专题21 三角函数的图象和性质（解析版）学案

这是一份专题21 三角函数的图象和性质（解析版）学案，共15页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，方法总结，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题21  三角函数的图象和性质【热点聚焦与扩展】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质： （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.1、正弦函数的性质（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）： （5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数（6）单调增区间：      单调减区间：2、余弦函数的性质（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数（5）对称中心（零点）： （6）单调增区间： ,单调减区间：3、正切函数的性质（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称中心： （5）零点：（6）单调增区间：  注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：（1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴： （5）零点：（6）单调增区间：,单调减区间：5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得.所涉及的性质及计算方法如下：（1）定义域：（2）值域：（3）周期： （4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求.通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到.2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质【经典例题】1．【2020年高考全国Ⅰ卷文理数7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为 （   ）A．                B．                C．                D．【答案】C【思路导引】由图可得：函数图像过点，即可得到，结合是函数图像与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解．【解析】由图可得：函数图像过点，将它代入函数可得：，又是函数图像与轴负半轴的第一个交点，∴，解得：，∴函数的最小正周期为，故选C．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是三角函数图象对称性的应用．例2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数，则 （   ）A．的最小值为                     B．的图像关于轴对称C．的图像关于直线对称          D．的图像关于直线对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C，D．【解析】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对，故选：D．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例3．【2020年高考天津卷8】已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确．故选B．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图像变换，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质、三角函数图象变换有关结论．例4．【2020年高考浙江卷4】函数在区间的图像大致为 （   ）A．                B．                C．                D． 【答案】A【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．【解析】，，∴函数是奇函数，故排除C，D，当时，，∴排除B，故选A．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图像的识别，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数图像及其性质，结合特殊值法解决问题．【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．例5．【2020年高考山东卷10】右图是函数的部分图像，则 （   ）A．         B．         C．         D．【答案】BC【思路导引】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A，当时，，解得：，即函数的解析式为：，而，故选：BC．【专家解读】本题的特点是注重三角函数图象的应用，本题考查了三角函数图象及其性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是正确确定的值．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ．(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．例6．【2020年高考江苏卷10】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是      ．【答案】【解析】∵，将函数的图象向右平移个单位长度得，则的对称轴为，，即，，时，，时，，∴平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图像变换，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质、三角函数图象变换有关结论．例7．【2020年高考北京卷14】若函数的最大值为，则常数的一个取值为         ．【答案】【解析】∵，则，，∴，∴．【专家解读】本题考查了三角函数最值求法，考查辅助角公式，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确运用有关公式合理转化．例8．（2020·河南中原·三模）已知函数（为常数）满足，，若 在上的最大值和最小值分别为，，则的值为（    ）A．或15 B．或11 C．或9 D．5或【答案】A【解析】由题意，函数，因为，可得，故的最大值为，最小值为，即的值域为．令，因为，可得，故，解得．①当时，，可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最大值为，最小值为，即；②当时，，同理可得．综上或11，所以或15.故选：A． 【精选精练】1．（2020·辽宁沈河·沈阳二中三模）如果函数的图象关于直线对称,那么取最小值时的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的图象关于直线对称,所以,即,取最小值时.故选:A2．（2020·四川省仁寿第二中学高三三模）设函数，则下列结论正确的是（    ）A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点是 D．在单调递增【答案】B【解析】因为，所以选项A错误；因为，所以选项B正确；因为，所以选项C错误；的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.故选：B.3．（2020·河南高三三模）函数在上是减函数，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】的递减区间是，又，，所以，所以，所以.故选：B．4．（2020·安徽高三三模）函数的最大值是（    ）A． B．5 C．6 D．1【答案】B【解析】，当，即时，．故选：B．5．（2019·江苏崇川·南通一中高三三模）已知函数的图像的一个对称中心为，其中为常数，且，若对任意的实数，总有，则的最小值是（  ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】∵函数的图像的一个对称中心为，∴，∴，由，得．由题意得的最小值为函数的半个周期，即．选B．6．（2020·安徽高三三模）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】C【解析】由，又，可得，所以，则，其图像的对称轴为，其图像的对称中心为，所以C选项正确.7．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）函数的部分图象如图所示，的值为（     ）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】由函数的图象可得：，解得，可得函数的解析式为，所以，观察规律可知函数的值以为周期，且，由于，故可得，故选A.8．（2020·云南师大附中高三三模）已知，下列结论中错误的是（    ）A．即是奇函数也是周期函数 B．的最大值为C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称【答案】B【解析】由题意，函数的定义域为关于原点对称，又由，所以是奇函数；且，所以又是周期函数，所以A是正确的；由，即，所以关于直线对称，所以C是正确的；由，所以关于点对称，所以D是正确的；由，令，，令，，的单调递减区间是，的单调递增区间是，的极大值为，所以的最大值为，即函数的最大值为，故B选项错误.9．（2020·学军中学三模）若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，因为，则，，结合有且，解得，10．（2020·开鲁县第一中学三模）使函数是偶函数，且在上是减函数的的一个值是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由于为偶函数，则，，，当时，，，当时，，为减函数，符合题意，所以选B.11．（2020·四川青羊·石室中学三模）设函数，下述四个结论：①是偶函数；        ②的最小正周期为；③的最小值为0；    ④在上有3个零点其中所有正确结论的编号是（    ）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】因为函数f（x）定义域为R，而且f（﹣x）＝cos|2x|+|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，①正确；因为函数y＝cos|2x|的最小正周期为π，y＝|sinx|的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，②正确；f（x）＝cos|2x|+|sinx|＝cos2x+|sinx|＝1﹣2sin2x+|sinx|＝﹣2（|sinx|）2，而|sinx|∈[0，1]，所以当|sinx|＝1时，f（x）的最小值为0，③正确；由上可知f（x）＝0可得1﹣2sin2x+|sinx|＝0，解得|sinx|＝1或|sinx|（舍去）因此在[0，2π]上只有x或x，所以④不正确．12．（2020·江西南康中学三模）已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：，所以，又即：，所以或由得：，由得：，所以的最小值为，故选A