2021-2022学年江西省新余市第四中学高二上学期开学数学考试试题含答案

新余市第四中学2021-2022学年高二上学期开学考试

数学试卷

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、单选题（每题5分，满分60分）

1．已知全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，．若，则实数（    ）

A．2或 B．2 C．0 D．

4．平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（    ）

A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值

5．实数满足不等式组，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．小雨利用几何画板探究函数图象，在他输入一组的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）

A．  B． 

C．  D．

7．若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A．  B． 

C．  D．

8．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A．的最小正周期为 

B．图象的一条对称轴方程为

C．的单调递增区间为

D．的单调递减区间为

9．《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

10．已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（    ）

A．1< a < 3 B． C． D．

11. 已知为等腰三角形，顶角A为，腰长为2，P为平面ABC内一点，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

12．已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分）

13. 已知函数，若在区间上任意取一个数t，则在上为单调函数的概率为__________．

14．已知函数（），若的图像在上与x轴恰有两个交点，则的取值范围是___________.

15. 已知a，b为正实数，且a + b + ab = 3,则2a + b的最小值为__________.

16．设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是__________.

三、解答题（第17题满分10分，第18~22题每题满分12分，共计70分）

17．已知是等差数列，是等比数列，且，，，成等比数列，，．

（1）求的通项公式和的前项和及的最小值；

（2）求和：．

18．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,若b=3,c=4,C=2B,且.

(1)求cos B及a的值；

(2)求的值.

19．如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点．
1证明：平面；
2求直线和平面所成的角的正弦值．

20．为开学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f（20）＝5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率．

（1）随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；

（2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；

（3）请依据图中的数据，比较篇目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议．

21．已知点在圆：上运动，点．

（1）若点是线段的中点，求点的轨迹的方程；

（2）过原点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．

对于函数，若存在定义域中的实数a，b满足且，则称函数为“M类”函数．
试判断，是否是“M类”函数，并说明理由；
试判断，是否是“M类”函数，并说明理由；
若函数，，为“M类”函数，求n的最小值．

新余四中高二年级上学期开学考试数学试卷（B卷）参考答案

1~12. A D D C D  B C D B C  B A

13．     14．   15．    16. .

15.

16.【详解】当时，即

又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；

当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.

综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.

17．解：（1）设是公差为的等差数列，

由，，，成等比数列，可得，

即，解得，则，

，当时，取得最小值﹣9．

（2）设是公比为q的等比数列，

由，，即，可得，

由的奇数项是首项为1，公比为3的等比数列，

可得．

18．

19．解： 略

20．解：（1）阅读量大于文章总量的80%的概率为；

（2）阅读量没有达到30%即为10%和20%的频率相等，因此抽取的6人各有3人，分别编号10%的编号为，20%的编号为，任取2人的基本事件为：

共15个，

其中均为10%的有共3个，概率为；

（3）由折线图，阅读量增大时，跳转率也增大，特别是更需进行优化．

建议：从文中（阅读量50%）开始需优化，因为越往后跳转率越高，说明质量问题较大，需提高特别是结尾质量．

21．解：（1）圆的圆心，半径为4，设的中点为，则，

依题意，，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，

即的轨迹的方程为；

（2）因过原点且不与轴重合，则可设直线的方程为．

由消去并整理得，

依题意知，是上述关于x的一元二次方程的两根，则，，

于是有，所以是定值.

22. 解：是由题意可知，
所以必有在二次函数的对称轴直线的两侧，
故，因此，所以；
不是假设为M类函数，则存在，使得，
则，或者，，
由，当，时，有，，
所以，可得，不成立；

当，时，有，，
所以，不成立，所以不为M类函数．

则在单调递减，在单调递增，

又因为是M类函数，所以存在，且，

由等式可得：，则，
所以，

则，所以得，
从而，则有，即，
所以，
因此，
由，则，

令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，

使得，此时，因此n的最小值为7．