2017-2018学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）

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2017-2018学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一.选择题.（每小题5分，共60分）
1．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（　　）
A．p且q为真 B．q假 C．q真 D．p假
2．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）当函数y＝x•ex取极小值时，x＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
3．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）设函数f（x）＝ex+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（　　）
A．1 B． C． D．﹣1
5．（5分）（2013•浙江模拟）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知P是椭圆1（0＜b＜5）上除顶点外的一点，F1是椭圆的左焦点，若|（）|＝4，则点P到该椭圆左焦点的距离为（　　）
A．6 B．4 C．2 D．
7．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC，AB＝2，AC＝2，PA＝2，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）（2018•南充模拟）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）

A． B．4 C．3 D．
9．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若f″（x）有零点x0，则称点（x0，f（x0））为原函数y＝f（x）的“拐点”．已知函数f（x）的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（　　）
A．在直线y＝﹣3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y上 D．在直线y上
10．（5分）（2018•乐山三模）设双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若λμ（λ，μ∈R），λ•μ，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
12．（5分）（2017•深圳二模）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，则λ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二.填空题.（每小题5分，共20分）
13．（5分）（2015•齐齐哈尔二模）若（2x）dx＝3+ln2（a＞1），则a的值是　 　．
14．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，，点N为B1B的中点，则|MN|＝　 　．
15．（5分）（2013•东至县一模）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是　 　．
16．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点为F（，0），A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆A与直线yx相交于P，Q两点，且0，3，则圆A的半径为　 　．
三.解答题.（共6小题，共70分）
17．（10分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知三次函数f（x）＝x3ax2+b（a，b∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣2，最大值为1且a＞1，求函数f（x）的解析式．
18．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD，E，F为PD上两点，且PF＝EDPD．
（1）求证：BF∥面ACE；
（2）求BF与平面PCD所成角的正弦值．

19．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知F（0，1），直线l：y＝﹣1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且，P点的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若A（0，2），l为C在P点处的切线，求点A到l距离的最小值．
20．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CB＝4，在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD．
（1）求证：面FEB⊥面CEB；
（2）若二面角D﹣AF﹣C的大小为，求几何体ABCDEF的体积．

21．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）从椭圆C：1（b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F1，M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且λ（λ＞0）．
（1）求该椭圆C的方程；
（2）不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，已知OA，直线l，OB的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，求证：S1+S2为定值，并求出定值．
22．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知n∈N*，函数fn（x）＝x﹣nlnx，fn（x）′是fn（x）的导函数．
（1）当n＝3时，求函数y＝f3（x）在（0，+∞）内的零点的个数．
（2）对于0＜α＜β，若存在θ使得fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β），试比较α+β与2θ的大小．

2017-2018学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题.（每小题5分，共60分）
1．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（　　）
A．p且q为真 B．q假 C．q真 D．p假
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5L：简易逻辑．
【分析】直接利用复合命题的真假判断即可得答案．
【解答】解：∵“￢p”为假，则p为真，
又“p∧q”为假，则q为假．
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．
2．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）当函数y＝x•ex取极小值时，x＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用．
【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导可得f′（x），再令f′（x）＝0，解可得x＝﹣1，分析x＝﹣1左右导函数的符号即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝x•ex，
其导数f′（x）＝（x•ex）′＝（x）′ex+x•（ex）′＝（1+x）ex，
令f′（x）＝0，即（1+x）ex＝0可得x＝﹣1，
分析可得：当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
当x＞﹣1时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
则当x＝﹣1时，函数y＝x•ex取极小值；
故选：C．
【点评】本题考查函数导数与函数极值的计算，注意函数极值与函数导数的关系即可．
3．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x＝﹣1的距离为10，故到y轴的距离为9．
【解答】解：抛物线的准线为x＝﹣1，
∵点M到焦点的距离为10，
∴点M到准线x＝﹣1的距离为10，
∴点M到y轴的距离为9．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
4．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）设函数f（x）＝ex+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a的值为（　　）
A．1 B． C． D．﹣1
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】求导数，由f′（x）是奇函数可得f′（0）＝0，解方程可得a值．
【解答】解：求导数可得f′（x）＝（ex+ae﹣x）′＝（ex）′+a（e﹣x）′＝ex﹣ae﹣x，
∵f′（x）是奇函数，
∴f′（0）＝1﹣a＝0，
解得a＝1
故选：A．
【点评】本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性，属基础题．
5．（5分）（2013•浙江模拟）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】分析题可知：在题目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性质定理可由“α⊥β”推出“a⊥b”，从而可得答案．
【解答】解：由题意可得α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；
但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b
故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．
6．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知P是椭圆1（0＜b＜5）上除顶点外的一点，F1是椭圆的左焦点，若|（）|＝4，则点P到该椭圆左焦点的距离为（　　）
A．6 B．4 C．2 D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，取线段PF1的中点为G，连接OG．由|（）|＝4，可得OG＝4．根据三角形中位线定理可得：OG为△PF1F2的中位线，可得|PF2|＝2|OG|．再利用椭圆的定义即可得出．
【解答】解：如图所示，取线段PF1的中点为G，连接OG．
∵|（）|＝4，∴OG＝4．
∵OG为△PF1F2的中位线，∴|PF2|＝2|OG|＝8．
∴|PF1|＝2×5﹣8＝2．
故选：C．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、平行四边形法则、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC，AB＝2，AC＝2，PA＝2，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC与AD所成角的余弦值．
【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，
∠BAC，AB＝2，AC＝2，PA＝2，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（0，2，0），A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，，1），
（﹣2，2，0），（0，，1），
设异面直线BC与AD所成角为θ，
则cosθ．
∴异面直线BC与AD所成角的余弦值为．
故选：A．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
8．（5分）（2018•南充模拟）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）

