2017年长春市六十八中学中考一模数学试卷

这是一份2017年长春市六十八中学中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共4小题；共20分）
1. 如图，有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点分别是 A，B，C，D，若 a+c=0，则 b+d
A. 大于 0B. 小于 0C. 等于 0D. 不确定

2. 已知分式 x−1x+2x2−1 的值为 0，那么 x 的值是
A. −1B. −2C. 1D. 1 或 −2

3. 如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字，“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是
A. 0B. 2C. 数D. 学

4. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O，AB∥OC，DC 与 OB 交于点 E，则 ∠DEO 的度数为
A. 85∘B. 70∘C. 75∘D. 60∘

二、填空题（共8小题；共40分）
5. 如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，AD，CE 交于点 H，请你添加一个适当的条件： ，使 △AEH≌△CEB．

6. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，∠C=40∘，过点 D 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，则 ∠BEF 的度数为 ．

7. 如图，在 ⊙O 中，AB 是弦，C 是 AB 上一点．若 ∠OAB=25∘，∠OCA=40∘，则 ∠BOC 的大小为 度．

8. 计算：27×83÷12= ．

9. 不等式组 x−6>−2x,12x<3 的解集为 ．

10. 某商品每件标价为 150 元，若按标价打 8 折后，再降价 10 元销售，仍获利 10%，则该商品每件的进价为 元．

11. 圆内接正六边形的边心距为 23 cm，则这个正六边形的面积为 cm2．

12. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD 的面积是小正方形 EFGH 面积的 13 倍，那么 tan∠ADE 的值为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
13. 计算 aa−1−3a−1a2−1．

14. 如图，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．

15. 计算：3+13−1+24−120．

16. 小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少 g?

17. 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 至点 E，使 AE+CD=AD．连接 CE，求证：CE 平分 ∠BCD．

18. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a771.2乙7b8c
（1）写出表格中 a，b，c 的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员?结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．

19. 有四张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A，B，C，D 表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

20. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD=BA，BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E．
（1）求证：∠1=∠BAD．
（2）求证：BE 是 ⊙O 的切线．

21. 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量 y1（万m3）与干旱持续时间 x（天）的关系如图中线段 l1 所示，针对这种干旱情况，从第 20 天开始向水库注水，注水量 y2（万m3）与时间 x（天）的关系如图中线段 l2 所示（不考虑其它因素）．
（1）求原有蓄水量 y1（万m3）与时间 x（天）的函数关系式，并求当 x=20 时的水库总蓄水量．
（2）求当 0≤x≤60 时，水库的总蓄水量 y（万m3）与时间 x（天）的函数关系式（注明 x 的范围），若总蓄水量不多于 900 万m3 为严重干旱，直接写出发生严重干旱时 x 的范围．

22. 如图所示，某幼儿园为加强安全管理，决定将园内滑滑板的倾斜角由 45∘ 降为 30∘，已知原滑滑板 AB 的长为 4 米，点 D，B，C 在同一水平面上．
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449，以上结果均保留到小数点后两位）
（1）改善后滑滑板会加长多少米?
（2）若滑滑板的正前方有 3 米长的空地就能保证安全，已知原滑滑板的前方有 5 米长的空地，则这样改造是否可行?请说明理由．

23. 已知点 P 在一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k<0，b>0）的图象上，将点 P 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到点 Q，点 Q 也在该函数 y=kx+b 的图象上．
（1）k 的值是 ；
（2）如图，该一次函数的图象分别与 x 轴、 y 轴交于 A，B 两点，且与反比例函数 y=−4x 的图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，记 S1 为四边形 CEOB 的面积，S2 为 △OAB 的面积，若 S1S2=79，则 b 的值是 ．

