2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期第二次月考数学试题含解析

2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期第二次月考试题

数学

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设集合，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知平面直角坐标系xOy中，原点为O，点，，C(3，0)，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．已知a=3.20.1，b=log25，c=log32，则（    ）

A．b>a>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>b>c

6．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若则球的表面积为

A． B．

C． D．

7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

9．若复数满足(为虚数单位)，则下列结论正确的有（    ）

A．z的虚部为 B．

C．z的共轭复数为 D．z是第三象限的点

10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则与共线

C．若，则

D．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

11．在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，则下列结论中正确的是（    ）

A．在中，若，则

B．若，则是等腰三角形

C．若，则是直角三角形

D．若，则是锐角三角形

12．意大利画家列奥纳多·达·芬奇(1452.4—1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为.则下列关于双曲正､余弦函数结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．为偶函数，且存在最小值

第II卷（非选择题）

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13．若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）

14．已知向量，，若，则_________.

15．在中，为钝角，，函数的最小值为，则的最小值为________.

16．年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则________；________.

17．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.

（1）用，表示，；

（2）若EF⊥EG，，求角A的值.

18．如图，四棱台，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且，，.

（1）求四棱台的侧面积；

（2）求四棱台的体积.（台体体积公式）

19．在条件①；②；③中任选一个，补充以下问题并解答：

如图所示，中内角A､B､C的对边分别为a､b､c，___________，且，D在AC上，.

（1）若，求；

（2）若，求AC的长.

20．已知函数

求的单调递增区间；

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，求面积的最大值．

21．今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本万元，且由市场调研知，海部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（1）求出2021年的利润(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润销售额成本)；

（2）2021年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

22．已知函数，．

(1)若函数是奇函数，求实数的值；

(2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；

(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．

参考答案

1．C

【分析】

根据集合的包含关系结合必要不充分条件的概念即可判断.

【详解】

，，则，即“”是“”的必要不充分条件.

故选：C

2．B

【分析】

直接判断函数的单调性，依次计算选项中各区间端点处的函数值，再借助零点存在性定理即可得解.

【详解】

显然函数在上单调递增，

，

所以函数的零点所在的一个区间是.

故选：B

3．B

【分析】

先根据诱导公式求解出的值，然后根据同角三角函数的基本关系求解出的值.

【详解】

由，得，

则.

故选：B.

4．A

【分析】

利用平面向量的几何意义即投影向量的定义求解即可

【详解】

解：因为，，C(3，0)，

所以，，

所以向量在向量方向上的投影向量为

.

故选：A

5．A

【分析】

由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果.

【详解】

所以

故选：A

6．C

【分析】

由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】

由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，所以，由球的表面积公式得，故选C．

【点睛】

本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.

7．B

【分析】

利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．

【详解】

，

即，解得，

即．

故选：B．

8．A

【分析】

求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解

【详解】

由函数单调性性质得：，在R上单调递增

所以在R上单调递增，

令函数，

则函数为奇函数，且在R上单调递增，

故．

故选:A

【点睛】

构造奇函数利用单调性是解题关键.

9．BC

【分析】

由求出复数，然后逐个分析判断即可

【详解】

∵，∴，

所以虚部为，，共轭复数为，z是第四象限的点.

故选：BC

10．BC

【分析】

对于,A，举反例即可；对于B，由数量积的定义判断即可；对于C，两边平方化简即可；对于D，与的夹角为锐角，则，且与不共线

【详解】

当，在方向上的投影相同时，显然不一定成立，A错误；

若，则向量夹角或，与同向或反向，共线，B正确；

若，两边平方得，，即，C正确；

若因为，，所以，

因为与的夹角为锐角，则，且，所以D不正确.

故选：BC

11．AC

【分析】

A：在中，若，根据大边对大角，所以，利用正弦定理，即可判断；B：由，得或，进一步整理即可判断；C：角化边即可判断；D：结合余弦定理以及三角形的分类即可判断.

【详解】

在中，若，根据大边对大角，所以，利用正弦定理，所以，则，故选项A正确；对于选项B，∵，∴或，，即或，为等腰或直角三角形，即选项B错误；对于选项C，由余弦定理知，，化简整理得，∴为直角三角形，即选项C正确，(也可以化边为角)；对于选项D，只能说明C为锐角，而角A和B不确定，即选项D错误.

故选：AC.

12．ACD

【分析】

对于ABC：根据定义化简整理即可即可判断；对于D结合函数的奇偶性与函数的单调性即可判断.

