河北省盐山中学2021-2022学年高二9月月考数学试题 Word版含答案

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知向量，，则 = 

A. 3 B. 4 C. 2 D. 6

2. 直线的倾斜角为

A.  B.  C.  D.

3. 若直线l的斜率，又过一点，则直线l经过点

A.  B.  C.  D.

4. 已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为     

A. ，9 B. ，3 C. ，3 D. ，9

5. 如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有

A. 与共线 B. 与同向 C. 与反向 D. 与共面

6. 四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 已知空间中三点，，，则     

A. 与是共线向量
B. 的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面ABC的一个法向量是

8. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点、，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是    参考公式：若的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为．

A.  B. ，
C. ， D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是   

A. 圆M的圆心为 B. 圆M经过点（3，2）

C. 圆M的半径为25 D. 圆M不经过第二象限

10. 已知，分别为直线，的方向向量不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中，正确的是

A.  B.
C.  D.

11. 下列说法正确的是

A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程不能表示平行x轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点，的直线方程为

12. 如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列结论正确的是   

A. 直线与直线AD是异面直线
B. 在直线上存在点F，使平面
C. 直线与平面所成角是
D. 点B到平面的距离是

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 过点且与直线平行的直线l的方程为          ．
14. 若三点，，在同一直线上，则实数b等于          ．
15. 已知P是所在的平面外一点，，，给出下列结论：；；是平面ABCD的法向量；其中正确结论的个数是          ．
16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为          （2分）；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则三棱锥的体积的最小值为          （3分）．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. （10分）三角形的三个顶点是，，，求BC边上的高所在直线的方程？
18. （12分）分别求满足下列条件的圆的方程

经过点，圆心为点；

经过三点，，

19. （12分）已知空间中三点2，，1，，，设，．
    求向量与向量的夹角
    若与互相垂直，求实数k的值．
20. （12分）如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为12和，高为6．

求这个等腰梯形的外接圆E的方程；

若线段MN的端点N的坐标为，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．

21. (12分）如图，在直三棱柱中，，，  D，E分别为AB，的中点．
     

求证；

 求异面直线CE与所成角的余弦值．

22. （12分）如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，E为PC的中点．
    
    求直线DE与平面PAC所成角的大小；

求二面角平面角的正切值；

在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由．

答案

1. C 2. C 3. B 4. B 5. A 6. A 7. D
8. A 9. AD 10. BC 11. BD 12. BCD 

13.   

14.   

15. 3  

16.   

17. 解：BC边所在的直线的斜率 ，
因为BC边上的高与BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为 ．
又BC边上的高经过点，
所以BC边上的高所在的直线方程为 ，
即．  

18. 解：由两点间的距离公式可知，
圆C的半径长为，
因此，圆C的方程为；
设所求圆的一般方程为，
将A，B，C三点的坐标代入圆的方程，
得
解得
因此，所求圆的方程为．  

19. 解：，，

设与的夹角为，
；

，

，

，
且，

，
故．

20. 解：设圆心，由题意可知，，
由得，解得，
所以半径，
所以圆E的方程为．
设，由于P是线段MN的中点，
由中点坐标公式，得，
代入，化简得，
即中点P的轨迹方程为．  

21. 解：设  ，，  ，
根据题意得， ，
证明：易知 ， ．
．
，即．
易知 ，，
又 ，，
，
，，
即异面直线CE与所成角的余弦值为．  

22. 解：
连结对角线AC、BD相交于点O，连结DE、OE，则根据中位线性质得到，
平面ABCD，平面ABCD，，底面是菱形ABCD，
以O为原点，OA、OB、OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
，，，，，0，，0，，1，，
0，，，0，，0，，
，，．
平面PAC的法向量为，
，
设直线DE与平面PAC所成的角，有，直线DE与平面PAC所成的角为；
设二面角的平面角为，是锐角，等于法向量夹角余弦的绝对值，平面ADC的法向量为，设平面EAD的法向量为，
，取，得到
，
即，，，故二面角的平面角正切值是2．
设PC上存在点M使得平面MBD，则有，
，设，，

