专题07 等差数列 -高中数学必备考试技能（解析版）学案

结论七：等差数列

结

论

设Sn为等差数列{an}的前n项和.

(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n⇒ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).

(2)ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0.         (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.

(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.

(5)Sn====….

(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.

(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.

(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n).            (9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.

解

读

对于等差数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的

典

例

首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（    ）

①若，则；②若，则使的最大的为15；③若，，则中最大；④若，则．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解

析

【答案】B

【详解】①若，则，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以，，那么，故①不成立；②若，则，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以，，，，则使的最大的为15，故②成立；

③，，则，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以中的最大项是，故③正确；

④若，则，但，不确定的正负，故④不正确.

反

思

一般等差数列前项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列的前项和（为常数）为关于的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.

本题中由①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在，使，再结合等差数列的前项和公式判断选项；④利用公式，判断选项.

针对训练*举一反三

1．等差数列的前项和为25，前项和为100，则它的前项和为（    ）

A．125 B．200 C．225 D．275

【答案】C

【解析】由题可知，，，由成等差数列，即成等差数列，，解得，故选：C

2．已知数列满足，且前项和为，若，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用等差中项法可判断出数列是等差数列，由已知条件计算得出的值，再利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求得的值.

【详解】对任意的，，即，所以数列为等差数列，

，，由等差数列的求和公式可得.

3．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（　　）

A．4041 B．4039 C．2021 D．2020

【答案】B

【分析】

由于等差数列的前项和存在最大值，则首项，公差；又可得；再根据等差数列的性质和前项和公式即可求出结果．

【详解】

∵等差数列存在最大值且， ∴首项，公差，即等差数列为递减数列，∴， ∵，所以

∴，.所以满足的最大正整数的值为.

4．已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（    ）

A． B． C．10 D．20

【答案】B

【分析】

可证数列为等差数列，公差为．根据，即可得出．

【详解】

由题得，所以，

所以数列为等差数列，公差为．，，解得．

5．等差数列的公差，前项和为，若对于任意，都有，则（    ）

A． B． C． D．是递增数列

【答案】A

【分析】

由题意可知，是数列的最大值，可得出且，进而得出，，利用等差数列的求和公式结合等差数列的基本性质可得出结果.

【详解】

对于任意，都有，则是数列的最大值，则且，所以，，则，A选项正确；

，则，B选项错误；，，且，则，所以，数列单调递减，则，所以，，C选项错误，D选项错误.

6．已知数列对任意的有，若,则_______.

【答案】

【解析】令,则可知，∴为等差数列，首项和公差均为2.

∴，∴。

7．已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.

【答案】7

【分析】

根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.

【详解】

方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得

则.又，∴当时，取得最大值.

方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，

∴，解得，则，

令解得，又，∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当取得最大值时，.