【详解】

对于A：

，故A正确；

对于B：

，故B错误；

对于C：

，故C正确；

对于D：，故函数为偶函数，由于，故(当且仅当时，等号成立)，故D正确.

故选：ACD.

13．（答案不唯一）

【分析】

在三角函数中偶函数的基本形式为，依据题意，简单判断即可.

【详解】

依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.

故答案为：（答案不唯一）

14．

【分析】

利用向量平行的坐标表示求出的值，再利用正切的二倍角公式求解即可．

【详解】

因为向量，，且，

所以，即，

所以．

故答案为：．

15．

【分析】

设，根据题意，得到，推出，再由向量模的计算公式，求出的最值，即可得出结果.

【详解】

设，由已知可得：

当时，取得最小值，即；

由为钝角，得.

所以

当时，取最小值为，所以最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查求向量模的最小值，考查向量数量积的运算，属于常考题型.

16．       

【分析】

根据复指数函数和三角函数的关系可计算得出的值，由已知条件得出，利用指数的运算性质以及复指数函数和三角函数的关系可求得的值.

【详解】

，，

因此，.

故答案为：；.

17．（1），；（2）.

【分析】

(1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果；

(2) 以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A.

【详解】

（1）由平面向量的线性运算可知，

. 

（2）由题意，因为EF⊥EG，所以

，解得，

所以，则可化简上式为，解得，又，故.

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）侧面是全等的等腰梯形，求出一个梯形面积，故；

（2）根据四棱台各个棱长，求得棱台的高，进而求出体积.

【详解】

（1）因为侧面是全等的等腰梯形，.

所以侧高为

四棱台的侧面积为

（2）因为侧面是全等的等腰梯形，.

所以四棱台的高为

四棱台的体积为：

19．条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】

若选①，由正弦定理可得，化简后再利用余弦定理可求出，

；若选②，由结合，可得，化简后可得，从而可求出；若选③，对利用二倍角公式化简可得，再由正弦定理得，从而由余弦定理可求出，

（1）由题意可得为等边三角形，所以，然后在中，利用正弦定理可求出的值；

（2）设，则，，在中利用余弦定理可求出，从而可求出AC的长

【详解】

解：选①，，

由正弦定理得，，

整理得，，由余弦定理得：，

由A为三角形内角得，；

选②，，

由得，

因为，所以，即，由于，

所以，即，故；

选③，，

所以，整理得，，

由正弦定理得，，由余弦定理得，，

由A为三角形内角得，；

（1）因为，，且，

所以为等边三角形，

所以，，，

中，由正弦定理得，，

即，

所以，

（2）设，则，，

中，由余弦定理得，，

故，.

20．（1）增区间为，；（2）

【分析】

利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调递增区间．

由，求得A，利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，再根据面积为，可得它的最大值．

【详解】

函数 

，令，求得，

可得函数的增区间为，．

在中，若，，．

，面积为．

再根据余弦定理可得，

，面积为，

故面积的最大值为．

【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．

21．（1）；（2）2021年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

【分析】

（1）根据题意由利润销售额成本求出函数关系式即可；

（2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求两个分段函数的最大值，再比较大小即可得答案

【详解】

（1）当时，，

当时，，

∴

（2）若，，

当时，万元，

若，，

当且仅当时，即时，万元，

∴2021年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

22．(1) .

(2) 函数与函数的图象有2个公共点；说明见解析.

(3).

【详解】

分析：（1）由题意可得，解出；

（2）要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数，令，利用零点存在定理判断即可；

（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，

必须使在上恒成立，令，则，上式整理得在恒成立，分类讨论即可.

详解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，

即，

，

显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.

上面等式左右两边同时乘以得

，化简得

，.

上式对定义域内任意恒成立，所以必有，

解得.

（2）由（1）知，所以，即，

由得或，

 所以函数定义域.

由题意，要求方程解的个数，即求方程

在定义域上的解的个数.

令，显然在区间和均单调递增，

又，

 且，.

 所以函数在区间和上各有一个零点，

即方程在定义域上有2个解，

所以函数与函数的图象有2个公共点.

（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）

（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，

必须使在上恒成立，

令，则，上式整理得在恒成立.

方法一：令，.

① 当，即时，在上单调递增，

所以，恒成立；

② 当，即时，在上单调递减，

只需，解得与矛盾.

③  当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以由，解得，

又，所以

综合①②③得的取值范围是.           

方法二：因为在恒成立. 即，

又，所以得在恒成立

令，则，且，

所以，

由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）

即，

所以,

所以的取值范围是.

点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.