人教版数学九年级上册月考模拟试卷10（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册月考模拟试卷10（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2B．y=ax2+bx+cC．y=8xD．y=x2（1+x）
2．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．1.5cmB．7.5cmC．1.5cm或7.5cmD．3cm或15cm
3．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
4．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）
5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外
6．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=2+3
7．圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（ ）
A．68°B．52°C．76°D．38°
8．抛物线y=﹣2（x﹣1）2上有三点A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3 从小到大是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2
9．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则△PDE的周长为（ ）
A．16cmB．14cmC．12cmD．8cm
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（ ）
A．2.5B．1.6C．1.5D．1
11．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
12．有一个内角为120°的菱形的内切圆半径为，则该菱形的边长是（ ）
A．B．C．4D．6
13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④B．②③C．①④D．①②③
14．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，csB=，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的⊙C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是（ ）
A．0＜CE≤8B．0＜CE≤5
C．0＜CE＜3或5＜CE≤8D．3＜CE≤5
15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表
从上表可知，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）
B．函数y=ax2+bx+c的最大值为6
C．抛物线的对称轴是直线x=
D．在对称轴左侧，y随x增大而增大
16．如图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（ ）
A．B．C．D．

二、填空题
17．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为 ．
18．如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，则AB的长是 ．
19．将抛物线y=x2﹣4x+9向 平移 个单位，向 平移 个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5．
20．如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是 ．
三、解答题
21．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
（1）求该抛物线的表达式
（2）计算所需不锈钢管的总长度．
22．某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元．经调查发现：日均销售量y（棵）与销售单价x（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵．
（1）求日均销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？
23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
24．如图，△ABC是一块铁皮余料．已知底边BC=160cm，高AD=120cm．在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．
（1）设HG=y cm，HE=x cm，试确定用x表示y的函数表达式．
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S 最大？
25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度．
图1为点P在⊙O外的情形示意图．
（1）若点B（1，0），C（1，1），，则SB= ；SC= ；SD= ；
（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；
（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．

参考答案
一、选择题：
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2B．y=ax2+bx+cC．y=8xD．y=x2（1+x）
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．
【解答】解：A、y=x2是二次函数，故A符合题意；
B、a=0时是一次函数，故B不符合题意，
C、y=8x是一次函数，故C不符合题意；
D、y=x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．

2．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A．1.5cmB．7.5cmC．1.5cm或7.5cmD．3cm或15cm
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．
故选C．

3．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【考点】切线的性质．
【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
【解答】解：连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=30°，
∴∠COD=2∠A=60°，
∴∠D=90°﹣60°=30°．
故选：A．

4．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【解答】解：因为y=（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．
故选B．

5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．
【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
故选：A．

6．把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=2+3
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=﹣x2﹣x+3=﹣（x2+4x+4）+1+3=﹣（x+2）2+4
故选C．

7．圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（ ）
A．68°B．52°C．76°D．38°
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】先利用切线的性质得∠IDA=∠IFA=90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF=180°，再根据圆周角定理得到∠DIF=2∠DEF=104°，然后利用互补计算∠A的度数即可．
【解答】解：∵圆I是三角形ABC的内切圆，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠IDA=∠IFA=90°，
∴∠A+∠DIF=180°，
∵∠DIF=2∠DEF=2×52°=104°，
∴∠A=180°﹣104°=76°．
故选C．

8．抛物线y=﹣2（x﹣1）2上有三点A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3 从小到大是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答．
【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x﹣1）2的对称轴是x=1，
∴x=﹣1时的函数值与x=3时的函数值相等，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．

9．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则△PDE的周长为（ ）
A．16cmB．14cmC．12cmD．8cm
【考点】切线的性质．
【分析】由切线长定理可知AD=CD、BE=CE，PA=PB，则可求得△PDE的周长=PA+PB，可求得答案．
【解答】解：
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB=8cm，AD=CD，BE=CE，
∴PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=8+8=16（cm），
故选A．

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（ ）
A．2.5B．1.6C．1.5D．1
【考点】切线的性质．
【分析】连结OD、OE，如图，先根据切线的性质得OD⊥AC，OE⊥BC，再判断四边形ODCE为正方形得到OD=CD=AC﹣AD=4﹣AD，接着证明Rt△AOD∽Rt△ABC，然后利用相似比计算AD的长．
【解答】解：连结OD、OE，如图，
∵以点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
而∠ACB=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴OD=CD=AC﹣AD=4﹣AD，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
∴=，即=，
∴AD=1.6．
故选B．

