专题19 利用函数模型解决实际问题（解析版）学案

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专题19  利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积底高               梯形面积（上底下底）高  三角形面积底高② 商业问题：总价单价数量                利润营业额成本货物单价数量成本③ 利息问题：利息本金利率                本息总和本金利息本金利率本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题（2）与函数模型的不同之处① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值）② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值.（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关（2）需要用到的数学工具与知识点：① 正弦定理：设三边所对的角分别为，则有 ② 余弦定理（以和对角为例）， ③ 三角函数表达式的化简与变形④ 函数的值域（3）解题技巧与注意事项：① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示③ 在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1．（2020·内蒙古呼和浩特·高三三模）为了提高垃圾的资源价值和经济价值，力争做到物尽其用，国家向全民发出了关于垃圾分类的号召.为了响应国家号召，各地区采取多种措施，积极推行此项活动.一商家为某市无偿设计制作了一批新式分类垃圾桶，它近似呈长方体状，且其高为米，长和宽之和为2.4米，现用铁皮制作该垃圾桶，按长方体计算，则使这个垃圾桶的容量最大时（不考虑损耗，不考虑桶盖），需耗费的铁皮的面积为（    ）平方米A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设长为米，则宽为米，体积为立方米，由题意知，，当时，立方米，即长为1.2米，宽为1.2米时，容量最大，此时铁皮面积为平方米.故选:B.例2．（2020·上海市第二中学高三三模）某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系 已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份44元二月份25 14元三月份35 19元若四月份该家庭使用了20的煤气，则其煤气费为（    ）A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元【答案】A【解析】根据一月份用气量4，煤气费4元,可知， 解得，所以所以故选A.例3．（2020·全国高三三模）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声调（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若同学大喝一声的声强大约相当于100个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（    ）米.A． B．7 C．50 D．60【答案】D【解析】设同学的声强为，喷出泉水高度为，则同学的声强为，喷出泉水高度为70，，，相减得.故选：D例4．（2020·山东淄博·高三三模）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:①   ②    ③    ④其中是一阶整点的是（   ）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④【答案】D【解析】对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；
对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．
故选D．例5．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三三模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位）可由公式：求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60，则再经过（    ）分钟，物体的温度是40（假设空气的温度保持不变）.A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由题意知：，，， 代入得：，解得 所以当时，，解得：，所以，所以再经过分钟物体的温度是40， 故选：B例6．（2020·四川泸州·高三三模）若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数（其中e是自然对数的底数）.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶中的水只有，则m的值为（    ）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】C【解析】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数，满足
可得，
因此，当min后甲桶中的水只有升，
即，
即，
即为，
解之得，
经过了分钟，即．
故选：C．例7．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（    ）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【解析】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，所以，得．又由知，，所以当时，，故选：C．例8．（2020·北京东城·高三三模）光线通过一块玻璃，强度要损失．设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则经过块这样的玻璃后光线强度为： ，那么至少通过（    ）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（， ）A． B． C． D．【答案】C【解析】光线经过块玻璃后，强度变为，光线经过块玻璃后，强度变为，……光线经过块玻璃后，强度变为．由题意，即，两边同取对数，可得，∵，∴，又，所以至少通过块玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．选．【精选精练】1．（2020·拉孜县中学高三三模）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（     ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知当时，；当时，，，解得，则当时，.故选：C.2．（2020·陕西西安·高三三模）研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则，如图是根据美国公路局公布的实验数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速().根据该图数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：模型②：模型③：模型④：(其中为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的函数模型是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】分析图中数据可得，车速每增加千米/小时，反应距离增加的数量大体不变，且时，，所以可拟合为；分析车速和制动距离可得稳定在一个常量附近，且时，，所以可拟合为；所以拟合效果最好的函数模型是故选：B.3．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（    ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】设最初总生产值为,则第一年的总产值为,第二年的总产值为，设平均增长率为,故，解得，故两年平均增长率为.故选：D4．（2020·广东茂名·高三三模）某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠.某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；方案二：一次性付款购买.若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（    ）元A．540 B．620 C．640 D．800【答案】C【解析】依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；第二次付款4850元时，因为，所以其原来的价格为元.所以分两次购买饲料的原价为元.方案二：若一次性付款，则应付款为：元，所以节省元.故选：C5．（2020·重庆市第十一中学校高三三模）为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）成正比（）；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前(    )分钟进行消毒工作A．30 B．40 C．60 D．90【答案】C【解析】根据图像：函数过点，故，当时，取，解得小时分钟.故选：.6．（2020·北京大兴·高三三模）某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）.若f（0）＝y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f'（t）满足：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（　　）　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④　　　　　　　　　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　② A．①② B．①③ C．②④ D．①②③【答案】B【解析】因为，令，则或，即当或时，曲线的切线斜率接近，由选项可知，只有①③符合题意，故选：B.7．（2020·辽宁高三三模）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：；故选．8．（2020·江苏苏州·高三三模）如图，、是一矩形边界上不同的两点，且，，，设．（1）写出的面积关于的函数关系式；（2）写出函数的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】解：（1），．．当时，的两顶点、在、上，且，．当时，点在上，点在上，且，．综上（2）由（1）得：当时，．且当时，；时，；当时，，．且当时，；当时，．所以．9．（2020·江西省信丰中学高三三模）生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需要另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【答案】（1）；（2）100 千件．【解析】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，依题意得，当时，；当时，．即．（2）当时，．，．此时，当时，取得最大值（万元）．当时，，当且仅当，即时，取得最大值1000（万元）．因为，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．10．（2020·山西大同一中高三三模）某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：需求量151617181920频数10203020128将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为(单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为(单位：元).①试写出关于的表达式；②求的概率分布列，并计算.（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？【答案】（1）①；②分布列答案见解析，；（2）每天应该制作个生日蛋糕.【解析】（1）当时，当时，①②由①可知的概率分布列为4805806800.10.20.7故（2）由（1）②知，当每天制作17个生日蛋糕时，对应利润的平均值与（1）类似地，可以得到当每天制作18个生日蛋糕时，其对应利润为的分布列为4205206207200.10.20.30.4故由于故每天应该制作个生日蛋糕.11．（2020·福建省福清第一中学高三三模）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表： 036912151821241.52．41.50．61.42.41.60.61.5  （1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从① ， ② ，③ 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【答案】(1) 选②作为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【解析】解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：- 依题意，选②做为函数模型，，；  又函数图象过点，即，；又，. （2）由（1）知：，令，即    又  ∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.12．（2020·赣榆智贤中学高三三模）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）（2）①定义域为，②千米【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为，．将其分别代入，得，解得．（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，，则的方程为，由此得，．故，．②设，则．令，解得．当时，，是减函数；当时，，是增函数．从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时．答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．