2019年江苏省南京市中考数学试卷+答案+解析

2019年江苏省南京市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）（2019•南京）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是　　

A． B． C． D．

2．（2分）（2019•南京）计算的结果是　　

A． B． C． D．

3．（2分）（2019•南京）面积为4的正方形的边长是　　

A．4的平方根 B．4的算术平方根 

C．4开平方的结果 D．4的立方根

4．（2分）（2019•南京）实数、、满足且，它们在数轴上的对应点的位置可以是　　

A． B． 

C． D．

5．（2分）（2019•南京）下列整数中，与最接近的是　　

A．4 B．5 C．6 D．7

6．（2分）（2019•南京）如图，△是由经过平移得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是　　

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）（2019•南京）的相反数是　 　，的倒数是　 　．

8．（2分）（2019•南京）计算的结果是　　．

9．（2分）（2019•南京）分解因式的结果是　　．

10．（2分）（2019•南京）已知是关于的方程的一个根，则　　．

11．（2分）（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：　　，．

12．（2分）（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　　．

13．（2分）（2019•南京）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是　　．

14．（2分）（2019•南京）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则　　．

15．（2分）（2019•南京）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分．若，，则的长　　．

16．（2分）（2019•南京）在中，，，，则的长的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）（2019•南京）化简：

18．（7分）（2019•南京）解方程：．

19．（7分）（2019•南京）如图，是的边的中点，，，与相交于点．求证：．

20．（8分）（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；

（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

21．（8分）（2019•南京）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　．

22．（7分）（2019•南京）如图，的弦、的延长线相交于点，且．求证：．

23．（8分）（2019•南京）已知一次函数为常数，和．

（1）当时，若，求的取值范围．

（2）当时，．结合图象，直接写出的取值范围．

24．（8分）（2019•南京）如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为．求隧道的长度．

（参考数据：，．

25．（8分）（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长，宽，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

26．（9分）（2019•南京）如图①，在中，，，．求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．

小明的作法

1．如图②，在边上取一点，过点作交于点．

2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．

3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．

27．（11分）（2019•南京）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，和，，用以下方式定义两点间距离：．

【数学理解】

（1）①已知点，则　　．

②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是　　．

（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点，使．

（3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．

【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

2019年江苏省南京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是　　

A． B． C． D．

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

【解答】解：

故选：．

2．（2分）计算的结果是　　

A． B． C． D．

【分析】根据积的乘方法则解答即可．

【解答】解：．

故选：．

3．（2分）面积为4的正方形的边长是　　

A．4的平方根 B．4的算术平方根 

C．4开平方的结果 D．4的立方根

【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；

【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；

故选：．

4．（2分）实数、、满足且，它们在数轴上的对应点的位置可以是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据不等式的性质，先判断的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．

【解答】解：因为且，

所以．

选项符合，条件，故满足条件的对应点位置可以是．

选项不满足，选项、不满足，故满足条件的对应点位置不可以是、、．

故选：．

5．（2分）下列整数中，与最接近的是　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】由于，可判断与4最接近，从而可判断与最接近的整数为6．

【解答】解：，

，

与最接近的是4，

与最接近的是6．

故选：．

6．（2分）如图，△是由经过平移得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是　　

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与△重合．

【解答】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转，即可得到△；

先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折，即可得到△；

故选：．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）的相反数是　2　，的倒数是　 　．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案．

【解答】解：的相反数是 2，的倒数是 2，

故答案为：2，2．

8．（2分）计算的结果是　0　．

【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．

【解答】解：原式．

故答案为0．

9．（2分）分解因式的结果是　　．

【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．

【解答】解：

．

故答案为：．

10．（2分）已知是关于的方程的一个根，则　1　．

【分析】把代入方程得到关于的方程，然后解关于的方程即可．

【解答】解：把代入方程得，

解得．

故答案为1．

11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：　　，．

【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

【解答】解：，

（同旁内角互补，两直线平）．

故答案为：．

12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　5　．

【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：

杯子内的筷子长度为：，

则筷子露在杯子外面的筷子长度为：．

故答案为：5．

13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是　7200　．

【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．

【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是（人，

故答案为：7200．

14．（2分）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则　　．

【分析】连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，于是得到结论．

【解答】解：连接，

、是的切线，

，

，

，

，

，

故答案为：．

15．（2分）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分．若，，则的长　　．

【分析】作于，由角平分线的性质得出，设，则，由线段垂直平分线得出，，得出，得出，，，，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．

