2020-2021学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题

试卷副标题

第I卷（选择题）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．经统计,某市高三学生期末数学成绩,且,则从该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是

A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.85

6．    曲线在点处的切线斜率为

A． B． C． D．

7．下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．

B．若为真命题，则均为真命题.

C．命题“存在，使得” 的否定是：“对任意，均有”．

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．

8．以下有关线性回归分析的说法不正确的是

A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心

B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值

C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱

D．越接近1，表明回归的效果越好

9．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（    ）

A．18 种 B．24 种 C．45 种 D．90 种

10．的展开式中二项式系数之和是64，含项的系数为，含项系数为，则

A．200 B．400

C．-200 D．-400

11．设随机变量，满足：，，若，则

A．4 B．5 C．6 D．7

12．已知x、y满足组合数方程，则xy的最大值是（    ）

A．64 B．128 C．256 D．

第II卷（非选择题）

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13．能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

14．函数的最大值为_______.

15．函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有__________个元素.

16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为的圆在一个半径为的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为，给出下列四个结论，正确的是__________．

（1）星形线的参数方程为：（为参数）；

（2）若，则星形线及其内部包含个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）

（3）曲线在星形线的内部（包含边界）；

（4）设星形线围成的面积为，则．

17．《开讲啦》是中国首档青年电视公开课，节目邀请“中国青年心中的榜样”作为演讲嘉宾，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台分别在､两个地区调在了45和55共100名观众，得到如下的列联表：

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是“非常满意”的观众的概率为0.65.

（1）完成上述表格，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观众的满意程度与所在地区有关系？

（2）若以抽样调查的频率作为概率，从地区所有观众中随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和数学期望.

附表：

其中随机变量.

18．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于，两点，求的面积．

19．已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

20．(1)已知直线经过点，倾斜角.设与圆相交与两点A，B，求点P到两点的距离之积.

(2)在极坐标系中，圆C的方程为，直线的方程为.

①若直线过圆C的圆心，求实数的值；

②若，求直线被圆C所截得的弦长.

21．已知函数，不等式的解集为.

（1）解不等式；

（2）若，，，求证：.

22．已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.

参考答案

1．D

【分析】

分别求得集合A，B，取交集即可.

【详解】

由已知得，，．
故选：．

2．B

【分析】

求出的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】

等价于，故推不出；

由能推出．

故“”是“”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】

充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

3．A

【分析】

分别写出和时的不等式，相减可求得结果.

【详解】

当时，，

当时，，

不等式左边相减，得.

故选：A.

4．A

【分析】

利用绝对值三角不等式求出的最小值，即可.

【详解】

解：因为，所以.

要使不等式对一切恒成立，只需，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查绝对值三角不等式，属于基础题.

5．A

【分析】

由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解．

【详解】

∵学生成绩X服从正态分布N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，

∵P（X≥90）[1﹣P（80＜X＜90）]，

∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．

故选A．

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

6．A

【详解】

因为，所以由导数的几何意义可知曲线在点处的切线的斜率，应选答案A．

7．D

【详解】

试题分析：A．利用否命题的定义即可判断出；

B．利用“或”命题的定义可知：若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；

C．利用命题的否定即可判断出；

D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．

解：对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；

对于B．若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此不正确；

对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确

对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．

故选D．

考点：命题的真假判断与应用．

8．C

【详解】

试题分析：两个变量的相关关系分为正相关和负相关，相关系数越接近1或-1时，表明两个变量的相关性越强，相关系数越接近0则相关性越弱.所以C项的表述不正确，故选C.

考点：1、变量的相关关系的概念； 2、最小二乘法与回归直线方程.

9．D

【分析】

根据每人教两个班，且没有区分，先从6个班中选2个给一位教师，再从4个班中选2个给一位教师，然后剩余的2个班分配给剩下的教师即可.

【详解】

因为三名教师教六个班的课，每人教两个班，

所以分配方案共有种，

故选：D

【点睛】

本题主要考查组合中的分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.

10．B

【分析】

由展开式二项式系数和得n＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a和b的值，从而得到答案.

【详解】

由题意可得二项式系数和2n＝64，解得n＝6．

∴的通项公式为：，

∴当r=2时，含x6项的系数为，

当r=3时，含x3项的系数为，

则,

故选B．

【点睛】

本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

11．A

【详解】

由题意可得：，

解得：，则：．

本题选择A选项.

12．B

【分析】

由组合数公式的性质得，或，从而根据二次函数的性质以及基本不等式即可求解．

【详解】

解：，满足组合数方程，

，或，

，，

或，即．

综上，当时，取最大值128．

故选：B

13．

【详解】

试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.