，
，
，，
此时，而平面PAC，平面PAC，，，BD，平面平面MBD．
故当时，能使得平面MBD．  

【解析】

1. 【分析】

本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
根据空间向量数量积的坐标运算列方程求出x的值．
 

【解答】

解：2，，5，， 
，
故选C．

2. 解：设直线的倾斜角是，．
直线，
，
直线的倾斜角为．
故选：C．
设直线的倾斜角是，由直线，得到，由此能求出直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线方程、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3. 解：直线l的斜率，又过一点，则直线l的方程为，即．
显然，直线经过点，
故选：B．
由题意利用用点斜式求直线的方程，可得结论．
本题主要考查用点斜式求直线的方程，属于基础题．

4. 【分析】

本题考查圆的方程，属于基础题，
解决问题的关键是转化为标准方程求解圆心坐标即可．

【解答】

解：由题，所以，所以圆心坐标为，半径为3，
故选B．

5. 解：由于向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，
则向量和一定共线．
故选：A．
直接利用向量的基底的定义，向量的共线即可判断．
本题考查的知识要点：向量的基底的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．

6. 【分析】

本题考查了利用空间向量解决点到面的距离涉及到平面的法向量，向量的数量积，以及点到平面的距离．

【解答】

解：设面ABCD的法向量为，

，

，

令，则，

，

．

故选A．

7. 【分析】
本题主要考查空间向量共线的判断，考查单位向量和向量的数量积运算，考查平面的法向量的求解，属于中档题．
可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可．
【解答】
解：1，，2，，，所以与不共线，所以A错误
的单位向量为或，所以B错误
1，，所以，所以C错误
设平面ABC的法向量是y，，
则，即，
所以，所以D正确．
故选D．

8. 【分析】

本题考查直线方程的综合求法及应用，涉及直线交点坐标的计算，考查运算求解能力，属于中档题．
设点C的坐标为，由重心的坐标公式求得该三角形的重心坐标，代入欧拉线方程得一方程，求出线段AB的垂直平分线方程，和欧拉线方程联立求出三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得出另一方程，两方程联立可求出点C的坐标．

【解答】

解：设点C的坐标为，由重心的坐标公式可知的重心为，

代入欧拉线方程得，整理得

线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率为，

线段AB的垂直平分线方程为，即，

联立，解得
所以的外心为，

则，整理得

联立得或

当，时，点B、C重合，舍去，
因此顶点C的坐标是．

故选：A．

9. 【分析】

本题考查圆的方程和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项的正确性；令圆的方程的和，求出圆被x轴和y轴截得的弦长，判断选项的正确性．

【解答】

解：对于选项，

圆M的一般方程为，

则圆的标准方程为．

所以圆的圆心坐标，半径为5．

所以选项A正确，选项C不正确；

对于选项B，令中的，

得或，

所以圆M被x轴截得的弦长为8，所以选项B正确；

对于选项D，令中的，

得或，

所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D正确．

故选：ABD．

10. 解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行或垂直的充要条件是它们的方向向量平行或垂直，
故选项A，B正确；
若两个平面不重合，则空间中面面平行或垂直的充要条件是它们的法向量平行或垂直，
故选项C，D正确．
故选：ABCD．
根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案．
本题考查了空间中线面位置关系判断的向量法，考查了空间想象能力与转化能力，属于基础题．

11. 【分析】

本题考查了直线方程，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由截距式可判断由一般式可判断B；由点斜式可判断C，D．

【解答】

解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误；

对于B，当时，方程表示平行y轴的直线，故正确； 

对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错误；

 对于D，当时，直线的斜率存在，直线方程为，
即．
当时，直线的斜率不存在，直线方程为，
此时满足方程．
所以D正确； 

故选BD．

12. 分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，异面直线的判定，利用空间向量判定线面垂直，利用空间向量求线面角，线面距离，属中档题．
对于A，连接，由E为的中点可得E为的中点，再由且可得且，由四边形的形状可判定结论；对于B，建立空间直角坐标系，设可得，计算平面的一个法向为，由解方程组即可判定；对于C，由直线与平面所成角的向量公式运算即可判定；对于D，由点到面的距离公式运算即可判定．
【解答】
解：对于A，连接，因为在正方体中E为的中点，所以E为的中点，又因为且，所以且，所以四边形为梯形，所以直线与直线AD共面，故A错误；
对于B，以A为原点，以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设，则，，设平面的一个法向量为，由可得令，则有，即，若直线上存在点F，使平面，则有，即存在实数，使得，即，解得，即存在点F为中点，使得平面，故B正确；
对于C，由B可得，设直线与平面所成角是，由，可得直线与平面所成角是，故C正确；
对于D，由点到面的距离公式可得，故D正确．
故答案为BCD．