11．函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；
【解答】解：当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；
当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；
当a=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．
正确的只有C．
故选C．

12．有一个内角为120°的菱形的内切圆半径为，则该菱形的边长是（ ）
A．B．C．4D．6
【考点】菱形的性质；勾股定理；切线长定理．
【分析】根据菱形的内切圆半径为即可求菱形的高，菱形的一个内角为120°则其邻角为60°，在直角三角形ABE中即可求的AB即菱形的边的长．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵内切圆半径为，∴AE的长度为2，
∵∠BAD=120°，则∠ABC=60°，
在Rt△ABC中，AE=2，∠ABC=60°，
∴AB=4，
故选 C．

13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④B．②③C．①④D．①②③
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，
∴y=a﹣b+c＜0，
故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴为0＜x=﹣＜1，
∴2a+b＜0，
故③正确；
④对称轴为x=﹣＞0，a＜0
∴a、b异号，即b＞0，
由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0
∴abc＜0，
故④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：B．

14．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，csB=，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的⊙C与边AD不相交时，半径CE的取值范围是（ ）
A．0＜CE≤8B．0＜CE≤5
C．0＜CE＜3或5＜CE≤8D．3＜CE≤5
【考点】直线与圆的位置关系；平行四边形的性质；解直角三角形．
【分析】过A作AM⊥BC于N，CN⊥AD于N，根据平行四边形的性质求出AD∥BC，AB=CD=5，求出AM、CN、AC、CD的长，即可得出符合条件的情况．
【解答】解：如图，过A作AM⊥BC于N，CN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=5，
∴AM=CN，
∵AB=5，csB=，
∴BM=4，
∵BC=8，
∴CM=4=BC，
∵AM⊥BC，
∴AC=AB=5，
由勾股定理得：AM=CN==3，
∴当以CE为半径的圆C与边AD有两个交点时，半径CE的取值范围是3＜CE≤5，
故选D．

15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表
从上表可知，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）
B．函数y=ax2+bx+c的最大值为6
C．抛物线的对称轴是直线x=
D．在对称轴左侧，y随x增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．
【分析】根据表格的数据首先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性可以确定抛物线与x轴的另一个交点坐标，也可以确定抛物线的最大值的取值范围，也可以确定开口方向．
【解答】解：根据表格数据知道：
抛物线的开口方向向下，
∵x=0，x=1的函数值相等，
∴对称轴为x=，所以选项C正确，不符合题意；
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（3，0），所以选项A正确，不符合题意；
在对称轴左侧，y随x增大而增大，最大值大于6．所以选项D正确，不符合题意；
选项B错误，符合题意；
故选B．

16．如图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与N点重合时为止，设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致为（ ）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象；二次函数的图象．
【分析】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．
【解答】解：当x≤4cm时，重合部分是边长是x的等腰直角三角形，面积y=x2，是一个开口向上的二次函数；
当x＞4时，重合部分是直角梯形，面积y=8﹣（x﹣4）2，即y=﹣x2+4x，是一个开口向下的二次函数．
故选B．

二、填空题（每小题4分，共16分）
17．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为 y=﹣x2+x或y=x2+x． ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（﹣1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）或（0，0）、（﹣1，0）、（﹣，﹣）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，
把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）代入得，解方程组得，
则二次函数的解析式为y=﹣x2+x；
当图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）时，把得，解方程组得，
则二次函数的解析式为y=x2+x．
所以该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．

18．如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，则AB的长是 6 ．
【考点】切线的性质；垂径定理．
【分析】环形的面积为9π，就是大圆面积﹣小圆的面积，根据圆的面积公式，可得π×OA2﹣π×OM2=9π，解得OA2﹣OM2=9，再根据勾股定理可知就是AM的平方，所以AM=3，AB=6．
【解答】解：连接OA、OM，如图所示：
∵大圆的弦AB切小圆于M，
∴AB⊥OM，
∴AM=BM，
∵环形的面积为9π，
根据圆的面积公式可得：π×OA2﹣π×OM2=9π，
解得：OA2﹣OM2=9，
根据勾股定理可知：AM2=OA2﹣OM2，
∴AM=3，
∴AB=2AM=6．

19．将抛物线y=x2﹣4x+9向 右 平移 1 个单位，向 下 平移 9 个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律，可得到答案．
【解答】解：y=x2﹣4x+9配方，得y=（x﹣2）2+5；
y=x2﹣6x+5配方，得y=（x﹣3）2﹣4．
抛物线y=x2﹣4x+9向 右平移 1个单位，向 下平移 9个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5，
故答案为：右，1，下，9．