【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．

14．

【分析】

拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值．

【详解】

∵

当且仅当，即时等号成立，

∴函数的最大值为

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．

15．4

【分析】

由函数的图象转化条件得，，再由并集的定义即可得解.

【详解】

由图象可得，若，则或或，

所以或或或，

所以；

若，则或，

所以或或，

所以；

所以，共4个元素.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了函数的表示及集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

16．（1）（2）（3）

【分析】

由同角的平方关系可判断（1）；求得内部（含边界）的整点，可判断（2）；由幂函数的性质和不等式的性质，可判断（3）；由星形线内部的正方形的面积，可判断（4）．

【详解】

解：（1）由为参数），可得，，

由，可得，反之亦可，故（1）正确；

（2）当时，，可得星形线及其内部的整点为：

，，，，，，

，，，，，，，，

，，，，，共33个整点，故（2）正确；

（3）曲线的参数方程为为参数），

星形线的参数方程为为参数），

显然点，比，距离原点近，

故曲线在星形线的内部（包含边界），故（3）正确；

（4）由方程，可得换为，换为，方程不变，可得星形线关于直线对称，

解得与星形线的交点为，，，，

由，可得与轴的交点,，

则星形线内的正方形的面积为，

所以，故（4）错误．

故答案为：（1）（2）（3）．

17．（1）表格答案详见解析，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别；（2）分布列答案详见解析，数学期望.

【分析】

（1）根据已知完善列联表，计算出的值，由此判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.

（2）设抽到的观众“非常满意”的人数为，服从二项分布，由此能求出的分布列和数学期望.

【详解】

（1）依题意得列联表为：

，

所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有区别.

（2）从地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，

随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3，，

，

，

，

，

的分布列为：

.

【点睛】

本题考查了独立性检验的应用，用频率估计概率，考查概率的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

18．（1），；（2）.

【详解】

试题分析：（1）通过加减消元法求得直线的普通方程为，根据化简得圆的极坐标方程为；（2）将直线向右平移个单位得到直线，方程为，其极坐标方程为，所以，故.点到直线的距离为，所以．

试题解析：

（1）根据题意，直线的普通方程为，曲线的极坐标方程为

（2）的普通方程为，所以其极坐标方程为，所以，故，

因为，所以点到直线的距离为，所以

考点：坐标系与参数方程．

19．（1）；（2）

【详解】

分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；

(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.

详解：（1）当时，，即

故不等式的解集为．

（2）当时成立等价于当时成立．

若，则当时；

若，的解集为，所以，故．

综上，的取值范围为．

点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.

20．（1）2；（2）①；②

【分析】

（1）求出直线的参数方程，并代入圆的方程，利用直线参数方程的几何意义即可求解；

（2）将极坐标方程化为直角坐标方程，①将圆心代入直线即可求出

②先求出圆心到直线的距离，根据弦长公式即可得出直线被圆C所截得的弦长.

【详解】

（1）直线的参数方程为，即.

把直线代入，

得，，，

则点P到A，B两点的距离之积为2.

（2）①以极点为坐标原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系.

由得，

则圆C的直角坐标方程是，

圆心坐标为，半径.

由，得，

则直线l的直角坐标方程是.

若直线l通过圆C的圆心，则，所以.

②若，则圆心到直线的距离，

所以直线l被圆C所截得的弦长为.

【点睛】

本题主要考查了直线参数方程的几何意义以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，过点,且倾斜角为的直线的参数方程，属于基础题.

21．（1）或；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由不等式的解集求得，然后利用零点分段法解不等式即可得到答案.

（2）由已知可得，然后利用基本不等式中‘1’的妙用即可得到证明.

【详解】

（1）由，得，

的解集为，

则，，得.

不等式可化为，

则或或，

解得或或，

所以原不等式的解集为或.

（2）因为，，

所以，即.

所以，

当且仅当，即，时取等号.

所以不等式得证.

【点睛】

本题考查利用零点分段法解含绝对值的不等式，考查基本不等式中‘1’的妙用，属于基础题.

22．(1) .

(2) .

(3)证明见解析.

【详解】

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.

     （Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围；

(Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明. 即的图象在图象的下方.

详解：解：（Ⅰ）求导，得，

又因为

所以曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ）设函数，

求导，得，

因为函数在区间上为单调函数，

所以在区间上，恒成立，或者恒成立，

又因为，且，

所以在区间，只能是恒成立，即恒成立.

又因为函数在在区间上单调递减，，

所以.

(Ⅲ）证明：设.

求导，得.

设，则（其中）.

所以当时，（即）为增函数.

又因为，

所以，存在唯一的，使得

且与在区间上的情况如下：

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以 .

又因为，，

所以，

所以，即的图象在图象的下方.

点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法. 将的图象在图象的下方，通过构造新函数，转化恒成立是解题关键.