24. 如图，长方形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 在 y 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx 经过点 B1,4 和点 E3,0 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 D 在线段 OC 上，且 BD⊥DE，BD=DE，求 D 点的坐标；
（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点 M，使得 △BDM 的周长为最小，并求 △BDM 周长的最小值及此时点 M 的坐标；
（4）在条件（2）下，从 B 点到 E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点 P，使得 △PAD 的面积最大?若存在，请求出 △PAD 面积的最大值及此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】解法一：
由 A，B，C，D 在数轴上的位置可知，d所以 a<0，c>0，a 与 c 互为相反数，
所以线段 AC 的中点为原点．
取 AC 的中点为原点，此时观察 D 与 B 在数轴上的位置，
可知 d<0，b>0，且 ∣d∣>∣b∣，
所以 b+d<0．
解法二：由 A，B，C，D 在数轴上的位置可知，d所以 b+d因为 a+c=0，
所以 b+d<0．
2. B
3. A
4. C【解析】∵ AB∥OC，∠A=60∘，
∴ ∠A+∠AOC=180∘，
∴ ∠AOC=120∘，
∴ ∠BOC=120∘−90∘=30∘，
又 ∠DEO+∠OEC=∠C+∠BOC+∠OEC，
∴ ∠DEO=∠C+∠BOC=45∘+30∘=75∘．
第二部分
5. AE=CE（或 AH=BC 或 EH=BE）
【解析】∵ AD⊥BC，CE⊥AB，
∴ ∠AEH=∠CEB=∠ADB=90∘．
∵ ∠BAD+∠B=90∘，∠BCE+∠B=90∘，
∴ ∠BAD=∠BCE．可添加 EH=BE 或 AH=BC，由“AAS”可证明 △AEH=△CEB；可添加 AE=CE，
由“ASA”可证明 △AEH≌△CEB．
6. 50∘
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C=∠ABF．
又 ∠C=40∘，
∴∠ABF=40∘．
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴∠F=90∘，
∴∠BEF=90∘−40∘=50∘．
7. 30
【解析】∵∠BAO=25∘，OA=OB，
∴∠B=∠BAO=25∘，
∴∠AOB=180∘−∠BAO−∠B=130∘，
∵∠ACO=40∘，OA=OC，
∴∠C=∠CAO=40∘，
∴∠AOC=180∘−∠CAO−∠C=100∘，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=30∘．
8. 12
9. 210. 100
11. 243
12. 23
第三部分
13. aa−1−3a−1a2−1=aa−1−3a−1a−1a+1=aa+1−3a−1a−1a+1=a2+a−3a+1a−1a+1=a−12a−1a+1=a−1a+1.
14. ∵ BE=CF，
∴ BC=EF .
在 △ABC 与 △DEC 中，
AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴ △ABC=△DEFSSS
∴ ∠ABC=∠DEF．
∴ AB∥DE .
15. 3+13−1+24−120=32−12+26−1=3−1+26−1=26+1.
16. 设大苹果的重量为 xg，小苹果的重量为 yg，
由题意得，
x=y+50,x+y=300+50,
解得：
x=200,y=150.
答：大苹果的重量为 200 g，小苹果的重量为 150 g．
17. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ，
∴ AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∴ ∠E=∠DCE，
∵ AE+CD=AD，
∴ BE=BC，
∴ ∠E=∠BCE ，
∴ ∠DCE=∠BCE
即 CE 平分 ∠BCD．
18. （1） 甲的平均成绩 a=5×1+6×2+7×4+8×2+9×11+2+4+2+1=7，
∵ 乙射击的成绩从小到大重新排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
∴ 乙射击成绩的中位数 b=7+82=7.5，
其方差
c=110×3−72+4−72+6−72+2×7−72+3×8−72+9−72+10−72=110×16+9+1+3+4+9=4.2.
（2） 从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为 7 环，从中位数看甲射中 7 环以上的次数小于乙，从众数看甲射中 7 环的次数最多而乙射中 8 环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；
综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．（理由合理即可）
