高二(上)8月月考数学试卷
    一、选择题
    1.
    【答案】
    B
    【考点】
    交、并、补集的混合运算
    【解析】
    根据补集的运算得到∁UA=−1,2,3,再根据交集的运算即可得解.
    【解答】
    解:∵ U=−1,0,1,2,3,A=0,1,B=1,2,3,
    ∴ ∁UA=−1,2,3,
    ∴ ∁UA∩B=2,3.
    故选B.
    2.
    【答案】
    A
    【考点】
    对数函数的定义域
    【解析】
    根据解析式为对数型函数,只要真数大于零即可.
    【解答】
    解:要使函数有意义,只需3−x>0,
    解得x<3,
    所以函数的定义域为−∞, 3.
    故选A.
    3.
    【答案】
    D
    【考点】
    不等式的基本性质
    【解析】
    利用不等式的性质将各个选项进行逐一分析求解即可.
    【解答】
    解:A,∵ a∴ ab>b2,故A错误;
    B,∵ a∴ a2>ab>b2,故B错误;
    C,∵ a∴ a2>ab,故C错误;
    D,∵ a∴ 1a−1b=b−aab>0,1a>1b,故D正确.
    故选D.
    4.
    【答案】
    B
    【考点】
    函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
    【解析】
    y=sin(2x+π3)=sin2(x+π6),根据平移规律:左加右减可得答案.
    【解答】
    解:y=sin2x+π3=sin2x+π6,
    故要得到y=2sin2x+π3的图象,
    只需将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位.
    故选B.
    5.
    【答案】
    C
    【考点】
    数量积表示两个向量的夹角
    【解析】
    由2a→+3b→=7得出2a→+3b→2=7,求出cs=−12,即可求出结果.
    【解答】
    解:因为两个单位向量a→,b→满足2a→+3b→=7,
    所以2a→+3b→2=7,
    所以4a→2+12a→⋅b→+9b→2=7,
    即4+12cs+9=7,
    所以cs=−12.
    因为∈0,π,
    所以=23π.
    故选C.
    6.
    【答案】
    C
    【考点】
    等比中项
    等比数列的性质
    【解析】
    利用4a5−12=4a3−1⋅4a7−1=4,求出4a5−1=±2,即可求出结果.
    【解答】
    解:因为a3=5,a7=2,
    所以4a3−1=1,4a7−1=4.
    因为数列4an−1是等比数列,
    所以4a5−12=4a3−1⋅4a7−1=4,
    所以4a5−1=2,4a5−1=−2(不合题意,舍去),
    所以a5=3.
    故选C.
    7.
    【答案】
    B
    【考点】
    绝对值不等式的解法与证明
    【解析】
    原问题等价于fxmin≥1,结合三角不等式求解即可.
    【解答】
    解:关于x的不等式|x+2|+|x−a|≥1的解集为R,
    可设fx=|x+2|+|x−a|,可得fx≥1在R上恒成立,
    由fx=|x+2|+|x−a|≥|x+2−x−a|=|2+a|,
    当且仅当x+2x−a≤0时上式取得等号,
    则|2+a|≥1 ,
    解得a≥−1或a≤−3.
    故选B.
    8.
    【答案】
    A
    【考点】
    函数奇偶性的性质
    函数奇偶性的判断
    函数的图象
    【解析】
    函数fx=sinxx为奇函数,排除B,D;利用特值排除C可得结果.
    【解答】
    解:f(−x)=sin(−x)|−x|=−sinx|x|=−f(x),
    所以函数fx=sinxx为奇函数,
    即图象关于原点对称,故排除BD;
    又当x→∞时,f(x)→0,故排除C.
    故选A.
    9.
    【答案】
    D
    【考点】
    其他不等式的解法
    分段函数的应用
    【解析】
    由题意,首先画出函数图象,设ft=a,由fa≥−3得到a≤3,即ft≤3,结合函数图像得到,只要解12t−1≤3即可.
    【解答】
    解:函数图象如图所示:
    设ft=a,
    f(f(t))+3≥0,则fa≥−3,
    由函数图象得到a≤3,
    即ft≤3,
    由函数图象得到,12t−1≤3,
    解得t≥−2.
    故选D.
    10.
    【答案】
    A
    【考点】
    二倍角的正弦公式
    两角和与差的正弦公式
    两角和与差的余弦公式
    余弦定理
    正弦定理
    【解析】
    根据
    【解答】
    解:∵ csinC=asinA+b−asinB,
    由正弦定理得,c2=a2+b−ab,
    ∴ a2+b2−c2=ab,
    由余弦定理得,csC=a2+b2−c22ab=12.
