专题32 均值不等式常见应用（解析版）学案

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专题32  均值不等式常见应用【热点聚焦与扩展】高考命题中对基本不等式的考查比较灵活，可以说无处不在，重点考查应用基本不等式确定最大值和最小值问题、证明不等式成立、解答恒成立问题，命题形式以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.本专题重点说明应用基本不等式解题的常见类型.1、基本不等式的几个变形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围2、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.3、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况（2）已知（为常数），求的最值，此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：例如：已知，求的最小值解： 所以即，可解得，即注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以 4、高中阶段涉及的几个平均数：设 （1）调和平均数： （2）几何平均数： （3）代数平均数： （4）平方平均数：5、均值不等式：，等号成立的条件均为： 特别的，当时，即基本不等式【经典例题】例1．（2020·河北新华·石家庄二中高三三模）已知正数满足，则的最小值是（    ）A．18 B．16 C．8 D．10【答案】A【解析】当且仅当，即，时，取得最小值故选例2．（2020·天津经济技术开发区第一中学高三三模）已知直线过点，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．7 D．9【答案】D【解析】因为直线过点，所以，所以，当且仅当即，时，等号成立，所以的最小值为9.故选：D.例3．（2020·全国高三三模）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（   ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范围是．例4．（2020·湖北武汉·高三三模）在中，，的面积为2，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由的面积为，所以，得，在中，由正弦定理得，当且仅当时，等号是成立的，故选C．例5．（2020·河南高三三模）已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，则有，，，所以，且是两个不同的正数，则有，当且仅当时，等号成立，故的最小值是.故选：C例6．（2020·枣庄市第三中学高三三模）若正数a，b满足，则的最小值为（    ）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】A【解析】由得：，代入得到：当且仅当：即时取等号.故选：A例7．（2020·湖北西陵·葛洲坝中学高三三模）若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】，，设切点为，则，，. 原式，当且仅当，即时等号成立，即.故选:C.例8．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，因为，所以，又由，得，则所以，令，则，所以函数在单调递减，在单调递增，又，，所以.故选：D.  【精选精练】1．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三三模）若实数满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：B.2．（2020·山东高三三模）已知，则的最小值是（    ）A． B． C． D．12【答案】C【解析】，当且仅当 ，又　故时取等号．故选：C．3．（2020·贵州贵阳·高三三模）已知均为正数，函数的图象过点，则的最小值为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】因为的图象过点，所以，即，又均为正数，所以，当且仅当，即，即时，等号成立.故选：D.4．（2020·江苏淮安·高三三模）已知,,,则的最小值是（    ）.A．3 B． C． D．9【答案】A【解析】,,,所以,即,则,当且仅当且即,时取等号,则的最小值是3.故选：A5．（2020·全国高三三模）若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵不等式对任意， 恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数取值范围是，故选：B.6．（2020·江西南昌二中高三三模）已知，，且.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于不等式对任意实数恒成立，即恒成立，而，所以①.由于，.所以，解得.故选D.7．（2020·河北枣强中学高三三模）设，为正数，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，当且仅当时，即取等号，.故选：D8．（2020·浙江高三三模）在锐角三角形中，，则的最小值是（    ）.A．3 B． C． D．12【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∵，当且仅当时取等号，∴.故选：B.9．（2020·四川高三三模）已知直线与抛物线交于A，B两点，（其中O为坐标原点）.若，则直线的斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图，设，，因为，则，又，即，即，即，设直线的斜率为，则，，当且仅当，即时等号成立，故.故选：D.10．（2020·山西运城·高三三模）在中，已知，，的面积为6，若为线段上的点（点不与点，点重合），且，则的最小值为（ ）.A．9 B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因为的面积为，所以，所以，所以，，，由于，所以，所以，所以由余弦定理得：，即.所以，因为为线段上的点（点不与点，点重合），所以，根据题意得 所以所以，当且仅当，即时等号成立，所以.11．（2020·山东省实验三模三模）若a，b均为正实数，则的最大值为　　A． B． C． D．2【答案】B【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等即则的最大值为，故选B．12．（2020·柳州高级中学高三三模）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为a2+b2+2c2＝8，所以，由余弦定理得，即①由正弦定理得，即②由①，②平方相加得，所以，即，所以，当且仅当且即时，取等号.故选：B