A． B．4 C．3 D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图还原原几何体，得到截面为等腰梯形，求出其上下底边的长度及高，代入梯形面积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

截面是等腰梯形FHDE，
∵正方体的棱长为2，
∴FH，DE，梯形的高为．
∴该截面的面积为S．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
9．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若f″（x）有零点x0，则称点（x0，f（x0））为原函数y＝f（x）的“拐点”．已知函数f（x）的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（　　）
A．在直线y＝﹣3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y上 D．在直线y上
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】根据拐点的定义，结合导数公式求出M的坐标，利用直线的斜率公式进行求解即可．
【解答】解：∵f（x），
∴f′（x），
f''（x），
由f''（x）＝0，得x，
f（），
∴M（，）．
∴点M在直线y上．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据拐点的定义求出M的坐标是解决本题的关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
10．（5分）（2018•乐山三模）设双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若λμ（λ，μ∈R），λ•μ，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ＝1，λ﹣μ，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得．
【解答】解：双曲线的渐近线为：y＝±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，），P（c，），
∵，∴（c，）＝（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），
∴λ+μ＝1，λ﹣μ，解得λ，μ，
又由λμ得，解得，
∴e
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．
11．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】先设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h＝R+x，从而得出正四棱锥体积关于x的函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值．
【解答】解：设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a，
底面到球心O的距离等于x，
则x2+（a）2＝36，
而正四棱锥的高为h＝6+x，
故正四棱锥体积为：
V（x）a2h（72﹣2x2）（6+x）（36﹣x2）（6+x）
（12﹣2x）（6+x）（6+x）
（）3，
当且仅当x＝2时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值．
那么正四棱锥的高为h＝8．
故选：C．

【点评】本题主要考查了球内接多面体、棱锥的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．
12．（5分）（2017•深圳二模）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，则λ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得（eλx）min≥0，设f（x）＝eλx，x＞0，求出导数和单调区间、极小值点m和最小值点，可令最小值为0，解方程可得m，λ，进而得到所求最小值．
【解答】解：实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx0恒成立，
即为（eλx）min≥0，
设f（x）＝eλx，x＞0，f′（x）＝λeλx，
令f′（x）＝0，可得eλx，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得y＝eλx和y有且只有一个交点，
设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．
即有eλm，令eλm0，
可得m＝e，λ．
则当λ时，不等式eλx0恒成立．
则λ的最小值为．
另解：由于y＝eλx与y互为反函数，
故图象关于y＝x对称，考虑极限情况，y＝x恰为这两个函数的公切线，
此时斜率k＝1，再用导数求得切线斜率的表达式为k，
即可得λ的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于中档题．
二.填空题.（每小题5分，共20分）
13．（5分）（2015•齐齐哈尔二模）若（2x）dx＝3+ln2（a＞1），则a的值是　2　．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意找出2x的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；
【解答】解：（x2+lnx） a2+lna﹣（1+ln1）＝3+ln2，a＞1，
∴a2+lna＝4+ln2＝22+ln2，解得a＝2，
故答案为：2；
【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．
14．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，，点N为B1B的中点，则|MN|＝　　．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出|MN|．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，
，点N为B1B的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），C1（0，a，a），M（，，），
N（a，a，），
∴|MN|．
故答案为：a．

