高中高考专区undefined课时作业

这是一份高中高考专区undefined课时作业，共18页。试卷主要包含了空间向量的有关概念，空间向量的数量积及运算律，空间向量的坐标表示及其应用，下列各组向量中，是平行向量的是等内容，欢迎下载使用。
第五节 空间向量的运算及应用
知识回顾
1．空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量


2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角余弦
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝

5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．
(2)平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
(3)
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
课前检测
1.下列命题正确的是(　　)
A．若A,B,C,D是空间任意四点,则有＋＋＋＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a,b共线的充要条件
C．若a,b共线,则a与b所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若＝x＋y＋z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面．
2．若O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)
A．，，共线　　　　 B．，共线
C．，共线 D．O，A，B，C四点共面
3.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
4.已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于( )
A. B. －2 C. 0 D. 或－2
5．设μ，v分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
6．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________，以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
课中讲解
考点一.空间向量的线性运算
例1.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的是(　　)
A．－a＋b＋c　　　　 B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c






变式1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；
(2)；
(3)＋.







例2.若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.
变式2.如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)

A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
例3.　(1) 向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)
①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c； ③a∥c，a⊥b.
(2) 已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是____________．

考点二 共线、共面向量定理的应用
例1.　如图所示，已知斜三棱柱ABC －A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k (0≤k≤1). 判断向量是否与向量，共面．







变式1.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足＝(＋＋).
(1)判断,,三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.






变式2.（1）已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)
A．2， B．－，
C．－3,2 D.2,2
（2）．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.
考点三　空间向量的数量积及其应用
例1.已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
(2)若向量a分别与,垂直,且|a|＝,求a的坐标．




变式1.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．

(1)求证：EG⊥AB；
(2)求EG的长；
(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．







例2.如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)求证：AA1⊥BD.








变式2.已知空间三点A(－2,0,2),B(－1,1,2),C(－3,0,4),设a＝,b＝.
(1)若|c|＝3,且c∥,求c；
(2)求a和b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直,求k的值；
(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直,求λ,μ应满足的关系.








变式3.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
求：(1)的长；
(2)与夹角的余弦值．






考点四.利用向量证明平行与垂直问题
例1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.







变式1．如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.












变式2.如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：

(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C.












课后习题
一． 单选题
1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B.0
C．1 D．不确定
2.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　　)
A．x＝，y＝，z＝ B.x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝
3.如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.

4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
5．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
6．(2020·北京海淀区模拟)在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足＝2a＋b，＝3a－b，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
8.已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

9．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
二． 多选题
10．(多选)下列各组向量中，是平行向量的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
11．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有(　　)
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
12.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.∥
13.(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝3()2
B.·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|··|
三． 填空题
14.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________.
15．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点， ＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．

16．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P (1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
17．已知四面体P­ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，则|＋＋|＝________.
18．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．
19．(2019·广州调研)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③向量与向量的夹角是60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的序号是________．
20.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

四．解答题





21.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．
(1)试用向量，，表示；
(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.












22.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求的模；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.








23.【2020年北京卷】如图，在正方体中，E为的中点．


（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．