四川省绵阳市2022届高三上学期第一次诊断性考试（11月） 数学（理） PDF版含答案

绵阳市高中2019级第一次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

       CDBCC     AABDD    AD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．7         14．2                     15．                  16．[1，]

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）

． ………………………………………………4分

∵相邻对称轴间距离为，

∴函数的最小正周期，即，解得，

∴． …………………………………………………………6分

由，得()，

∴函数在 [0，]上的单调递增区间为[0，]．………………………8分

（2）将函数的图象向左平移个单位后得，

∵为偶函数，

∴，即， ……………………………………………10分

∴，即．

又，

∴．………………………………………………………………………12分

18．解：（1）∵①，

∴，即．

∵，∴．     …………………………………………………………2分

当时，．②

由①－②得，即．又，

∴数列是以首项为2，公比为3的等比数列．  ………………………… 5分

∴．………………………………………………………………… 6分

（2）由，…………………………………………………………7分

得①

②

由①－②，得，

．

∴ ．  …………………………………………………………12分

19．解：选择条件①： 由，得，

由正弦定理可得，.

∴，

∴，

∵，∴，

∴，又，∴．

选择条件②：由正弦定理可得，，

又，

∴，

化简整理得，

由，∴，

又，∴．

选择条件③：由已知得，，

由余弦定理，得，

∵，

∴，

∵，∴，

由正弦定理，有，

∵，∴.

又，∴．  …………………………………………………………4分

（1）证明：由正弦定理得，

      ∴，

      ∴，得证． ……………………………6分

（2）由AP=2PB及AB=3，可得PB=1，

在△PBC中，由余弦定理可得，

．………………………………………………………………9分

      ∵△ABC为锐角三角形，∴，即．

当时，取最大值为．

∴线段CP的长度的最大值为．    ………………………………………12分

20．解：（1）由题意得-(x-3a)(x+a)．…………………1分

当时，，[-4，2]．

 由，解得；

由，解得或．………………………………………3分

∴函数f(x)在区间(-3，1)上单调递增，在区间[-4，-3)，(1，2]单调递减．

又 ，

∴函数在区间[-4，2]上的最大值为0，最小值为． ………………6分

（2）存在实数m，使不等式的解集恰好为(m，+)，

等价于函数f(x)只有一个零点．

∵，

i)当a<0时，由，解得，

∴函数f(x)在区间(3a，-a)上单调递增；

由，解得或，

∴函数f(x)在区间(，3a)，(-a，)上单调递减．

又，

∴只需要f (-a)<0，解得-1<a<0．

∴实数a的取值范围为 -1<a<0．

ii)当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立．…………………………………10分

   iii) 当a>0时，由，解得，

即f(x)在区间(-a， 3a)上单调递增；

由，解得或，

即函数f(x)在区间(，-a)，(3a，)上单调递减；

又，∴只需要f(3a)<0，解得．

综上：实数a的取值范围是．  ………………………………………12分

21．解：（1）由题意得．  …………………………1分

∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2e-3，

∴，解得b=2． ………………………………………3分当x>1时，等价于，即．

令，

则．

∴函数在区间上单调递增，

∴，

∴当x>1时，． ……………………………………………6分

（2）由题得．

若g(x)=f(x)+(4-a)x-1无极值，则恒成立或恒成立．

i)当恒成立时，，

即．

令．

∴(x>0)．

令，则，

即在 (0，)上单调递增． ………………………………………………8分

又，

∴存在(，1)，使得．

∴当时，，即，

∴函数h(x)在区间单调递减．

当时，，即，

∴函数h(x)在区间单调递增．

∴函数h(x)的最小值为h(x0)=．………………………10分

又，即，

代入，得h(x0)==．

又(，1)，则h(x0)= =(3，)．

∴正整数a的最大值是5．

ii)当恒成立时，，

即，

又由（i）知， 函数h(x)在区间上单调递增，

∴函数h(x)不存在最大值．

综上：正整数a的最大值是5．   ………………………………………………12分

22．解：（1）曲线的极坐标方程为．  …………………………2分     

设P()为曲线上的任意一点，

∴．

 ∴曲线极坐标方程为． …………………………………5分

（2）∵直线与曲线，分别交于点A，B(异于极点)，

∴设B()，则A()．

由题意得，，

∴． ……………………………………………………7分

∵点M到直线AB的距离，

∴

．

∴△ABM的面积的最大值为．  ……………………………………………10分

23．解：（1）由题意得． ………3分

 ∵函数的最大值为6，

 ∴，即．

 ∵m>0，∴m=2.     ………………………………………………………………5分

（2）由（1）知，，∵x>0，y>0，z>0，

        ∴

 (当且仅当时，等号成立)．  …………………………8分

∴，

     ∴(当且仅当时，等号成立)．   ………………10分