【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
15．（5分）（2013•东至县一模）若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是　[1，）　．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．
【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），
又f'（x）＝4x，由f'（x）＝0，得x．
据题意，，解得1≤k
故答案为：[1，）
【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题．
16．（5分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点为F（，0），A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆A与直线yx相交于P，Q两点，且0，3，则圆A的半径为　　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；44：数形结合法；5C：向量与圆锥曲线．
【分析】由题意画出图形，结合已知求得a，b，可得椭圆方程，求出A到直线y的距离，进一步可得圆A的半径．
【解答】解：如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，
则AT⊥PQ，|AT||PQ|，
又，则|OT|＝|PQ|，
∴，即，由已知c，
则a2＝4，b2＝1，
故椭圆方程为．
又|AT|2+|OT|2＝4，则|AT|2+4|AT|2＝4，
可得|AT|，则r＝|AP|．
故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，是中档题．
三.解答题.（共6小题，共70分）
17．（10分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知三次函数f（x）＝x3ax2+b（a，b∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；
（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣2，最大值为1且a＞1，求函数f（x）的解析式．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a的值；
（2）求得f（x）的极值点和极值，端点处的函数值，可得f（x）的最值，解方程可得a，b，即可得到f（x）的解析式．
【解答】解：因为三次函数f（x）＝x3ax2+b的导数为f′（x）＝3x2﹣3ax，
（1）由导数的几何意义可得切线的斜率为k＝3（a+1）2﹣3a（a+1）＝12，
∴3a＝9，∴a＝3；
（2）由 f′（x）＝3x（x﹣a）＝0得x1＝0，x2＝a，
∵x∈[﹣1，1]，且a＞1，
∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0），
∵f（0）＝b，∴b＝1，
∵f（1）＝1a+1＝2a，f（﹣1）＝﹣1a+1a，
∴f（﹣1）＜f（0），∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，
∴a＝﹣2，∴a，
∴f（x）＝x3﹣2x2+1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD，E，F为PD上两点，且PF＝EDPD．
（1）求证：BF∥面ACE；
（2）求BF与平面PCD所成角的正弦值．

【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）连结BD，交AC于点O，连结OE，则EO∥BF，由此能证明BF∥平面ACE．
（2）推导出PA⊥CD，PA⊥AD，从而PA⊥面ABCD，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出BF与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OE．
∵ED＝EF，DO＝BO，∴EO∥BF，
∵EO⊂平面ACE，EF⊄平面ACE，
∴BF∥平面ACE．
解：（2）∵PA⊥CD，又PA2+AD2＝PD2，∴PA⊥AD，
∵CD∩AD＝D，∴PA⊥面ABCD，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系．
则B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
F（0，），E（0，），
（﹣1，﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，），
设面PCD法向量（x，y，z），
则，
取y＝1，得（0，1，1），
令BF与平面PCD所成角为α，
则sinα＝|cos|．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
19．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知F（0，1），直线l：y＝﹣1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且，P点的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若A（0，2），l为C在P点处的切线，求点A到l距离的最小值．
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设出点P（x，y）代入题中向量等式，整理可得到点P轨迹C的方程为x2＝4y；
（2）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得A点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．
【解答】解：（1）设P（x，y），则Q（x，﹣1），
∵，
∴（0，y+1）•（﹣x，2）＝（x，y﹣1）•（x，﹣2）．
即2（y+1）＝x2﹣2（y﹣1），即x2＝4y，
∴动点P的轨迹C的方程x2＝4y；
（2）设P（x0，y0）为曲线C：yx2上一点，
∵y′x，
∴l的斜率为x0，
因此直线l的方程为y﹣y0x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0＝0．
则A点到l的距离d22．
∴A点到l距离的最小值为2．
【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
20．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CB＝4，在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD．
（1）求证：面FEB⊥面CEB；
（2）若二面角D﹣AF﹣C的大小为，求几何体ABCDEF的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）由余弦定理求出AC，得出AC⊥BC，又AC⊥CE得出AC⊥平面BCE，于是EF⊥平面BCE，故而平面BEF⊥平面BCE；
（2）以C为原点建立坐标系，设CE＝h，求出平面ADF和平面ACF的法向量，，令|cos|解出h，于是几何体ABCDEF的体积V＝VD﹣ACEF+VB﹣ACEF．
【解答】证明：（1）∵AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AC2．
∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC．
∵CE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴CE⊥AC，又CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，DE∩BC＝C，
∴AC⊥平面BCE，
∵AC∥EF，∴EF⊥平面BCE，
又EF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面BCE．
（2）以C为原点，以CA，CB，CE为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
设CE＝h，则C（0，0，0），A（2，0，0），F（，0，h），D（，﹣1，0），B（0，2，0）．
∴（，﹣1，0），（，0，h），
设平面ADF的法向量为（x，y，z），则，
∴，令z得（h，h，）．
∵BC⊥平面ACEF，∴（0，2，0）为平面ACF的一个法向量，
∴cos．
∴cos45°，
解得h．即CE．
∴VD﹣ACEF．
VB﹣ACEF．
∴几何体ABCDEF的体积V＝VD﹣ACEF+VB﹣ACEF．

