北师大版九年级上册数学期中练习试卷（有答案）

这是一份北师大版九年级上册数学期中练习试卷（有答案），共17页。试卷主要包含了方程x，在比例尺为1，下列各组图形中，一定相似的是，下列投影中，是平行投影的是等内容，欢迎下载使用。
1．方程x（x+5）＝x+5的根为（ ）
A．x1＝5，x2＝﹣5B．x1＝1，x2＝﹣5C．x＝0D．x1＝x2＝﹣5
2．在比例尺为1：500000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（ ）
A．0.585 kmB．5.85 kmC．58.5 kmD．585 km
3．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形B．两个等边三角形
C．两个平行四边形D．两个菱形
4．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（ ）
A．B．C．D．1
6．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（ ）
A．150°B．147°C．135°D．120°
7．下列投影中，是平行投影的是（ ）
A．路灯下行人的影子
B．太阳光下楼房的影子
C．台灯下书本的影子
D．在手电筒照射下纸片的影子
8．如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．22.5°
9．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
10．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大两个三角形纸片按图2中①、②两种方式放置，设①中的阴影部分面积为S1；②中的阴影部分面积为S2，当S2＝S1时，则矩形的两边之比为（ ）
A．2B．C．D．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．已知：，则＝ ．
12．一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 ．
13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝ ．
14．已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝ cm．
三．解答题（共11小题，满分78分）
15．解方程：x2﹣4x+3＝0．
16．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝9，CD＝1，BD＝6，点E在BD上移动，当以E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE的长．
17．尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°．请用尺规在AC上作点D，并连接BD，使得△BDC∽△ABC（保留作图痕迹，不要求写作法）．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC的边上，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，求AC的长．
19．已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．
（1）如图1，求证：AB＝AF；
（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．
20．现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习，篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中记作传球一次，共连续传球三次．
（1）若开始时篮球在甲手中，则经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率是 ；
（2）若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）
21．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：DF•BF＝EF•CF．
22．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
23．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
24．已知，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．
（1）如图1，求证：CG＝CE；
（2）如图2，连接BD，若BE＝4，DG＝2，求cs∠DBG的值．
25．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正确的有 ．（将所有正确的序号填在横线上）．
【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：x（x+5）﹣（x+5）＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
故选：B．
2．解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得
1：500000＝11.7：x，
解得：x＝5950000，
5850000cm＝58.5km．
故选：C．
3．解：A、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
B、任意两个等边三角形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；
C、任意两个平行四边形对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，故不一定相似，不符合题意，
D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
故选：B．
4．解：∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
5．解：根据菱形的判定定理，
可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③，
概率为．
故选：B．
6．解：∵△ABC∽△DCA，
∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DCA＝∠B＝33°，
∴∠DAC＝180°﹣117°﹣33°＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝147°，
故选：B．
7．解：A、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；
B、太阳光下楼房的影子为平行投影，符合题意；
C、台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意；
D、在手电筒照射下纸片的影子为中心投影，故此选项不合题意．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°＝∠ADB，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝67.5°，
∴∠EDA＝∠BDE﹣∠ADB＝22.5°，
故选：D．
9．解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故选：A．
10．解：如图，
由图1，可得∠ACB+∠ACD＝90°＝∠ACD+∠CDE＝∠ADE+∠CDE，
∴∠ACB＝∠CDE，∠ADE＝∠DCE，
∴△ADE∽△DCE，
∴，
由图2①，∵∠ACB＝∠CDE，∠DEC'＝90°，
∴OD＝OC，∠C'＝∠ACC'，
∴OC＝OC'＝OD，
∴S1＝S△DC'E，
由图2②，S2＝S△ABC﹣S△DC'E，
∵S2＝S1，
∴S△ABC﹣S△DC'E＝S△DC'E，
∴S△ABC＝S△DC'E，
∴S△DC'E＝S△ABC＝S△ADC，
∴EC＝2AE，
∵，
∴DE2＝2AE2，
∴DE＝AE，
∴，
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．解：∵，
∴＝（更比定理），
∴＝（合比定理），
即＝．
故答案是：．
12．解：根据题意得：
＝0.4，
解得：n＝20，
则n大约是20个；
故答案为：20．
13．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD•AG＝AB•OE+AD•OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
14．解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，
∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，
∴BP＝2×＝（﹣1）cm．
故答案为：（﹣1）．
三．解答题（共11小题，满分78分）
15．解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
16．解：设DE＝x，则BE＝BD﹣x＝6﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABE∽△CDE，即，
解得x＝，
当时，△ABE∽△EDC，即，
整理得x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∴当DE为或3时，以C、D、E为顶点的三角形与以E、B、A为顶点的三角形相似．
17．解：如图，点D即为所求．
18．解：∵DE∥BC，
∴．
∵AD＝6，DB＝3，AE＝4，
∴．
∴EC＝2．
∴AC＝AE+EC＝6．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE＝BC，
∴AD＝DE，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝AB；
（2）AD，BC，DE的长度等于AB，
理由如下：∵△ADF≌△DEC，
∴CE＝DF，
∴BE＝EF，
∵BE＝DF，
∴BE＝EC＝DF＝EF，
∴DE＝2EC，
∵DE2＝EC2+CD2，
∴DE＝AB，
∴AD＝BC＝DE＝AB．
20．解：（1）经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由树形图可知三次传球有8种等可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有3种，
∴篮球传到乙的手中的概率为．
21．证明：（1）∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴AB＝3AD，CE＝2AE，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∴DF•BF＝EF•CF．
22．解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝20时，40﹣x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
24．解：（1）如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，
又∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
又∵∠GBC+∠BGC+∠GCB＝180°，
∠GFD+∠FDG+∠DGF＝180°，
∠BGC＝∠DGF，
在△BGC和△DEC中，
∴△BGC≌△DEC（ASA），
∴CG＝CE；
（2）过点G作GH⊥BD，设CE＝x，HD＝y，
如图2所示：
∵CG＝CE，
∴CG＝x，
又∵BE＝BC+CE，DC＝DG+GC，BC＝DC，
BE＝4，DG＝2，
∴，
解得：x＝，
∴BC＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
＝＝6，
同理可得：HD＝2，
又∵BD＝BH+HD，
∴BH＝6﹣2＝4，
在Rt△HBG中，由勾股定理得：
＝＝2，
∴cs∠DBG＝＝＝．
25．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE＝∠DGO，
∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，
∴∠DOE＝∠DAE＝60°，
∴∠BOC＝60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACO，
∵AB＝AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，
连接AF，要使OC＝OE，则有OC＝CE，
∵BD＝CE，
∴CF＝OF＝BD，
∴OF＝BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，
延长DC至P，使DP＝DB，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD＝BP，∠DBP＝60°，
∵∠ABC＝60°＝∠DBP，
∴∠ABD＝∠CBP，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP＝∠A，
∵∠BCD+∠BCP＝180°，
∴∠A+∠BCD＝180°．