第01讲-集合（讲义版）学案

这是一份第01讲-集合（讲义版）学案，共7页。

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
[方法技巧]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
经典例题
考点一 集合的基本概念
【例1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．0B．0或C．0或2D．2
【答案】C
【解析】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，
即抛物线与轴只有一个交点，
∴，∴或2.
故选：C
【例1-2】（2020·海南省海南中学高三月考）若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S的非空真子集个数是（ ）
A．62B．32C．64D．30
【答案】D
【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S一共有5个元素，
所以S的非空真子集个数是个.
故选：D
规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合，则集合真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【解析】由，得
所以集合的真子集个数为个.
故选：C
【例2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合且，则的非空真子集的个数为( )
A．30B．31C．62D．63
【答案】A
【解析】因为集合且，
所以的非空真子集的个数为 .
故选：A
【例2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若BA，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{}C．{1，-1}D．{，-}
【答案】C
【解析】集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若BA
则或，解得
故选：
规律方法 1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考点三 集合的运算
【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【解析】由题意或，所以.
故选：A
【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解不等式，得或；
解不等式，得，解得.
，，则，
因此，，故选：C.
规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
[思维升华]
1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
课时作业
1．（2020·全国高三月考（理））已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·全国高三月考（文））若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·四川省高三二模（文））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·福建省高三月考（文））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））设函数的定义域为A，的定义域为B，，则a的取值范围是________．
8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合，，则______
9．（2020·北京牛栏山一中高三月考）对于集合，给出如下三个结论：
①如果，那么；
②若，对于，则有；
③如果，，那么.
④如果，，那么
其中，正确结论的序号是__________.
10．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
①的值可以为2；
②的值可以为；
③的值可以为；
11．（2020·全国高三一模（理））已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
12．（2020·全国高三其他（文））已知集合，.
（1）若，则；
（2）若，求实数的取值范围.文字语言
符号语言
集合间的
基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素
A⊆B
真子集
集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}