    ∵ C∈(0,π),
    ∴ C=π3,
    ∴ A+B=2π3.
    ∵ csAcsB>ba>0,
    ∴ csAcsB>sinBsinA,且csA>0,csB>0,
    即sin2A>sin2B,
    ∴ sin4π3−2B>sin2B,
    整理得cs2B−π6<0,
    ∴ π2<2B−π6<3π2,
    ∴ π3∴ A=π−B−C<π3,
    ∴ Ac>a.
    故选A.
    二、填空题
    【答案】
    2
    【考点】
    幂函数的概念、解析式、定义域、值域
    【解析】
    函数经过某点,即某点的坐标可以代入函数的解析式中.
    【解答】
    解:把点3,9代入幂函数fx=xα中,得3α=9,
    所以α=2.
    故答案为:2.
    【答案】
    1,17
    【考点】
    平面向量数量积
    向量的模
    【解析】
    根据向量的数量积计算即可.
    【解答】
    解:∵ a→=1,2,b→=−1,1,
    ∴ a→⋅b→=1×−1+2×1=1.
    ∵ |a→|2=12+22=5,|b→|2=−12+12=2,
    ∴ |a→+2b→|2=|a→|2+4a→⋅b→+|2b→|2
    =5+4×1+4×2
    =17,
    ∴ |a→+2b→|=17.
    故答案为:1;17.
    【答案】
    −43,−2425
    【考点】
    二倍角的正弦公式
    任意角的三角函数
    【解析】
    根据任意角的三角函数的定义,根据已知求出角a的余弦、正弦值.由角α的终边经过点 (−3,4),分别求出角α的正弦、余弦、再求tanα,sin2a,即可得到答案.
    【解答】
    解:∵ 角α的终边经过点−3,4 ,
    ∴ sinα=45,csα=−35,
    ∴ tanα=sinαcsα=−43,
    sin2α=2sinαcsα=−2425.
    故答案为:−43;−2425.
    【答案】
    3,2
    【考点】
    对数的运算性质
    指数式与对数式的互化
    对数及其运算
    【解析】
    先由lg33=1求得a,再利用blg23=1,求出b,再利用3lg32=2,求得ab.
    【解答】
    解:∵lg3a=1,
    ∴a=3.
    又blg23=1,
    ∴b=1lg23=lg32,
    ∴ab=3lg32=2.
    故答案为:3;2.
    【答案】
    4,94
    【考点】
    基本不等式在最值问题中的应用
    【解析】
    利用“乘1法”和基本不等式即可得出.
    【解答】
    解:因为a>0,b>0,a+b=4,
    所以a+b≥2ab,当且仅当a=b=2时,等号成立,
    所以ab≤2,ab≤4.
    因为a>0,b>0,a+b=4,
    所以1a+4b=14a+b1a+4b=145+ba+4ab≥145+2ba⋅4ab=94,
    当且仅当b=2a,即a=43,b=83时等号成立,
    所以1a+4b的最小值是94.
    故答案为:4;94.
    【答案】
    [2,+∞)
    【考点】
    分段函数的应用
    函数单调性的性质
    函数的图象
    【解析】
    先确定分段函数解析式,再画出图象判断出函数的单调性,利用函数的单调性解不等式
    【解答】
    解:由函数f(x)=x|x|得:
    f(x)=x2,x>0,0,x=0,−x2,x<0.
    画出函数图象如图所示:
    结合图象可知,函数f(x)为R上的增函数,
    f(2x−1)≥9=f(3),
    所以2x−1≥3,
    解得x≥2.
    故答案为:[2,+∞).
    【答案】
    18或19
    【考点】
    等差数列的通项公式
    等差数列的前n项和
    等差数列与一次函数的关系
    【解析】
    由题意求出等差数列的通项和前n项和,再利用函数的单调性进行求解即可.
    【解答】
    解:由题意可得:a2=2λ,a4=λa2=2λ2,
    设等差数列an的公差为d(d≠0),
    则2+d=2λ,2+3d=2λ2,
    解得λ=2,d=2,
    故an=2+(n−1)×2=2n,
    Sn=n2+2n2=nn+1.
