2018-2019学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（4分）椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1＞0”的否定是（　　）
A．不存在x∈R，x2﹣1＞0 B．存在x∈R，x2﹣1＜0
C．存在x∈R，x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，x2﹣1≤0
3．（4分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，，则S5等于（　　）
A．32 B．48 C．62 D．93
4．（4分）已知点A（2，0，1），B（4，2，3），P是AB中点，则点P的坐标为（　　）
A．P（3，1，2） B．P（3，1，4） C．P（0，﹣2，﹣1） D．P（6，4，5）
5．（4分）平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（　　）
A．（1，0，1） B．（1，0，﹣1） C．（0，1，1） D．（﹣1，1，0）
6．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（　　）
A．b2＞ab B．ab＞a2 C．a2＞b2 D．|a|＜|b|
7．（4分）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）已知数列{an}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（4分）某采摘园的樱桃前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从图中记录的结果看，前x年的平均产量最高，第y年的年产量最高，则x和y的值分别为（　　）

A．7和4 B．7和8 C．10和4 D．10和10
10．（4分）已知|x|＞y＞0．将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（　　）
A．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
B．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
C．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
D．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
11．（5分）抛物线y2＝﹣4x的焦点坐标为　 　．
12．（5分）在数列中，是它的第　 　项．
13．（5分）不等式1的解集为　 　．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则CD1与平面ADD1A1所成角的大小为　 　；CD与AE所成角的余弦值为　 　．

15．（5分）设函数．
①当a＝1时，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为　 　；
②若f（x）在区间（2，+∞）上存在最小值，则满足条件的一个a的值为　 　．
16．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点．如表给出坐标的五个点中，有两个点在C1上，另有两个点在C2上．则椭圆C1的方程为　 　，C1的左焦点到C2的准线之间的距离为　 　．
x
1
3
﹣2
4

y


0
﹣4

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（13分）已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求S20的值．
18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＜3a2；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞0均成立，求a的取值范围．
19．（13分）已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为F（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y＝k（x+2）交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为，求直线l的方程及△FAB的面积．
20．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，M是SA的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大小；
（Ⅲ）线段SC上是否存在一点E，使得直线SA∥平面BDE．若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．

21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，左顶点B与右焦点F2之间的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线x＝t（t＞a）交x轴于点S，过F2且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于两点M，N，连接BM，BN并延长分别与直线x＝t交于两点P，Q．若∠PF2S＝∠F2QS，求点S的坐标．
22．（13分）已知a为实数，数列{an}满足a1＝a，．
（Ⅰ）当a＝0.2和a＝7时，分别写出数列{an}的前5项；
（Ⅱ）证明：当a＞3时，存在正整数m，使得0＜am≤2；
（Ⅲ）当0≤a≤1时，是否存在实数a及正整数n，使得数列{an}的前n项和Sn＝2019？若存在，求出实数a及正整数n的值；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（4分）椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆1，可得a＝2，b，c＝1，所以椭圆的离心率是：e．
故选：B．
2．（4分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1＞0”的否定是（　　）
A．不存在x∈R，x2﹣1＞0 B．存在x∈R，x2﹣1＜0
C．存在x∈R，x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，x2﹣1≤0
【解答】解：根据题意得，命题“对任意的x∈R，x2﹣1＞0”的否定是存在x∈R，x2﹣1≤0；
故选：C．
3．（4分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，，则S5等于（　　）
A．32 B．48 C．62 D．93
【解答】解：由a1＝3，，可知数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，
则．
故选：D．
4．（4分）已知点A（2，0，1），B（4，2，3），P是AB中点，则点P的坐标为（　　）
A．P（3，1，2） B．P（3，1，4） C．P（0，﹣2，﹣1） D．P（6，4，5）
【解答】解：根据题意，点A（2，0，1），B（4，2，3），P是AB中点，
则点P的坐标为（，，），即（3，1，2）；
故选：A．
5．（4分）平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（　　）
A．（1，0，1） B．（1，0，﹣1） C．（0，1，1） D．（﹣1，1，0）
【解答】解：∵平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），
∴（2，2，0），（0，0，2），
设平面α的法向量（x，y，z），
则，取x＝﹣1，得（﹣1，1，0），
∴平面α的法向量可以是（﹣1，1，0）．
故选：D．
6．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（　　）
A．b2＞ab B．ab＞a2 C．a2＞b2 D．|a|＜|b|
【解答】解：∵a＜b＜0；
∴b2＜ab，ab＜a2，﹣a＞﹣b＞0；
∴a2＞b2，|a|＞|b|；
∴C正确．
故选：C．
7．（4分）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，
可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c＝2，即a2+b2＝4，
解得a＝1，b，
所求双曲线方程为：．
故选：C．
8．（4分）已知数列{an}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q﹣1）＞0，⇔，或．
由数列{an}为递增数列，可得，或．
∴“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选：B．
9．（4分）某采摘园的樱桃前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从图中记录的结果看，前x年的平均产量最高，第y年的年产量最高，则x和y的值分别为（　　）

