专题06 圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型（学生版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

专题06 圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型

【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：

圆锥曲线的第三定义：

平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线,

其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：

1.椭圆方程中有关的经典结论

(1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.

(2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有

(3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有

(4). 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有

2.双曲线方程中有关的经典结论

(1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，

即。

(2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有

(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有

(4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有

【考点精选例题精析】：

例1．（2021·全国）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解.

【详解】

由题意，椭圆，可得，，

设，代入椭圆的方程，可得，

则，

即，即.

又因为，所以.

故选：A.

例2．（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设出点，点的坐标，求出斜率，将点，的坐标代入方程，两式相减，再结合，即可求得离心率．

【详解】

设，，

因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，

所以．

因为点A，在双曲线上，所以，

两式相减，得，

所以，所以．

故选：D.

例3．（2021·吉林高三期末（文））已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（    ）

A．

B．的离心率为

C．若，则的面积为2

D．若的面积为，则为钝角三角形

【答案】D

【分析】

设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，

通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；

设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断C；

设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.

【详解】

设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)

则，且，两式相减得，

所以，因为，所以，

故双曲线C的渐近线方程

因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，

所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．

对于C，不妨设P在右支上, 记 则

因为 , 所以

解得 或 (舍去）, 所以 的面积为

，故C不正确；

对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，

将带入C：，得，即

由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，

因为

所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确

故选：D

例4．（2021·全国高三（理））已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率存在，记为，．

①求证：为定值；

②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①，②．

【分析】

（1）依题意列方程组，，即可求解；

（2）①设椭圆的“卫星圆”的圆心为，由切线条件得，，化简即可求得为定值；②设由题意得，由于，所以，根据距离公式即可求得结果．

【详解】

（1）依题意得，，，解得

所以椭圆的标准方程为

（2）①直线，的方程分别为，设椭圆的“卫星圆”的圆心为

因为直线，为“卫星圆”的两条切线，则，

化简得，

所以，为方程的两根，故

又因为，所以，故为定值；

②设，

由 ，

则

由于，所以，

得

所以为定值．

例5．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率

之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由得．

记，则．于是直线的斜率为，方程为．

由得．①

设，则和是方程①的解，故，由此得．

从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．

（ii）由（i）得，，所以△PQG的面积．

设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．

因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．

因此，△PQG面积的最大值为．

例6.（成都市2019-2020学年高二上学期期末调研考试）已知椭圆的左,右焦点分别为 ，，，经过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于 ，两点，△的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过椭圆上的一点作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆相交于异于点的，两点.若，关于坐标原点对称，求的值

【答案】 （1） （2）.

【解析】

解:(I)∵，∴.

∵△的周长为8，∴，.

∵，∴

∴椭圆的方程为.

（2）设，.∴，，.

∴，

两式相减，得

∵，，∴

【达标检测】：

1．（2021·全国高三月考（理））设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

因为点，在双曲线上，利用点差法将点代入双曲线做差化简结合题意可得，利用的平方关系可求出离心率.

【详解】

设，，则直线的斜率为，直线的斜率为，

即．

因为点，在双曲线上，所以有，，

化简可得：，

所以有，离心率为．

故选：D．

2．（2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末（理））若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据给定条件确定出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解.

【详解】

显然函数的图象过原点，而双曲线的渐近线也过原点，

依题意，原点必为双曲线的某条渐近线与函数的图象相切的切点，

由求导得，即有，于是得，双曲线半焦距c，，

所以双曲线的离心率为.

故选：D

3．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程.

【详解】

由长轴长为4得，解得，

设，直线l方程为，，，

则，，

由得，，即，

所以①，

又P在椭圆上，所以，即，

代入①式得，即，

因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，

所以，解得，

所以所求椭圆方程为．

故选：D．

【点睛】

思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

4．（2021·河南高二期中（理））已知平行四边形内接于椭圆：（），且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先表示出直线，斜率，利用，斜率之积的范围为，得到的范围 ，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围.

【详解】

平行四边形内接于椭圆，

假设不关于原点对称，过点作互相平行的两条直线，分别交椭圆于两点，

则由椭圆的对称性，, 这与条件不符合.

