2020-2021学年四川省成都市某校高二（上）12月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省成都市某校高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题p:“存在一个二次函数的图象与y轴不相交”的否定是( )
A.存在一个二次函数的图象与y轴相交
B.任意一个二次函数的图象与y轴相交
C.任意一个二次函数的图象与y轴不相交
D.存在一个二次函数的图象与y轴不相交

2. 在空间直角坐标系中，点(1, 2, 3)到坐标原点的距离是( )
A.14B.10C.5D.13

3. 已知椭圆C：x28+y212=1，则椭圆C的长轴长为( )
A.42B.43C.22D.23

4. 不等式x−2y≥0表示的区域是( )
A.B.
C.D.

5. 已知条件p:x≤1，条件q:1x<1，则q是¬p成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件

6. 若直线(a+2)x+(1−a)y=3与直线(a−1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，则a等于( )
A.1B.−1C.±1D.−2

7. 若实数k满足0A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等

8. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )

A.12B.56C.76D.712

9. 直线l：x−y+1=0与圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交且过圆心D.相交但不过圆心

10. 椭圆x249+y224=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为( )
A.20B.22C.28D.24

11. 方程|y|−1=1−(x−1)2表示的曲线是( )
A.一个椭圆B.一个圆C.两个圆D.两个半圆

12. 过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60∘，则椭圆的离心率为( )
A.22B.33C.12D.13
二、填空题

抛物线y=2x2的焦点坐标是________．

三进制数10221(3)化为二进制数为________.

已知两圆C1:x−42+y2=169，C2:x+42+y2=9，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是________.

下列命题中为真命题的序号是________.
①等轴双曲线的渐近线互相垂直；
②命题：若x2=1，则x=1或x=−1的逆否命题为：若x≠1且x≠−1，则x2≠1；
③“a>b”是“a2>b2”的必要条件；
④命题“若x<−1，则x2−2x−3>0”的否命题为“若x≥−1，则x2−2x−3≤0”.
三、解答题


(1)用辗转相除法求840与1785的最大公约数；

(2)用更相减损术求612与468的最大公约数．

命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根．若“p或q”为真命题，求m的取值范围．

已知点A3,4，求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；

(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

已知，圆C:x2+(y−4)2=4，直线l:ax+y+2a=0．
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB=22时，求直线l的方程．

