初中数学沪科版九年级下册24.3.1 圆周角定理达标测试

绝密★启用前

24.3圆周角同步练习

沪科版初中数学九年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则

A.
B.
C.
D.

2. 下列说法正确的是   

A. 半圆或直径所对的圆周角是直角 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 相等的弦所对的弧相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等

3. 如图，内接于，是边的中点，连接并延长，交于点，连接，则的大小为

A.
B.
C.
D.

4. 如图，点、、在上，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，为的直径，、为上两点，，连、相交于点．若，则的值为

A.
B.
C.
D.

7. 已知，，是等圆，内接于，点，分别在，上．如图，
   
   以为圆心，长为半径作弧交于点，连接；
   以为圆心，长为半径作弧交于点，连接；
   下面有四个结论：
   
   
   
   
   所有正确结论的序号是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点，，，在上，，垂足为若，，则

A.
B.
C.
D.

9. 如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则

A.
B.
C.
D.

10. 如图，五边形内接于，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，点是以点为圆心，为直径的半圆上一点，连接，，若，，则的值是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，中，半径弦于点，点在上，，，则半径等于

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，点、、在上，，，则的半径为______．
    
     

14. 如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点若，则______．
    
     

15. 如图，的直径为，在上位于直径的异侧有定点和动点，若：：，点在半圆弧上运动不与、两点重合，过作的垂线交的延长线于点．则的最大面积为______．
16. 如图，半径为的中，弦、所对的圆心角分别是、已知，，则弦等于______．
     

17. 如图，是的外接圆，是的中点，连结，，其中与交于点写出图中所有与相似的三角形：______．
    
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，是的直径，、是圆周上的点，，弦交于点．
    求证：；
    若，求的度数．
    
     

19. 如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．
    
     

若，求的度数

若，，求的半径．






 

20. 如图，是的外接圆，是的直径，是劣弧的中点交于点．
    求证：．
    若，，求的长．
     

21. 如图，是的直径，、为上的点，且平分，作于点．
    求证：；
    若，求的长．
    
    
     

22. 已知中，，为钝角，以为直径的交于点，的延长线与相交于点，连结．
    求证：．
    若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，是的直径，弦于点，连接，．
    求证：；
    若，，求的长．
    
     

24. 如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，求弦的长．
     

25. 如图，是的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，．
     

若，求的度数．

若，，求的半径长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果．
本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，关键是用表示．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理，等弧的概念，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，熟知平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
根据垂径定理，等弧的概念，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，对各选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：半圆或直径所对的圆周角是直角，故A正确；
B.平分弦不是直径的直径垂直于弦，故B错误；
C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故C错误；
D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D错误．
故选A．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】

解：连接，
，
，
是边的中点，
，
，
，
故选：．

4.【答案】
 

【解析】解：，
圆心角，
，
，
故选：。
根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出即可。
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键。
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
若点圆心，
．
故选：．
利用圆周角定理对各选项进行判断．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】
 

【解析】解：连接，
为圆的直径，
，
，
，
，
，
，
连接，
同理，，
设，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理得到，由，得到，推出，连接，同理，，设，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，
，
；
，，是等圆，
，，
，
；
，，
，
；
，，
，
，
正确结论的序号是，
故选：．
根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据圆周角定理求得，在中可得得到，从而得到，然后根据垂径定理得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，

平分，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，所以，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角也考查了勾股定理．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
五边形是圆内接五边形，
四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故选：．
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后求解即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于．

是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作于利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论．
本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出的长，属于中考常考题型．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出是等腰直角三角形是解题关键．直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】
解： ，
，
，
是等腰直角三角形．
，
，
则半径．
故选B．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】
解：

，又，
是等边三角形
，
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据垂径定理得到，由中位线的性质得到，由圆周角定理得到，求得，求得，于是得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：为直径，
．
又，
．
而，
∽．
，
，
，
当点在弧上运动时，故最大时，取得最大值；
而为直径时最大，
的最大值．
故答案为．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．由题意易证∽，由可得故最大时，取得最大值；而为直径时最大，故可求解．
 

16.【答案】
 

【解析】解：作于，作直径，连结，如图，
，
而，
，
，
，
，
，
，
为的中位线，
．
，
．
故答案为：．
作于，作直径，连结，先利用等角的补角相等得到，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到，由，根据垂径定理得，易得为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到，再利用勾股定理，可求得的长，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
 

17.【答案】，
 

【解析】解：，
，
，
，
，
∽，
，，
∽，
故答案为，．
根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：如图，连接．
，
．
在与中，
．
≌．
；

设，则．
，
．
在中，
．
．
 

【解析】连接，构造全等三角形≌，由该全等三角形的性质证得结论；
设，利用圆周角定理和三角形内角和定理列出方程，由方程思想解答．
考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题意，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：是的一条弦，，

根据垂径定理得：，

，，

，

由题，根据垂径定理得：，

设，则，

在中，，

解得：，

，

的半径长．

【解析】本题考查垂径定理以及圆周角定理，勾股定理有关知识．
结合垂径定理得到，从而利用圆周角定理即可求解；

同样利用垂径定理，在中结合勾股定理计算即可．

20.【答案】证明：由是劣弧的中点，得，
，
又，
∽，
，
；

解：由是劣弧的中点，得，则
是直径，
是直角三角形．
，由得，，
解得．
 

【解析】欲证，是劣弧的中点，有，又公共，证明∽得出相似比；
欲求的长，由知，需求出、的长，是直径，则是直角三角形，勾股定理求出的长，．
乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出；
考查了直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
 

21.【答案】证明：平分，
．
，
，
．
解：作于点，如图所示：
则，
，
．
在和中，，
≌，
，
．
 

【解析】根据角平分线的性质可得出，由圆周角定理可得出，进而可得出，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出；
作于点，由垂径定理可得出，由可得出，结合、即可证出≌，再根据全等三角形的性质可得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接．
为直径，
，
，
又，
，
，，
，
．

，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
是直径，
，
．
 

【解析】连接想办法证明，即可解决问题；
由∽，推出，可得，在中，利用勾股定理即可解决问题；
本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：直径弦，
．
；
连接

直径弦，，
．
直径，
．
在中，，，
，
．
 

【解析】根据等弧对等角证明即可；
连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
 

24.【答案】解：作直径，连结，如图，

，
而，
，
，
是直径，
，，
在中，．
 

【解析】作直径，连结，如图，利用等角的补角相等得到，则，再根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，半圆或直径所对的圆周角是直角．
 

25.【答案】解：，，
，，
；
如图，连接，

设的半径，
，，
，，
在中，，
解得，
的半径为．
 

【解析】本题主要考查了三角形内角和、勾股定理、垂径定理以及圆周角定理，熟练掌握勾股定理、垂径定理以及圆周角定理是解题的关键．
根据题意可得，，即可求解；
连接，设的半径，则，，利用勾股定理即可求解．