20．如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是 30°或90° ．
【考点】切线的性质．
【分析】OA与⊙O相切时，有两种情况：①切线在OB右侧；②切线在OB左侧；解法相同，都是连接圆心与切点，通过构建的直角三角形求解．
【解答】解：如图；
①当OA旋转到OE位置时，与圆M相切于点E，连接ME；
则ME=2，∠MEO=90°；
Rt△OEM中，sin∠MOE==，
∴∠MOE=30°，
∴∠AOE=∠AOB﹣∠MOE=30°；
②当OA旋转到OF位置时，与圆M相切于点F，连接MF；
则MF=2，∠MFO=90°；
Rt△OFM中，sin∠MOF==，
∴∠MOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠FOB=90°；
故OA旋转的角度为30°或90°．

三、解答题
21．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
（1）求该抛物线的表达式
（2）计算所需不锈钢管的总长度．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；
（2）根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．
【解答】解：（1）由题意得B（0，0.5）、C（1，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+c
代入得a=﹣0.5，c=0.5，
故解析式为y=﹣0.5x2+0.5；
（2）如图1所示：
∵当x=0.2时，y=0.48，
当x=0.6时，y=0.32，
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6米
∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．

22．某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵20元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过80元，也不得低于30元．经调查发现：日均销售量y（棵）与销售单价x（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价60元时，日均销售90棵；每棵售价30元时，日均销售120棵．
（1）求日均销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用200元，求销售利润w（元）与销售单价x之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（60，90），（30，120）分别代入上式得到一次函数解析式；
（2）根据题意得到W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200，配方后求最大值．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为y=kx+b，
把（60，90），（30，120）分别代入上式得，，
解得．
故y=﹣x+150，（30≤x≤80）．
（2）根据题意得W=（x﹣20）（﹣x+150）﹣200
=﹣x2+170x﹣3200
=﹣（x2﹣170x+852﹣852）﹣3200
=﹣（x﹣85）2+852﹣3200
=﹣（x﹣85）2+852﹣3200
=﹣（x﹣85）2+4025．
当x=80时取得最大值，为W最大值=﹣（80﹣85）2+4025=4000元．

23．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；
（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．
【解答】证明：连接OA，
（1）∵sinB=，
∴∠B=30°，
∠AOC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OAD=60°+30°=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BE=AE，
∴OD是AB的垂直平分线，
∴∠DAE=60°，∠D=30°，
在Rt△ACE中，AE=cs30°×AC=，
∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5．

24．如图，△ABC是一块铁皮余料．已知底边BC=160cm，高AD=120cm．在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．
（1）设HG=y cm，HE=x cm，试确定用x表示y的函数表达式．
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S 最大？
【考点】相似三角形的应用；二次函数的最值．
【分析】（1）先表示出AM，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式整理即可；
（2）根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可．
【解答】解：（1）∵矩形EFGH，AD是高，
∴MD=HE=x，HG∥BC，
∴AM=AD﹣MD=120﹣x，△AHG∽△ABC，
∴=，
即=，
∴y=﹣x+160；
（2）矩形EFGH的面积S=xy=x（﹣x+160），
=﹣x2+160x，
=﹣（x2﹣120x+3600）+4800，
=﹣（x﹣60）2+4800，
所以，当x=60时，S取最大值4800．

25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度．
图1为点P在⊙O外的情形示意图．
（1）若点B（1，0），C（1，1），，则SB= 0 ；SC= ﹣1 ；SD= ；
（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；
（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据点的坐标和新定义解答即可；
（2）根据直线y=x+b的特点，结合SM=2，根据等腰直角三角形的性质解答；
（3）根据T在⊙O内，确定ST的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．
【解答】解：（1）∵点B（1，0），
∴SB=0，
∵C（1，1），
∴SC=﹣1，
∵，
∴SD=，
故答案为：0；﹣1；；
（2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，
作OG⊥EF于G，
∵∠FEO=45°，
∴OG=GE，
当OG=3时，GE=3，
由勾股定理得，OE=3，
此时直线的解析式为：y=x+3，
∴直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，b的取值范围是﹣3≤b≤3；
（3）∵T在⊙O内，
∴ST≤1，
∵ST≥SR，
∴SR≤1，
∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4．

2017年3月10日x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…