如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．

(1)当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程？

(2)设P，Q分别是圆x2+y−12=3和M的轨迹上的动点，求P，Q两点间的最大距离？

已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32.
(1)求椭圆C的方程；

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E，求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市某校高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
将存在量词变成全称量词，再否定结果即可.
【解答】
解：命题p：“存在一个二次函数的图象与y轴不相交”为特称命题，
特称命题的否定是全称命题，
故p的否定是：“任意一个二次函数的图象与y轴相交”.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
由已知代入两点间的距离公式可得答案．
【解答】
解：由空间两点间的距离公式可得：
所求距离为12+22+32=14.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由题意得到椭圆x28+y212=1的焦点在y轴上，且a2=12，求解即可.
【解答】
解：∵ 椭圆x28+y212=1的焦点在y轴上，
∴ a2=12，
解得a=23，2a=43.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】
利用先定界，再定域的方式即可求解.
【解答】
解：∵ 直线x−2y=0过点2,1，
故排除B，D选项；
又2,0点满足条件，故排除A选项.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
首先解不等式，然后再找出¬p和q的关系．
【解答】
解：∵ p:x≤1，
∴ ¬p:x>1，
q:1x<1⇒x<0，或x>1，
故q是¬p成立的必要不充分条件.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①当a=1时，利用直线的方程分别化为：x=1，5y+2=0，此时两条直线相互垂直；
②如果a=−32，两条直线的方程分别为x+5y−6=0与5x=4，不垂直，故a≠−32；
③当a≠1且a≠−32时，此两条直线的斜率分别为−a+21−a,−a−12a+3，
∵ 两条直线相互垂直，
∴ −a+21−a⋅−a−12a+3=−1,
化简得a=−1，
综上可知，a=±1.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．
【解答】
解：当0即曲线x225−y29−k=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9−k，c2=34−k，
曲线x225−k−y29=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25−k，b2=9，c2=34−k，
即两个双曲线的焦距相等.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
利用程序框图，依次写出循环答案即可.
【解答】
解：当k=1，s=1时，进入程序循环得：
s=1+−11×12=12，k=2，不满足k≥3,
所以s=12+13=56，k=3，满足k≥3，
所以输出s=56.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
利用圆心到直线的距离与半径的关系求解.
【解答】
解：将圆C化为标准方程为x−22+y−12=4，
即圆C的圆心为2,1，半径为2，
则由圆心2,1到直线l的距离d=2−1+112+−12=2<2，且不为0，
可得直线l与圆C的位置关系是相交但不过圆心.
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上，
求出点P的纵坐标，从而计算出△PF1F2的面积．
【解答】
解：由题意得a=7，b=26，
∴ c=5，两个焦点F1(−5, 0)，F2(5, 0).
设点P(m, n)，
则由题意得 nm+5⋅nm−5=−1，
m249+n224=1，n2=24225，n=±245，
则△PF1F2的面积为
12×2c×|n|=12×10×245=24.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
曲线与方程
圆的标准方程
【解析】
方程|y|−1=1−(x−1)2可化为(x−1)2+(|y|−1)2=1(|y|≥1)，即可得出结论．
【解答】
解：方程|y|−1=1−(x−1)2可化为(x−1)2+(|y|−1)2=1(|y|≥1)，
当y≤−1时，方程化为(x−1)2+(y+1)2=1，
表示的曲线是圆心为(1, −1)，半径为1，直线y=−1下方的半圆；
当y≥1时，方程化为(x−1)2+(y−1)2=1，
表示的曲线是圆心为(1, 1)，半径为1，直线y=1上方的半圆，
∴ 方程|y|−1=1−(x−1)2表示的曲线是两个半圆．
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
【解析】
把x=−c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60∘推断出2cb2a=3整理得3e2+2e−3=0，进而求得椭圆的离心率e．
【解答】
解：由题意知点P的坐标为(−c, b2a)或(−c, −b2a)，
∵ ∠F1PF2=60∘，
∴ 2cb2a=3，
即2ac=3b2=3(a2−c2),
∴ 3e2+2e−3=0，
∴ e=33或e=−3（舍去）．
故选B．
二、填空题
【答案】
(0, 18)
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
先将方程化成标准形式，即x2=12y，求出 p=14，即可得到焦点坐标．
【解答】
解：抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y，焦点在y轴正半轴上，
∴ p=14，故焦点坐标是 (0, 18).
故答案为：(0, 18).
【答案】
1101010(2)
【考点】
进位制
【解析】
首先把3进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以3的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以2，倒序取余即可．
【解答】
解：10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30=106(10)，
106÷2=53⋯0，
53÷2=26⋯1，
26÷2=13⋯0，
13÷2=6⋯1，
6÷2=3⋯0，
3÷2=1⋯1，
1÷2=0⋯1，
故：106(10)=1101010(2) .
故答案为：1101010(2)．
【答案】
x264+y248=1
【考点】
轨迹方程
椭圆的定义
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，
设动圆圆心为Mx,y，半径为r．
因为动圆M内切于圆C1，
所以|MC1|=13−r.
因为动圆M外切于圆C2，
所以|MC2|=3+r，
所以|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8，
所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a=16，2c=8，b2=a2−c2=64−16=48，
故所求轨迹方程为x264+y248=1 .
故答案为：x264+y248=1.
【答案】
①②④
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
四种命题间的逆否关系
双曲线的渐近线
【解析】
利用双曲线性质可判断①，利用逆否命题的定义判断②，利用充分性必要性判断③，利用否命题判断④.
【解答】
解：①双曲线为等轴双曲线，即为x2−y2=mm≠0，
则渐近线方程为y=±x，渐近线互相垂直，故①正确；
②若x2=1，则x=1或x=−1的逆否命题为：
