专题49 离心率及其范围问题（原卷版）学案

专题49  离心率及其范围问题

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线 离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一般说来，小题的难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.

1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解

（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：

【经典例题】

例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为                    ．

例2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为         ．

例3．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是      ．

例4．（2020·山西大同·高三三模）椭圆的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与椭圆交于四个点，且为正六边形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

例5．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

例6．（2020·广西柳州·高三三模）已知点分别是双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

例7．（2020·安徽合肥·高三三模）设椭圆的左、右焦点分别是、 ，是椭圆上一点，且与轴垂直，直线与椭圆的另一个交点为．若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

例8．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高三三模）已知椭圆C：（）的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：与椭圆C相交于A，B两点.若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【精选精练】

1．（2020·江西昌江·景德镇一中高三三模）已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·四川省泸县第二中学高三三模）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三三模）椭圆中心为原点，且焦点在轴上，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆离心率的取值范围是(    )

A． B． C． D．

4．（2020·北京高三三模）若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

5．（2020·河南洛阳·高三三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一、三象限内分别交于点，，四边形的面积为，周长为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·广西南宁三中高三三模）圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

7．（2020·广西南宁三中高三三模）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·安徽高三三模）已知（不在轴上）是双曲线上一点，，分别是的左、右焦点，记，，若，则的离心率的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

9．（2020·河南高三三模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线交双曲线于、两点，若的平分线过点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·皇姑·辽宁实验中学高三三模）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．5

11．（2020·江苏如皋·高三三模）在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A作垂直于AF的直线分别与x轴正半轴和椭圆交于点M，N，若，则椭圆C的离心率e的值为（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·邵东县第十中学高三三模）设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．