13. 【分析】

本题考查了直线方程的点斜式，一般式，属基础题．
根据直线平行先求出其斜率，再利用用点斜式就可求得该直线方程．

【解答】

解：由已知得，所求直线的斜率与直线l 的相同，均为，
由点斜式得所求直线的方程为，即．
故答案为．

14. 【分析】

本题考查向量的共线关系，熟练掌握向量共线定理是解题的关键．
利用向量共线定理即可得出．

【解答】

解：，．
三点、、共线，
存在实数，使得，
，解得．
故答案为．

15. 【分析】

本题考查线线垂直的向量表示，线线平行的向量表示，属于中档题．

只需验证两组空间向量的数量积为0即可判断垂直，故正确；

由及线面垂直的判定可知正确；

由空间向量的减法的坐标运算可得的坐标，由空间向量共线定理可得错误．

【解答】

解：，，，

，所以，故正确；

，所以，故正确；

由知是面ABCD的法向量，故正确；

，令，无解，故错误．

故答案为3．

16. 【分析】

本题考查了新定义轨迹方程问题，空间距离的求法，考查了三棱锥的体积运算，考查了转化思想，计算能力，属于拔高题．
若点P在平面ABCD内运动时，如图以A为原点建立平面直角坐标系，可得，，设，由可得即，即可得半径的值；
若点P在长方体内部运动，由可得点P在半径为，球心为A的球面上以D为原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得A到面的距离为，求得P到面的距离的最小值为，又点M到面的距离的最小值为，利用体积公式即可求．

【解答】

解：若点P在平面ABCD内运动时，
如图以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，可得，．
设，由可得．
即，．
则点P所形成的阿氏圆的半径为，圆心为A，



若点P在长方体内部运动，由可得点P在半径为，球心为A的球面上．以D为原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

可得0，，3，，6，，6，
则3，，3，，6，
设面的法向量为y，，
，可得．
A到面的距离为．
则P到面的距离的最小值为，
为CP的中点，到面的距离的最小值为．
则三棱锥的体积的最小值为
．
故答案为：．

17. 本题主要考查了直线的点斜式方程和两点式方程及两条直线的垂直关系的应用．

求BC边所在的直线的斜率，根据垂直直线的斜率关系求BC边上的高所在直线的斜率，用点斜式写出直线方程；
求BC边中点的坐标，用两点式写出直线方程．

18. 本题考查圆的方程的求解，属于基础题．
利用两点间的距离公式计算出圆的半径，再写出圆C的标准方程；
设所求圆的一般方程为，将A，B，C三点的坐标代入圆的方程，得三元一次方程组，求出D，E，F的值，可得出所求圆的方程．

19. 本题考查空间向量的数量积及夹角的计算，属于基础题．

由夹角公式求解即可
利用即可求解．

20. 本题考查圆的标准方程以及动点轨迹方程的问题，属于一般题．
根据题意，由可建立关于b的方程，解出b，进而得到半径的值，即可写出结果．
利用求动点轨迹方程的相关点法处理本题设，因为点P是线段MN的中点，所以可根据中点坐标公式，把点M的坐标用设x，y表示代入圆E的方程，整理即可得到点P的轨迹方程．

21. 本题主要考查向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．属于中档题目．
先 ，，建立一个基底，再用基底表示，，然后计算其数量积，可得答案；
由表示，，再用向量的夹角求解．

22. 本题主要考查了线面垂直的判定、向量法求线面角、面面角的正切值以及探索点的存在性问题，属于中档题．
解题时先根据条件判断出三条主线两两垂直，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，相关向量的坐标．
根据线面角正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦绝对值即可求解；
先判断二面角是锐角还是钝角，再利用平面法向量夹角与二面角的关系即可；
在假设存在的情况下，利用条件列出关于描述点位置的参数方程，解方程求得参数，最后验证在取得参数值的时候原命题成立即可．