若x≠1且x≠−1，则x2≠1，故②正确；
③若a=1，b=−2，则a2若a=−2，b=1，则可得必要性不成立，
∴ “a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故③错误；
④命题“若x<−1，则x2−2x−3>0“的否命题为
“若x≥−1，则x2−2x−3≤0”，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为1785=840×2+105，
840=105×8，
所以840与1785的最大公约数是105.
(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，还是偶数，用2约简，得到153和117.
153−117=36，
117−36=81，
81−36=45，
45−36=9，
36−9=27，
27−9=18，
18−9=9，
所以612与468的最大公约数是9×2×2=36.
【考点】
用辗转相除计算最大公约数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为1785=840×2+105，
840=105×8，
所以840与1785的最大公约数是105.
(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，还是偶数，用2约简，得到153和117.
153−117=36，
117−36=81，
81−36=45，
45−36=9，
36−9=27，
27−9=18，
18−9=9，
所以612与468的最大公约数是9×2×2=36.
【答案】
解：“p或q”为真命题，则有三种情况：p为真命题，或q为真命题，或p和q都为真命题．
当p为真命题时，则
Δ=m2−4>0，x1+x2=−m>0，x1x2=1>0，
解得m<−2；
当q为真命题时，则Δ=16(m+2)2−16<0，解得−3当p和q都为真命题时，得−3∴ m∈(−∞, −1).
【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
根与系数的关系
【解析】
通过灵活运用复合命题的真假，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真即可以解答此题．
【解答】
解：“p或q”为真命题，则有三种情况：p为真命题，或q为真命题，或p和q都为真命题．
当p为真命题时，则
Δ=m2−4>0，x1+x2=−m>0，x1x2=1>0，
解得m<−2；
当q为真命题时，则Δ=16(m+2)2−16<0，解得−3当p和q都为真命题时，得−3∴ m∈(−∞, −1).
【答案】
解：(1)设直线在x轴，y轴上的截距均为a．
①若a=0，即直线过点0,0及3,4.
∴线的方程为y=43x，即4x−3y=0；
②若a≠0，设所求直线的方程为xa+ya=1，
又点3,4在直线上，
∴3a+4a=1，
∴a=7.
∴直线的方程为x+y−7=0.
综合①②可知所求直线的方程为4x−3y=0或x+y−7=0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，且过点3,4，
由点斜式得y−4=±x−3.
故所求直线的方程为x−y+1=0或x+y−7=0.
【考点】
直线的截距式方程
直线的一般式方程
直线的斜截式方程
直线的点斜式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设直线在x轴，y轴上的截距均为a．
①若a=0，即直线过点0,0及3,4.
∴线的方程为y=43x，即4x−3y=0；
②若a≠0，设所求直线的方程为xa+ya=1，
又点3,4在直线上，
∴3a+4a=1，
∴a=7.
∴直线的方程为x+y−7=0.
综合①②可知所求直线的方程为4x−3y=0或x+y−7=0.
(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，且过点3,4，
由点斜式得y−4=±x−3.
故所求直线的方程为x−y+1=0或x+y−7=0.
【答案】
解：(1)由题意知，圆C的圆心为(0, 4)，半径为2，
由直线l与圆C相切，可得|4+2a|a2+1=2，
解得a=−34.
(2)过圆心C作CD⊥AB，
CD=|4+2a|a2+1，CD2+DA2=AC2=22，DA=12AB=2，
解得a=−7，或a=−1．
故所求直线方程为7x−y+14=0或x−y+2=0．
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
（1）确定圆心与半径，利用直线l与圆C相切，则有|4+2a|a2+1=2，即可求出a的值；
（2）确定圆心到直线的距离，可求a，即可求直线l的方程．
【解答】
解：(1)由题意知，圆C的圆心为(0, 4)，半径为2，
由直线l与圆C相切，可得|4+2a|a2+1=2，
解得a=−34.
(2)过圆心C作CD⊥AB，
CD=|4+2a|a2+1，CD2+DA2=AC2=22，DA=12AB=2，
解得a=−7，或a=−1．
故所求直线方程为7x−y+14=0或x−y+2=0．
【答案】
解：(1)设点P的坐标为(x0, y0)，点M的坐标为(x, y)，
则由题意知x=x0，2y=y0，
∵ 点P(x0, y0)满足方程x02+y02=4，
∴ x2+4y2=4，即x24+y2=1.
(2)依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，
设Qx,y，则圆心0,1到椭圆上点的距离为
d=x2+y−12=−3y2−2y+5=−3(y+13)2+163.
∵−1≤y≤1，
∴ 当y=−13时，d取最大值为433，
∴ P，Q两点间的最大距离为433+3=733.
【考点】
轨迹方程
圆与圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线中的范围与最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设点P的坐标为(x0, y0)，点M的坐标为(x, y)，
则由题意知x=x0，2y=y0，
∵ 点P(x0, y0)满足方程x02+y02=4，
∴ x2+4y2=4，即x24+y2=1.
(2)依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，
设Qx,y，则圆心0,1到椭圆上点的距离为
d=x2+y−12=−3y2−2y+5=−3(y+13)2+163.
∵−1≤y≤1，
∴ 当y=−13时，d取最大值为433，
∴ P，Q两点间的最大距离为433+3=733.
【答案】
解：(1)∵ 焦点在x轴上，离心率为32，
∴ a=2，e=ca=32，
∴ c=3，
∴ b2=a2−c2=1，
∴ x24+y2=1.
(2)设Dx0,0，Mx0,y0，Nx0,−y0，
直线AM的方程是y=y0x0+2(x+2)，
∵ DE⊥AM，
∴ kDE=−x0+2y0，
直线DE的方程是y=−x0+2y0x−x0，
直线BN的方程是y=−y0x0−2(x−2)，
直线BN与直线DE联立得
y=−x0+2y0x−x0，y=−y0x0−2(x−2)，
整理为：x0+2y0x−x0=y0x0−2(x−2)，
即x02−4x−x0=y02(x−2)，
即x02−4x−x0=4−x024(x−2)，
解得xE=4x0+25，
带入求得yE=−451−x024=−45y0，
∴ yNyE=54，
∴ S△BDES△BDN=yEyN=45.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
椭圆中的平面几何问题
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 焦点在x轴上，离心率为32，
∴ a=2，e=ca=32，
∴ c=3，
∴ b2=a2−c2=1，
∴ x24+y2=1.
(2)设Dx0,0，Mx0,y0，Nx0,−y0，
直线AM的方程是y=y0x0+2(x+2)，
∵ DE⊥AM，
∴ kDE=−x0+2y0，
直线DE的方程是y=−x0+2y0x−x0，
直线BN的方程是y=−y0x0−2(x−2)，
直线BN与直线DE联立得
y=−x0+2y0x−x0，y=−y0x0−2(x−2)，
整理为：x0+2y0x−x0=y0x0−2(x−2)，
即x02−4x−x0=y02(x−2)，
即x02−4x−x0=4−x024(x−2)，
解得xE=4x0+25，
带入求得yE=−451−x024=−45y0，
∴ yNyE=54，
∴ S△BDES△BDN=yEyN=45.