A．7和4 B．7和8 C．10和4 D．10和10
【解答】解：前n年的总产量Sn与n在图中对应P（Sn，n）点，
则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率，
由图易得当n＝7时，直线OP的斜率最大，
即前7年的年平均产量最高，x＝7；
又an＝Sn﹣Sn﹣1，所以变化量最大的是第4年，即y＝4．
故选：A．
10．（4分）已知|x|＞y＞0．将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（　　）
A．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
B．当x＞0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
C．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
D．当x＜0时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
【解答】解：当x＞0时，x＞y＞0，此时四个数的大小关系为x﹣yx＜x+y，
若x﹣y，，x，x+y成等比，则满足（）2＝（x﹣y）x，即x2﹣y2＝x2﹣xy，此时﹣y2＝﹣xy，则x＝y，不满足条件．故A错误，
若x﹣y，，x，x+y成等差，则满足2xx+y，即x﹣y，平方得（x2﹣y2）＝（x﹣y）2，即（x﹣y）（x+y）＝（x﹣y）2，
则x+y＝x﹣y，即y＝0，不满足条件．故B错误，
当x＜0时，﹣x＞y＞0，则y＞0，x＜0，x+y＜0，x﹣y＜0，此时四个数x﹣y，，x，x+y，中三个为负数，一个为正数，不可能为等比数列，故C错误，
当x＜0时，四个数的大小为x﹣y＜x＜x+y，
若x﹣y，x，x+y，，成等差，
2x＝x﹣y+x+y，此时恒成立，同时2（x+y）＝x，即x+2y，
平方得x2﹣y2＝x2+4y2+4xy，
即5y2＝﹣4xy，即xy时，满足等差数列，故D正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
11．（5分）抛物线y2＝﹣4x的焦点坐标为　（﹣1，0）　．
【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P＝4，即p＝2，开口向左
∴焦点坐标为（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
12．（5分）在数列中，是它的第　7　项．
【解答】解：令，解得n＝7．
∴是它的第7项．
故答案为：7．
13．（5分）不等式1的解集为　{x|1＜x＜2}　．
【解答】解：∵1，
∴0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，
解得：1＜x＜2．
∴不等式1的解集为{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则CD1与平面ADD1A1所成角的大小为　45°　；CD与AE所成角的余弦值为　　．

【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，
∵CD⊥ADD1A1，
∴∠CD1D是平面则CD1与平面ADD1A1所成角，
∵CD＝DD1，CD⊥DD1，
∴∠CD1D＝45°，
∴平面则CD1与平面ADD1A1所成角的大小为45°；
∵CD∥AB，∴∠BAE是CD与AE所成角（或所成角的补角），
设AB＝2，则AE3，
∴CD与AE所成角的余弦值为cos∠BAE．
故答案为：45°，．

15．（5分）设函数．
①当a＝1时，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为　2　；
②若f（x）在区间（2，+∞）上存在最小值，则满足条件的一个a的值为　5　．
【解答】解：①当a＝1时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时，取得最小值2；
②若f（x）在区间（2，+∞）上存在最小值，
由f（x）的导数为f′（x）＝1，
当x时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减，
可得f（x）在x处取得极小值，由题意可得且为最小值，
即有2，可得a＞4．
可取a＝5．
故答案为：2，5．
16．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点．如表给出坐标的五个点中，有两个点在C1上，另有两个点在C2上．则椭圆C1的方程为　　，C1的左焦点到C2的准线之间的距离为　　．
x
1
3
﹣2
4

y


0
﹣4

【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，
设抛物线C2：y2＝2px（p＞0），
则有2p（x≠0），
据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C2上，代入求得2p＝4，
∴抛物线C2的标准方程为y2＝4x．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
设椭圆C1：1（a＞b＞0），
把点（﹣2，0），（，）代入得，a＝2，1，
解得b＝1，
∴C1的标准方程为y2＝1；
由c，
左焦点（，0），
C1的左焦点到C2的准线之间的距离1．
故答案为：y2＝1，1．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（13分）已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求S20的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为a1，a3，a4成等比数列，所以．…………………（2分）
所以，…………………（4分）
又{an}的公差为2，所以，
解得a1＝﹣8．…………………（7分）
所以{an}的通项公式为an＝2n﹣10．…………………（9分）
（Ⅱ）（11分）
＝10（a1+a1+19d）＝10（﹣16+19×2）＝220．…………………（13分）
所以，S20的值为220．
18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＜3a2；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞0均成立，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x，
所以f（x）＜0，即x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）＜0的解集为（0，2）；
（Ⅱ）由f（x）＜3a2，得 x2﹣2ax﹣3a2＜0，
所以 （x﹣3a）（x+a）＜0，
当a＞0时，解集为（﹣a，3a）；
当 a＝0时，解集为空集；
当a＜0时，解集为（3a，﹣a）．
（Ⅲ）f（x）＞0，即x2﹣2ax＞0，变形可得2ax＜x2．
又由x∈（2，+∞），则在x∈（2，+∞）上恒成立；
则有a≤1．
即a的取值范围是（﹣∞，1]．
19．（13分）已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为F（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y＝k（x+2）交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为，求直线l的方程及△FAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以．
因为焦点F的坐标为（1，0），所以c＝1．
结合a2＝b2+c2，
得．
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2＝0．
则 ．
因为线段AB中点的横坐标为，
所以 ．
解得 ，即（符合题意）．
所以直线l的方程为，
因为 ．
点F到直线l的距离．
所以△FAB的面积 ．
即△FAB的面积等于1．
20．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，M是SA的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的大小；
（Ⅲ）线段SC上是否存在一点E，使得直线SA∥平面BDE．若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．