【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．
21．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）从椭圆C：1（b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F1，M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且λ（λ＞0）．
（1）求该椭圆C的方程；
（2）不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，已知OA，直线l，OB的斜率k1，k，k2成等比数列，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，求证：S1+S2为定值，并求出定值．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题可知P（﹣c，），由λ（λ＞0），可得，所以1＝c，a2＝2即可得到所求椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2恰好构成等比数列，求出k，进而表示出S1+S2，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题可知P（﹣c，），由λ（λ＞0），可得，所以1＝c，a2＝2，
则该椭圆C的方程为y2＝1．
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2，由△＞0可得2k2+1﹣m2＞0，
∵k1、k、k2恰好构成等比数列．
∴k2＝k1k2k2，则km（x1+x2）+m2＝0，
∴kmm2＝0，
∴1＝0，
解得k2，
∴S1+S2＝ππ（x12+y12+x22+y22）
（1x12+1x22）（2（x1+x2）2﹣x1x2）[24k2m2﹣（m2﹣1）]．
【点评】本题考查椭圆方程和圆的方程的求法，运用向量共线和垂直的条件，等比数列的性质，以及圆的性质和韦达定理是解题的关键，考查变形能力，属于难题．
22．（12分）（2017秋•沙坪坝区校级期末）已知n∈N*，函数fn（x）＝x﹣nlnx，fn（x）′是fn（x）的导函数．
（1）当n＝3时，求函数y＝f3（x）在（0，+∞）内的零点的个数．
（2）对于0＜α＜β，若存在θ使得fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β），试比较α+β与2θ的大小．
【考点】57：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】（1）f3（x）＝x﹣3lnx，可得，利用导数研究其单调性即可得出结论．
（2）由fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β）得f′n（θ）1，而1，可得f′n（θ），令t，h（t）＝lnt，则t＞1，利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】解：（1）f3（x）＝x﹣3lnx，
∴1，
可知f3（x）在（0，3）内单减，（3，+∞）单增，
则[f3（x）]min＝f3（3）＝3﹣3ln3＜0，
又f3（1）＝1＞0，e2﹣3lne2＝e2﹣6＞0，
函数y＝f3（x）在（0，+∞）内的零点的个数为2．
（2）由fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β）得f′n（θ）1，
而1，∴f′n（θ），
令t，h（t）＝lnt，则t＞1，
而h′（t）0，
∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，
则h（t）＞h（1）＝0，∴f′n（θ）0，
又∵f′（x）＝1在（0，+∞）上是增函数，∴θ，即有2θ＜α+β．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、换元方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
⇒a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
5．函数与方程的综合运用
【知识点的知识】
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
6．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
7．定积分、微积分基本定理
【定积分】
　定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．

【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．

例1：定积分
解：
∫12|3﹣2x|dx

＝（3x﹣x2）|（x2﹣3x）|

通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
8．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
9．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
10．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
11．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

14．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
15．直线与椭圆的综合
v．
16．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：

（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
17．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
18．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

19．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
20．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
21．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
22．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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