    设fn=910nSn=910nnn+1,n∈N*,
    则fn+1=910n+1Sn+1=910n+1(n+1)n+2,n∈N*,
    则fn+1−fn=910nn+1910n+2−n
    =910nn+195−n10,
    当n∈N*且n<18时,fn+1>fn;
    当n∈N*且n=18时,f19=f18;
    当n∈N*且n>18时,fn+1故当n=18或19时,fn=910nSn=910nnn+1,n∈N*取得最大值.
    故答案为:18或19.
    三、解答题
    【答案】
    解:(1)∵N={x||x−2|<1},
    ∴N=(1,3).
    当t=2时,M=−1,2,
    ∴M∪N=−1,3.
    (2)∵N⊆M,
    ∴t≥3,
    ∴t的取值范围是3,+∞.
    【考点】
    绝对值不等式
    一元二次不等式的解法
    并集及其运算
    集合的包含关系判断及应用
    【解析】


    【解答】
    解:(1)∵N={x||x−2|<1},
    ∴N=(1,3).
    当t=2时,M=−1,2,
    ∴M∪N=−1,3.
    (2)∵N⊆M,
    ∴t≥3,
    ∴t的取值范围是3,+∞.
    【答案】
    解:(1)f(x)=3sin2x−2cs2x
    =3sin2x−(1+cs2x)
    =3sin2x−cs2x−1
    =232sin2x−12cs2x−1
    =2sin2x−π6−1,
    ∴f(0)=−2,
    T=2π2=π.
    (2)∵x∈0,π2,
    ∴2x−π6∈−π6,56π,
    ∴sin2x−π6∈−12,1,
    ∴f(x)=2sin2x−π6−1∈[−2,1],
    ∴f(x)的值域为[−2,1].
    【考点】
    二倍角的余弦公式
    两角和与差的正弦公式
    正弦函数的周期性
    正弦函数的定义域和值域
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    解:(1)f(x)=3sin2x−2cs2x
    =3sin2x−(1+cs2x)
    =3sin2x−cs2x−1
    =232sin2x−12cs2x−1
    =2sin2x−π6−1,
    ∴f(0)=−2,
    T=2π2=π.
    (2)∵x∈0,π2,
    ∴2x−π6∈−π6,56π,
    ∴sin2x−π6∈−12,1,
    ∴f(x)=2sin2x−π6−1∈[−2,1],
    ∴f(x)的值域为[−2,1].
    【答案】
    解:(1)∵m→⊥n→,
    ∴m→⋅n→=0,
    即−bsinC+3(a−ccsB)=0,
    ∴3sinA=sinBsinC+3sinCcsB,
    ∴3sin(B+C)=sinBsinC+3sinCcsB,
    ∴3sinBcsC+3csBsinC
    =sinBsinC+3sinCcsB,
    ∴3sinBcsC=sinBsinC.
    ∵在△ABC中,sinB≠0,
    ∴3csC=sinC,即tanC=3.
    ∵C∈(0,π),
    ∴C=π3.
    (2)∵c2=a2+b2−2abcsC,
    且C=π3,c=23,
    ∴12=a2+b2−ab①.
    ∵D为AB中点,
    ∴2CD→=CA→+CB→,
    ∴4CD→2=CA→2+CB→2+2CA→⋅CB→,
    即20=a2+b2+ab②,
    ∴由①②得,ab=4,
    ∴S△ABC=12absinC=3,
    ∴△ABC的面积为3.
    【考点】
    两角和与差的正弦公式
    三角形的面积公式
    解三角形
    余弦定理
    正弦定理
    平面向量数量积
    【解析】
    左侧图片未给出解析.
    【解答】
    解:(1)∵m→⊥n→,
    ∴m→⋅n→=0,
    即−bsinC+3(a−ccsB)=0,
    ∴3sinA=sinBsinC+3sinCcsB,
    ∴3sin(B+C)=sinBsinC+3sinCcsB,
    ∴3sinBcsC+3csBsinC
    =sinBsinC+3sinCcsB,
    ∴3sinBcsC=sinBsinC.
    ∵在△ABC中,sinB≠0,
    ∴3csC=sinC,即tanC=3.
    ∵C∈(0,π),
    ∴C=π3.
    (2)∵c2=a2+b2−2abcsC,
    且C=π3,c=23,
    ∴12=a2+b2−ab①.
    ∵D为AB中点,
    ∴2CD→=CA→+CB→,
    ∴4CD→2=CA→2+CB→2+2CA→⋅CB→,
    即20=a2+b2+ab②,
    ∴由①②得,ab=4,
    ∴S△ABC=12absinC=3,
    ∴△ABC的面积为3.
