备战2022 中考数学 人教版 专题三 开放探索问题

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  专题三　开放探索问题题型一　条件开放探索【典例1】如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F.(1)求证：∠DBF＝2∠CAD；(2)连接OC，CD.探究：当∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，并且写出证明过程．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可知∠CAD＝∠CBD，要证明∠DBF＝2∠CAD，只要证明∠DBF＝2∠CBD即可，由∠DBC＝∠ABC，可知∠ABD＝2∠DBC，所以只要证明∠DBF＝∠ABD即可，由切线的性质和题意，可以得到∠ODB＝∠DBF，再根据OD＝OB，即可得到∠ODB＝∠OBD，然后即可得到∠DBF＝∠ABD，从而可以证明结论成立；(2)先写出∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，然后根据∠CAB的度数和菱形的判定，证明四边形COBD为菱形．【自主解答】(1)连接OD，∵DE为半圆O的切线，BF⊥DE，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∴OD∥BF，∴∠DBF＝∠ODB.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵∠DBC＝∠ABC，∴∠OBD＝2∠CBD.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠DBF＝2∠CAD.(2)当∠CAB＝60°时，四边形COBD为菱形．证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°.∵∠DBC＝∠ABC，∴∠ABD＝2∠ABC＝60°，∴∠DAB＝30°.∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝30°.∴∠DCB＝∠ABC，∴CD∥AB.∵∠COA＝2∠ABC，∴∠COA＝∠ABD，∴OC∥BD，∴四边形COBD是平行四边形．又∵OC＝OB，∴四边形COBD是菱形．1．常考题型：(1)补充条件型问题．(2)探索条件型问题．(3)条件变化型问题．2．解决方法：从所给的结论出发，设想出合乎要求的条件，利用所学的定理进行逻辑推理，从而确定满足结论的条件．如图所示，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【解析】(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC.即△OEC为等腰三角形；(2)当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．理由如下：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC.∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．题型二　结论开放探索【典例2】【问题情境】在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.【特例探究】如图1，当DM＝DN时，(1)∠MDB＝______度；(2)MN与BM，NC之间的数量关系为______；【归纳证明】如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．【拓展应用】△AMN的周长与△ABC的周长的比为______．【思路点拨】【特例探究】(1)先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，得∠BDM＝∠CDN＝30°；(2)由(1)得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM＋NC；【归纳证明】先证△DBM≌△DCE(HL)，得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN(SAS)，得MN＝NE，可得结论MN＝BM＋CN；【拓展应用】由(1)(2)得：MN＝BM＋NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．【自主解答】【特例探究】(1)∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN.∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°.∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，∴∠MDB＝∠NDC＝30°.答案：30(2)由(1)得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM＋NC，即MN＝BM＋NC；【归纳证明】猜想：MN＝BM＋NC，证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°.又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE(SAS)，∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC.∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB＋∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC＋∠EDC＝∠MDB＋∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN.又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN＝EN＝EC＋NC＝BM＋NC；【拓展应用】由(1)(2)得：MN＝BM＋NC，∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝2AB.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周长＝3AB，∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝.答案：1．常考题型：(1)判断结论是否成立．(2)通过已知条件猜想结论．2．解决方法：充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论．1．如图所示，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D(不与点A，C重合)处，折痕是EF.如图1，当CD＝AC时，tan α1＝；如图2，当CD＝AC时，tan α2＝；如图3，当CD＝AC时，tan α3＝；……依此类推，当CD＝AC(n为正整数)时，tan αn＝____．2.如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，以OA的长为半径作⊙O，交AB于点D，交OB于点E，过点B和点O分别作OA，AB的平行线，交于点C，连接CD.(1)若∠OAB＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积；(2)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【解析】(1)在Rt△OAB中，连接OD，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝60°，OA＝2，∴AB＝4，∠ABO＝30°，∴OB＝＝＝2，∴S△OAB＝×2×2＝2.∵OA＝OD，∠OAB＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，DO＝DA，∴∠DOE＝30°，∴∠ABO＝∠DOE，∴DB＝DO＝DA，∴S△ODB＝S△OAB＝，∴S扇形ODE＝＝，∴阴影部分面积为S△ODB－S扇形ODE＝－；(2)CD与⊙O相切．理由如下：∵AB∥OC，AO∥BC，∴四边形OABC是平行四边形，且∠COB＝∠ABO，∴AB＝OC.∵∠ADO＝∠ABO＋∠BOD，∠COD＝∠COB＋∠BOD，∴∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠A＝∠COD.在△ABO和△OCD中，∴△ABO≌△OCD(SAS)，∴∠ODC＝∠AOB＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．题型三　条件和结论双重开放【典例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E.(1)当∠BDA＝120°时，∠EDC＝______；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变____(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．【思路点拨】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；(2)当DC＝4时，利用∠DEC＋∠EDC＝130°，∠ADB＋∠EDC＝130°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝4，即可得出△ABD≌△DCE；(3)当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE是等腰三角形．【自主解答】(1)∵在△BAD中，∠B＝∠C＝50°，∠BDA＝120°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝180°－120°－50°＝10°.答案：10°　小(2)当DC＝4时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝50°，∴∠DEC＋∠EDC＝130°，又∵∠ADE＝50°，∴∠ADB＋∠EDC＝130°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝4，在△ABD和△DCE中，∠ADB＝∠DEC，∠B＝∠C，AB＝DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)，即当DC＝4时，△ABD≌△DCE.(3)当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA＝100°时，∴∠ADC＝80°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA＝115°时，∴∠ADC＝65°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝65°，∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝65°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形．1．常考题型：通过设置条件不完整和结论不确定的问题，考查推理能力和探究能力．2．解决方法：依据题目要求，通过观察、比较、分析、综合、抽象，结合所学定理探索需要添加的条件或得到的结论．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF∥CE交DE的延长线于点F.(1)判断四边形BCEF的形状；(2)当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．【解析】(1)∵DF垂直平分AC，∠ACB＝90°，∴DF∥BC，又∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形；(2)当∠A＝30°时，四边形BCEF是菱形．理由：∵DF垂直平分AC，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴EA＝EC，∠ABC＝90°－30°＝60°，∴∠ACE＝∠A＝30°，即∠BCE＝90°－30°＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝EC，由(1)得四边形BCEF是平行四边形，∴四边形BCEF是菱形．2．如图所示，已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0).设点M的坐标为(0，m)，其中m＜6，以M为圆心，MC为半径作圆．(1)当m＝0时，⊙M与直线AB的位置关系是____；当m＝3时，⊙M与直线AB的位置关系是____；(2)当⊙M与直线AB相切时，m的值为____；(3)直接写出m在什么范围内取值时，⊙M与直线AB相交、相离．【解析】(1)当m＝0时，⊙M与直线AB的位置关系是相离；当m＝3时，⊙M与直线AB的位置关系是相交；(2)设⊙M与AB相切于点N，连接MN，MB，MC，则MN⊥AB，在Rt△ABO中，AB2＝OA2＋OB2，AB＝＝3.在△AMB中，S△AMB＝AB·MN＝AM·OB，∴MN＝＝＝.在Rt△OMC中，MC2＝OM2＋OC2，MC2＝m2＋4，∵MN，MC均为⊙M的半径，∴MN＝MC，即＝m2＋4，解得m＝1或－4.经检验m＝1或－4均符合题意．答案：1或－4(3)当1<m<6或m＜－4时相交；当－4＜m＜1时相离．