专题16 恒成立问题-参变分离法（解析版）学案

这是一份专题16 恒成立问题-参变分离法（解析版）学案，共18页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题16  恒成立问题-参变分离法【热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为 ①，则只需要  ，则只需要②，则只需要  ，则只需要③，则只需要  ，则只需要④，则只需要  ，则只需要（2）若的值域为 ① ，则只需要   ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）② ，则只需要   ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）   ，则只需要④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）   ，则只需要5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.【经典例题】例1．设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数，，所以，由，得，由，得，所以函数在为减函数，在为增函数，所以，即函数的最小值为, 又，使得成立，则，即，解得：或，即实数的取值范围是或。故选：A例2．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】不等式对于任意的非负实数都成立，即对于任意的非负实数都成立，令，，因为，所以在，上递减，所以，所以问题转化为恒成立，令，则，由，可得；，可得．所以在上递增，在上递减．所以（1），所以．故选：C．例3．（2020·黑龙江双鸭山一中高三三模）已知对任意实数都有，，若恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，所以（为常数），，由，，不等式为，时，不等式为，成立，时，，时，，设，则，当或时，，当或时，，所以在和上是减函数，在和上是增函数，时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，综上有．故选：D．例4．（2020·河南高三三模）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，问题可转化为：曲线恒处于直线的上方，当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点，代入方程得，此时切线斜率为，由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方，综上，.故选：C例5．（2020·黑龙江鹤岗·高三三模）已知定义在上的函数，为其导函数，满足，且，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，解得，，，不等式对任意恒成立，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，解得，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，当时，取得极大值，也是最大值，，，实数a的取值范围是.故选：D.例6．（2020·陕西西安·高三三模）若函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，（）所以有两个正根，∴，即：，又∵，，，，∴，令，，∴在上单调递减，∴，故选：A.例7．（2020·甘肃高三三模）设函数是定义在上的单调函数，且，．若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得为常数，设，所以，则，解得，故，．因为，所以．设，，不等式等价于函数的图象在函数图象的下方．因为，所以．因为，所以，所以．令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减，则的大致图象如图所示，，结合图象可得．故选：A.例8．（2020·浙江高三三模）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】（1）当时，，的对称轴为，开口向上．当时，在递减，递增，当时，有最小值，即，；当时，在上递减，当时，有最小值，即（1），显然成立，此时．综上得，；（2）当时，，，当时，在上递增，（1），，此时；当时，在递减，递增，，，此时．综上：，关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为，故选：D．【精选精练】1．（2020·山东省实验中学高三三模）已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.令，则.若，则当时，，为减函数，而，从而当时，，即，若，则当时，.为增函数，而，从而当时， 即，不合题意.综上可得，的取值范围为.故选：C2．（2020·全国高三三模）已知函数对均有，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，将代入，得.由得，函数的图象恒过点.设，当函数的图象和的图象相切时，设切点坐标为，由，得切线斜率，解得.此时，则要使，只需，解得，所以实数的取值范围是.故选：B3．（2020·吉林高三三模）已知函数，若对恒成立，则的取值范围是（    ）A．， B． C．， D．【答案】A【解析】，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，解得：，故选：A．4．（2020·霍邱县第二中学高三三模）函数f(x)＝ax2－xlnx在[，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A．[，＋∞) B．(，＋∞)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)【答案】A【解析】，由题意可知当时，恒成立，即恒成立，恒成立，即，设，，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，，所以，解得：.故选：A5．（2020·安徽高三三模）已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，令，则，设，则，又，若，则，故在为增函数；若，则，故在为减函数；故，故，所以，，当且仅当时取最大值，当且仅当时取最小值，故即的最小值.故选：C.6．（2020·黑龙江牡丹江一中高三三模）已知函数在区间内任取两个实数p，q，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，不妨设，因为，所以即函数在单调递增，在内恒成立，即在内恒成立，由于二次函数的对称轴为，开口向上，所以该函数在上是单调增函数，故时，，在时，.故选： B.7．（2020·湖北武汉·高三三模）已知函数，对任意，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　A．， B．， C．， D．【答案】A【解析】结合题意，显然，，由，，，得，，，故，在，递增，故（1），，对任意，，，不等式恒成立，即，，即，解得：，故选：A．8．（2020·深圳市宝安中学高三三模）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】依据题意得在上恒成立,即在上恒成立。令,,∵,∴,递增,∴当时,函数取得最小值,所以,即,解得或,故选：C9．（2020·天津市梧桐中学高三三模）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（  ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．10．（2020·江西上饶·高三三模）已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，即，设，，要使有且仅有两个整数使得，即有且仅有两个整数使得函数的图象在函数图象的下方，而，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，时，，时，，函数的图象为恒过点的直线，作两函数图象如下，由图可知，实数应满足，即，解得．故选：A．11．（2020·天津南开中学高三三模）已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】,    且 ，所以函数为单调递减的奇函数，因此 即 ，选A.12．（2020·柳州高级中学三模）已知函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，若，可得，函数为增函数，当时，，不满足对任意恒成立；若，可得，得，则，∴当时，当时，若对任意恒成立，则（）恒成立，若存在实数，使得成立，则，∴（），令，.∴当时，，当时，，则.∴.则实数的取值范围是.故选：A.