    【答案】
    (1)证明:当n=1时,6S1=3a2−2×1×2×3,
    ∴ a2=8;
    当n≥2时, 6Sn=3nan+1−2nn+1n+2,
    6Sn−1=3n−1an−2n−1nn+1,
    ∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2+2n−1nn+1,
    ∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2−n+1,
    ∴ nan+1−n+1an=2nn+1,
    ∴ an+1n+1−ann=2,即bn+1−bn=2 .
    ∵ a22−a11=b2−b1=2,符合上式,
    ∴ bn是以2为首项,2为公差的等差数列,
    ∴ bn=2+n−1×2=2n.
    (2)解:cn=2n−1⋅2n=n⋅2n,
    Tn=1×21+2×22+⋯+n⋅2n,
    2Tn=1×22+2×23+⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1,
    ∴ −Tn=1×21+22+⋯+2n−n⋅2n+1
    =21−2n1−2−n⋅2n+1
    =1−n2n+1−2,
    ∴ Tn=2+n−1⋅2n+1.
    【考点】
    数列的求和
    数列递推式
    等差关系的确定
    等差数列的通项公式
    【解析】
    此题暂无解析
    【解答】
    (1)证明:当n=1时,6S1=3a2−2×1×2×3,
    ∴ a2=8;
    当n≥2时, 6Sn=3nan+1−2nn+1n+2,
    6Sn−1=3n−1an−2n−1nn+1,
    ∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2+2n−1nn+1,
    ∴ 6an=3nan+1−3n−1an−2nn+1n+2−n+1,
    ∴ nan+1−n+1an=2nn+1,
    ∴ an+1n+1−ann=2,即bn+1−bn=2 .
    ∵ a22−a11=b2−b1=2,符合上式,
    ∴ bn是以2为首项,2为公差的等差数列,
    ∴ bn=2+n−1×2=2n.
    (2)解:cn=2n−1⋅2n=n⋅2n,
    Tn=1×21+2×22+⋯+n⋅2n,
    2Tn=1×22+2×23+⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1,
    ∴ −Tn=1×21+22+⋯+2n−n⋅2n+1
    =21−2n1−2−n⋅2n+1
    =1−n2n+1−2,
    ∴ Tn=2+n−1⋅2n+1.
    【答案】
    解:(1)∵ b=a−2,a>0,
    ∴ f(x)=|ax2+(a−2)x−2|
    =|(x+1)(ax−2)|,
    此时−1<2a,对称轴为x=2−a2a,
    ∴ fx的单调递增区间为−1,2−a2a和2a,+∞.
    (2)∵ x∈1,1a,
    ∴ 1<1a,即a∈0,1.
    ∵ fx≤2x恒成立,
    ∴ |ax2+bx−2|≤2x,
    即−2≤ax−2x+b≤2,
    ∴ −ax+2x−2≤b≤−ax+2x+2,
    令y1=−ax+2x−2 ,
    则y1=−ax+2x−2在x∈1,1a上单调递减,
    ∴ y1max=−a≤12,即a≥−12.
    令y2=−ax+2x+2,
    则y2=−ax+2x+2在x∈1,1a上单调递减,
    ∴ y2min=2a+1>2,即a≥12.
    ∵ a∈0,1,
    ∴ a∈12,1.
    【考点】
    函数恒成立问题
    函数单调性的判断与证明
    函数的单调性及单调区间
    【解析】


    【解答】
    解:(1)∵ b=a−2,a>0,
    ∴ f(x)=|ax2+(a−2)x−2|
    =|(x+1)(ax−2)|,
    此时−1<2a,对称轴为x=2−a2a,
    ∴ fx的单调递增区间为−1,2−a2a和2a,+∞.
    (2)∵ x∈1,1a,
    ∴ 1<1a,即a∈0,1.
    ∵ fx≤2x恒成立,
    ∴ |ax2+bx−2|≤2x,
    即−2≤ax−2x+b≤2,
    ∴ −ax+2x−2≤b≤−ax+2x+2,
    令y1=−ax+2x−2 ,
    则y1=−ax+2x−2在x∈1,1a上单调递减,
    ∴ y1max=−a≤12,即a≥−12.
    令y2=−ax+2x+2,
    则y2=−ax+2x+2在x∈1,1a上单调递减,
    ∴ y2min=2a+1>2,即a≥12.
    ∵ a∈0,1,
    ∴ a∈12,1.
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