【解答】（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCDDA，DC⊂平面ABCD．
所以SD⊥DA，SD⊥DC，又DA⊥DC．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系．
由题意得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），M（1，0，1），
所以，，．
所以，，
所以DM⊥SA，DM⊥AB，
所以DM⊥平面SAB．
解：（Ⅱ）设平面SBC的法向量为（x，y，z），
因为．
所以，即，
令x＝1，则y＝2，z＝2．于是（1，2，2）．
因为DM⊥平面SAB，所以为平面SAB的法向量，
又．
所以cos．
因为所求二面角为钝角，所以二面角A﹣SB﹣C大小为135o．
（Ⅲ）设，
，
，．
设平面BDE的法向量n2＝（x0，y0，z0），
则，即，
令x0＝1，y0＝﹣2，．于是（1，﹣2，），
如果直线SA∥平面BDE，
那么0，解得 ．
所以，存在点E为线段SC靠近S点的三等分点，使得直线SA∥平面BDE．

21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，左顶点B与右焦点F2之间的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线x＝t（t＞a）交x轴于点S，过F2且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于两点M，N，连接BM，BN并延长分别与直线x＝t交于两点P，Q．若∠PF2S＝∠F2QS，求点S的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知 且a+c＝3，
解得 a＝2，c＝1．
所以b2＝a2﹣c2＝3．
所以椭圆的方程是 ．
（Ⅱ）设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

直线l的方程为x＝my+1，
易知点S（t，0），
将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．
所以 ①，②．
设P，Q两点的坐标分别为（t，yP），（t，yQ），
由B，M，P三点共线，得：，从而；
由B，N，Q三点共线，得 ，从而；
因为∠PF2S＝∠F2QS，所以．
所以 ，即 ，
整理得 ．
又 x1＝my1+1，x2＝my2+1，
所以 （*）．
将①，②代入（*），整理得．
解之，得t＝4或t＝0（舍）．
所以S点的坐标为（4，0）．
22．（13分）已知a为实数，数列{an}满足a1＝a，．
（Ⅰ）当a＝0.2和a＝7时，分别写出数列{an}的前5项；
（Ⅱ）证明：当a＞3时，存在正整数m，使得0＜am≤2；
（Ⅲ）当0≤a≤1时，是否存在实数a及正整数n，使得数列{an}的前n项和Sn＝2019？若存在，求出实数a及正整数n的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）解：当a＝0.2时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；
当a＝7时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．
（Ⅱ）证明：当a＞3时，an+1＝an﹣3．
所以，在数列{an}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{an}是以a为首项，﹣3为公差的递减的等差数列．
即an＝a+（n﹣1）（﹣3）＝a+3﹣3n．
所以，当n足够大时，总可以找到n0，使．
（1）若，令m＝n0，则存在正整数m，使得0＜am≤2．
（2）若，由，得，
令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0＜am≤2．
综述所述，则存在正整数m，使得0＜am≤2．
（Ⅲ）①当a＝0时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……
当n＝1时，S1＝0≠2019，
当n≥2时，（k∈N），
令2n﹣1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1为奇数，所以不成立；
又2n＝2019不成立，所以不存在正整数n，使得Sn＝2019．
②当0＜a＜1时，a1＝a，a2＝﹣a+4，a3＝﹣a+1，a4＝a+3，a5＝a，……
所以数列{an}的周期是4，
当n＝4k+1，k∈N时，Sn＝8k+a＝2（n﹣1）+a＝2n+a﹣2；
当n＝4k+2，k∈N时，Sn＝2（n﹣2）+a+（﹣a+4）＝2n；
当n＝4k+3，k∈N时，Sn＝2（n﹣3）+a+（﹣a+4）+（﹣a+1）＝2n﹣a+3；
当n＝4（k+1），k∈N时，Sn＝2n．
所以（k∈N）．
所以Sn或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得Sn＝2019．
③当a＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，
（k∈N），不存在正整数n，使得Sn＝2019．
综述所述，不存在实数a正整数n，使得Sn＝2019．
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