【解答】解：作于，如图所示：

平分，

，

设，则，

是的垂直平分线，

，，

，

，

，

，，

由勾股定理得：，

即，

解得：，

；

故答案为：．

16．（2分）在中，，，，则的长的取值范围是　　．

【分析】作的外接圆，求出当时，是直径最长；当时，是等边三角形，，而，即可得出答案．

【解答】解：作的外接圆，如图所示：

，，

当时，是直径最长，

，

，

，，

，

；

当时，是等边三角形，，

，

长的取值范围是；

故答案为：．

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）化简：

【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，计算即可．

【解答】解：，

，

．

故答案为：．

18．（7分）解方程：．

【分析】方程两边都乘以最简公分母化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．

【解答】解：方程两边都乘以去分母得，

，

即，

解得

检验：当时，，

是原方程的解，

故原分式方程的解是．

19．（7分）如图，是的边的中点，，，与相交于点．求证：．

【分析】依据四边形是平行四边形，即可得出，依据，即可得出，，即可判定．

【解答】证明：，，

四边形是平行四边形，

，

是的中点，

，

，

，

，，

．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；

（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；

（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用来表示，计算公式是：

（可简单记忆为“方差等于差方的平均数” ．

【解答】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是

，，

方差分别是

，

，

，

该市这5天的日最低气温波动大；

（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．

21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　．

【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．

【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，

甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；

其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），

乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；

故答案为：．

22．（7分）如图，的弦、的延长线相交于点，且．求证：．

【分析】连接，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等角对等边证得结论．

【解答】证明：连接，

，

，

，即，

，

．

23．（8分）已知一次函数为常数，和．

（1）当时，若，求的取值范围．

（2）当时，．结合图象，直接写出的取值范围．

【分析】（1）解不等式即可；

（2）先计算出对应的的函数值，然后根据时，一次函数为常数，的图象在直线的上方确定的范围．

【解答】解：（1）时，，

根据题意得，

解得；

（2）当时，，把代入得，解得，

当时，；

当时，．

24．（8分）如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为．求隧道的长度．

（参考数据：，．

【分析】延长交于，利用正切的定义用表示出、，根据题意列式求出，计算即可．

【解答】解：延长交于，

则，

在中，，

，

在中，，

，

在中，，

，

由题意得，，

解得，，

，，

，

，

，

，

答：隧道的长度为．

25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长，宽，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

【分析】设扩充后广场的长为，宽为，根据矩形的面积公式和总价单价数量列出方程并解答．

【解答】解：设扩充后广场的长为，宽为，

依题意得：

解得，（舍去）．

所以，，

答：扩充后广场的长为，宽为．

26．（9分）如图①，在中，，，．求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．

小明的作法

1．如图②，在边上取一点，过点作交于点．

2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．

3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．

【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．

（2）求出几种特殊位置的的值判断即可．

【解答】（1）证明：，，

，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形．

（2）如图1中，当四边形是正方形时，设正方形的边长为．

在中，，，，

，

则，，

，

，

，

，

观察图象可知：时，菱形的个数为0．

如图2中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为．

，

，

，

解得，

，

如图3中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为．

，

，

，

，

，

，

观察图象可知：当或时，菱形的个数为0，当或时，菱形的个数为1，当时，菱形的个数为2．

27．（11分）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，和，，用以下方式定义两点间距离：．

【数学理解】

（1）①已知点，则　3　．

②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是　　．

（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点，使．

（3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．

【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

【分析】（1）①根据定义可求出；②由两点间距离：及点是函数的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点的坐标；

（2）由条件知，根据题意得，整理得，由△可证得该函数的图象上不存在点，使．

（3）根据条件可得，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；

（4）以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处，可由，，证明结论即可．

【解答】解：（1）①由题意得：；

②设，由定义两点间的距离可得：，

，

，

，

解得：，

，

故答案为：3，；

（2）假设函数的图象上存在点使，

根据题意，得，

，

，，

，

，

，

△，

方程没有实数根，

该函数的图象上不存在点，使．

（3）设，

根据题意得，，

，

又，

，，

当时，有最小值3，此时点的坐标是．

（4）如图，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处．

理由：设过点的直线与轴相交于点．在景观湖边界所在曲线上任取一点，过点作直线，与轴相交于点．

，

，，

同理，

，

，，，

上述方案修建的道路最短．