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人教版九年级下册26.1.2 反比例函数的图象和性质课文配套ppt课件
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这是一份人教版九年级下册26.1.2 反比例函数的图象和性质课文配套ppt课件，共57页。PPT课件主要包含了学习目标，四象限，三象限，导入新知，合作探究，巩固新知，∴m－５＞０，S1S2，S1S2k，S1S2－k等内容，欢迎下载使用。
1.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题。3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。
y=kx ( k≠0 )
双曲线
在每个象限， y随x的增大而减小
在每个象限， y随x的增大而增大
正比例函数和反比例函数的区别
用对比的方法去记忆效果如何？
新知一 利用待定系数法确定反比例函数解析式
解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在．
【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 .
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
∵函数的图象在第一、第三象限，
（２）∵m－５＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，
∴当a＞a′时，b＜b′．
【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?
注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.
2. 如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于 给出的下列说法： ①常数k的取值范围是 ； ②另一个分支在第三象限； ③在函数图象上取点 和 ， 当 时， ； ④在函数图象的某一个分支上取点 和 ， 当 时， ． 其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．
新知三 反比例函数中k的几何意义
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
由前面的探究过程，可以猜想：
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明 k > 0的情况.
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是 .
反比例函数的面积不变性
3.如图，点B在反比例函数 (x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数 的图象上，∴ xA·yA＝k， ∴反比例函数的表达式为
典例精析1 通过图形面积确定k的值
4.如图所示，过反比例函数 （x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
典例精析2 利用k的性质判断图形面积的关系
A. SA >SB>SC B. SA
典例精析3 根据k的几何意义求图形的面积
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
6. 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，则k＜0
提示：可对 k 的正负性进行分类讨论.
典例精析1 根据k的值识别函数的图形
例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，
典例精析2 通过函数图形确定字母的取值范围
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
可知－2< x <0 或 x >3.
8. 如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集是_________．
例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 则点P 的坐标分别满足这两个解析式.
典例精析3 利用函数的交点解答问题
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式解方程得：
反比例函数图象和性质的综合运用
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负
1.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题。3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。
y=kx ( k≠0 )
双曲线
在每个象限， y随x的增大而减小
在每个象限， y随x的增大而增大
正比例函数和反比例函数的区别
用对比的方法去记忆效果如何？
新知一 利用待定系数法确定反比例函数解析式
解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在．
【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 .
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．
∵函数的图象在第一、第三象限，
（２）∵m－５＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，
∴当a＞a′时，b＜b′．
【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?
注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.
2. 如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于 给出的下列说法： ①常数k的取值范围是 ； ②另一个分支在第三象限； ③在函数图象上取点 和 ， 当 时， ； ④在函数图象的某一个分支上取点 和 ， 当 时， ． 其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．
新知三 反比例函数中k的几何意义
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
由前面的探究过程，可以猜想：
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明 k > 0的情况.
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是 .
反比例函数的面积不变性
3.如图，点B在反比例函数 (x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数 的图象上，∴ xA·yA＝k， ∴反比例函数的表达式为
典例精析1 通过图形面积确定k的值
4.如图所示，过反比例函数 （x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
典例精析2 利用k的性质判断图形面积的关系
A. SA >SB>SC B. SA
典例精析3 根据k的几何意义求图形的面积
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
6. 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，则k＜0
提示：可对 k 的正负性进行分类讨论.
典例精析1 根据k的值识别函数的图形
例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，
典例精析2 通过函数图形确定字母的取值范围
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
可知－2< x <0 或 x >3.
8. 如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集是_________．
例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 则点P 的坐标分别满足这两个解析式.
典例精析3 利用函数的交点解答问题
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式解方程得：
反比例函数图象和性质的综合运用
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
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