19. （1） 画树状图得：
则共有 16 种等可能的结果；
（2） ∵ 既是中心对称图形又是轴对称图形的只有B，C，
∴ 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4 种情况，概率为 416=14．
20. （1） ∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，
∴∠1=∠BAD．
（2） 连接 BO，
∵∠ABC=90∘，
又 ∵∠BAD+∠BCD=180∘，
∴∠BCO+∠BCD=180∘，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD=180∘，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB 是 ⊙O 的半径，
∴BE 是 ⊙O 的切线．
21. （1） 设 y1=kx+b，
把 0,1200 和 60,0 代入到 y1=kx+b 得：b=1200,60k+b=0,
解得 k=−20,b=1200,
∴y1=−20x+1200，
当 x=20 时，
y1=−20×20+1200=800（万m3）．
（2） 设 y2=kx+b，
把 20,0 和 60,1000 代入到 y2=kx+b 得：20k+b=0,60k+b=1000,
解得 k=25,b=−500,
∴y2=25x−500，
当 0≤x≤20 时，y=−20x+1200，
当 20 y≤900，
则 5x+700≤900，
x≤40，
当 y1=900 时，900=−20x+1200，
x=15，
∴ 发生严重干旱时 x 的范围为：15≤x≤40．
22. （1） 在 Rt△ABC 中，
∵ sin∠ABC=ACAB，
∴ AC=4sin45∘=22m，
在 Rt△ADC 中，
∵ ∠D=30∘，
∴ AD=2AC=42≈5.656m，
∵ AD−AB=5.656−4≈1.66m，
∴ 改善后滑滑板会加长 1.66 米；
（2） 不可行，
理由如下：
∵ △ABC 为等腰直角三角形，
∴ BC=AC=22m，
在 Rt△ADC 中，
∵ tanD=ACCD，
∴ CD=22tan30∘=2233=26m，
∴ BD=CD−BC=26−22≈2.07m，而 5−2.07=2.93<3，
∴ 这样改造不可行．
23. （1） −2
（2） 32
【解析】因为 BO⊥x 轴，CE⊥x 轴，
所以 BO∥CE，
所以 △AOB∽△AEC．
又因为 S1S2=79，
所以 S△AOBS△AEC=97+9=916．
令一次函数 y=−2x+b 中 x=0，则 y=b，
所以 BO=b；
令一次函数 y=−2x+b 中 y=0，则 0=−2x+b，
解得：x=b2，即 AO=b2．
因为 △AOB∽△AEC，且 S△AOBS△AEC=916，
所以 AOAE=BOCE=34．
所以 AE=43AO=23b，CE=43BO=43b，OE=AE−AO=16b．
因为 C 点在反比例函数 y=−4x 上，
所以 OE⋅CE=∣−4∣=4，
即 29b2=4，
解得：b=32 或 b=−32（舍去）．
24. （1） 将点 B1,4，E3,0 的坐标代入抛物线的解析式得：a+b=4,9a+3b=0,
解得：a=−2,b=6,
所以抛物线的解析式为 y=−2x2+6x．
（2） 如图 1 所示；
因为 BD⊥DE，
所以 ∠BDE=90∘．
所以 ∠BDC+∠EDO=90∘．
又因为 ∠ODE+∠DEO=90∘，
所以 ∠BDC=∠DEO．
在 △BDC 和 △DEO 中，
∠BCD=∠DOE=90∘,∠BDC=∠DEO,DB=DE,
所以 △BDC≌△DEO．
所以 OD=CB=OA=1．
所以 D0,1．
（3） 如图 2 所示：作点 B 关于抛物线的对称轴的对称点 Bʹ，连接 BʹD 交抛物线的对称轴于点 M．
因为对称轴为直线 x=−b2a=32，
所以点 Bʹ 的坐标为 2,4．
因为点 B 与点 Bʹ 关于直线 x=32 对称，
所以 MB=BʹM．
所以 DM+MB=DM+MBʹ．
所以当点 D，M，Bʹ 在同一条直线上时，MD+MB 有最小值（即 △BMD 的周长有最小值）．
因为由勾股定理得：BD=12+4−12=10，
DBʹ=22+4−12=13，
所以 △BDM 的周长最小值 =10+13．
设直线 BʹD 的解析式为 y=kx+b1，
将点 D，Bʹ 的坐标代入得：b1=1,2k+b1=4,
解得：k=32，b1=1．
所以直线 DBʹ 的解析式为 y=32x+1．
将 x=32 代入得：y=134．
所以 M32,134．
（4） 如图 3 所示：过点 P 作 PG⊥x 轴，垂足为 G．
设点 Pc,−2c2+6c，则 OG=c，PG=−2c2+6c，
因为
S梯形DOGP=12OD+PG⋅OG=12×1−2c2+6c×c=−c3+3c2+12c,
S△ODA=12OD⋅OA=12×1×1=12，
S△AGP=12AG⋅PG=12OG−OA⋅PG=12×c−1×−2c2+6c=−c3+4c2−3c,
所以
S△PDA=S梯形DOGP−S△ODA−S△AGP=−c3+3c2+12c−12−−c3+4c2−3c=−c2+72c−12=−c−742+4116,
所以当 c=74 时，S△PDA 的最大值为 4116．
所以点 P 的坐标为 74,358．