所以由椭圆的对称性可得关于原点对称，关于原点对称.

设，，，，

直线的斜率，直线的斜率，则，

又，都在椭圆上，则，，

，

，

，又，，

故选：.

5．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）过原点的直线与椭圆：交于，两点，是椭圆上异于，的任一点.若直线，的斜率之积为，则椭圆的方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设，，求得的斜率，根据直线的斜率之积为列方程，求得的值，即可得解.

【详解】

设，，则，

所以，

所以即.

故选：B.

6.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由圆锥曲线的经典结论得：，

7.（四川省成都市2019届高三第一次诊断性考试，理科，12）设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（     ）

A.      B.      C.       D.

【答案】D

【解析】设，点P在双曲线上，得，

，所以，，化简

原式

所以设，构造函数，求导可以得到：

时，函数取得最小值=，，。

8．（2022·全国高三专题练习）过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．

【答案】

【分析】

联立直线与椭圆方程，表示出点的坐标，表示出直线的斜率，从而求出的值．

【详解】

设直线的方程为：， 由，整理得：，

所以，，

所以，所以

，，所以.

故答案为：.

9．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．

【答案】

【分析】

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，带入椭圆方程作差，利用重心坐标公式，求得，，代入上式，即可求解.

【详解】

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

两式相减得＋＝0.(*)

因为△ABF1的重心为G，

所以故

代入(*)式得，

所以＝＝，即a2＝3b2，

所以椭圆C的离心率e＝.

故答案为：

10．(四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考)已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【解析】

（1）由题意知则，

设， ， ，则 ，

由，则，则，则，由此可得椭圆的标准方程为.

（2）设，则直线的方程为；则直线的方程为联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.

联立得消去得： ，则，即代入直线的方程得，故.

当，即，则与轴交点为，

当，即时，下证直线过点，

由 ，

故直线过定点.

11.(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考）如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由已知设点的坐标为,由题意知

,

化简得的轨迹方程为．

（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点,且,

则直线斜率必存在且不为0,又由已知．

因为,所以．

设直线的方程为,代入椭圆方程,得

．．．．①,．

设的坐标分别为,则．

又,

所以,得．

又,

所以,即的面积为定值．

3．

12．（2020·江苏扬州联考）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且，设直线AM，BN的斜率分别为，求的值．

【解析】（1）因为椭圆C的离心率为，所以①，

因为椭圆C的右准线的方程为，所以②，联立①②，解得，

所以，所以椭圆C的标准方程为．

（2）设，

因为过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点，所以，

由，得，所以，

因为，所以．

因为，所以，即，

整理得，所以，

又，所以，

即，即，整理得．

因为直线AM，BN的斜率分别为，且，

所以

．

13．（2020·江苏省淮阴中学高三月考）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知､为椭圆上不同的两点．①设线段的中点为点，证明：直线､的斜率之积为定值；②若､两点满足，当的面积最大时，求的值．

【解析】（1）依题意有，解得，所以椭圆的标准方程为。

（2）设，，则，两式相减得：①

∵的中点为，∴，∴．

（3）解法l：由，因为，

所以，，②

代入①式得直线的斜率为，

设直线的方程：，联立方程组，

消得：，由，

解得，且，，③

由②③可得，，

到：的距离为，

所以，

当且仅当，即时取等号，满足，

由②③可得，所以的值为．

解法2：设直线的方程：，

联立方程组，消

得：，

，，

 ，

由，因为，

所以，，有，

所以，解得，下同解法1．

14．（2021·绥德中学高二月考（理））设椭圆的离心率，过点A（1，）.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）为定值.

【分析】

（1）根据，得，根据椭圆过点A（1，），得，结合求得，即可得出答案；

（2）设，直线得方程为，联立，根据韦达定理求得，根据B、E、M三点共线，可求得，同理可求得，利用斜率公式化简整理即可得出结论.

【详解】

解：（1）因为，所以①，

将A（1，）代入得②，

又③，

由①②③解得，

所以椭圆的方程为；

（2）设，直线得方程为，

联立，得，

则，

由B、E、M三点共线，可知，即，

同理可得：，

则，

，

所以.

所以为定值.