专题14 圆锥曲线中的一类定点问题-高中数学必备考试技能（解析版）学案

结论十四：圆锥曲线中的一类定点问题

结

论

若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.

(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.

(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.

(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).

解

读

圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。

典

例

3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（    ）

A． B． C． D．

解

析

【答案】D

【详解】设直线的方程为，，，由 得，

由根与系数的关系可得：，，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），可得，所以，即，所以，，所以，即，解得或（舍）所以直线的方程为，恒过点，

反

思

由题意知，所以，即，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程由韦达定理得出，，代入化简得直线的方程即可求出所过的定点.

本题的关键点是由，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），得出，设直线的方程为，，。即，联立方程，结合韦达定理即可求解.

针对训练*举一反三

1．已知抛物线，过点引抛物线的两条弦、，分别交抛物线于两点，且，则直线恒过定点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设，，由可得：，化简可得：，直线斜率为，所以，即，，令可得，

所以直线直线恒过定点，

2．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②；由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点

3．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点在抛物线上，所以设，所以，解得或．又因为两点位于轴的两侧，所以．联立得，所以，即，所以直线的方程为，所以直线一定过点．

4．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由题意，如图所示，设直线，，，，

联立，得，，，，，直线的方程为，

设直线与轴相交于点，，得．

点在抛物线上，，即，

，点

5．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；

【答案】

【解析】设的方程为,则由.

设,则是该方程的两根,∴,.

又,,故，∴,又,,

∴,代入,得：

整理得：,∴,∴或.

当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.故答案为：

6．已知抛物线的焦点为，是上一点，且，设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点则直线过定点，定点坐标为__________.

【答案】

【解析】由题意得，解得，所以，抛物线的标准方程为.

设点、，设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理得，，由轴以及点在直线上，得，则由、、三点共线，得，整理得，将韦达定理代入上式并整理得，

由点的任意性，得，得，所以，直线的方程为，即直线过定点.

7．已知椭圆的离心率为，短轴长为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）由题意知：，，.

解得，，，所以椭圆方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，.

由，得，

联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根，

∴，.

代入得，整理得.

∵，∴，∴，，所以直线恒过定点.

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，∴.由，得，∴.

∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.

综上所述，直线恒过定点.

8．双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为， 设 则且①，

因为动直线交双曲线于不同的两点，所以且， 因为直线的方程为②，直线的方程为③， ②③得，

把①代入上式得，化简得， 所以点的轨迹的方程为.

（2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，设直线的方程为，则直线的方程为， 联立得，

则，设，，， 所以的中点，

同理的中点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 整理得，

所以直线恒过定点，即过两弦中点的直线恒过定点.

9．已知抛物线:（）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线交于不同两点，若满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．

【答案】（1）；（2）见解析，.

【解析】（1）抛物线:（）的准线方程为，由抛物线的定义得，，

解得，所以抛物线方程为.

（2）方法一：设，，，且，皆不为，，

，即，，又，，

直线斜率为，直线方程为：，即为，直线恒过定点，直线恒过定点，定点坐标为.

方法二：设，，由条件可知直线的斜率不为0，可设直线：（），

代入,得：，，，，

，，即，

，

，，符合，直线：，则直线恒过定点，

直线恒过定点，定点坐标为.