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2019-2020学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
2．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
3．（5分）下列直线中与直线2x+y+1＝0垂直的一条是（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x+2y﹣1＝0 D．x+y+1＝0
4．（5分）如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
5．（5分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x﹣y﹣3＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．2x﹣y﹣5＝0
6．（5分）已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
7．（5分）为了得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y＝2x上所有点（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
8．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
其中假命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．③④
9．（5分）若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（ ）
A．2π B． C． D．
11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．（5分）定义在R上的奇函数满足f（x+1）＝﹣f（1﹣x），当x∈（0，1）时，f（x）＝（1﹣x），则f（x）在（1，2）上（ ）
A．是减函数，且f（x）＞0 B．是增函数，且f（x）＜0
C．是减函数，且f（x）＜0 D．是增函数，且f（x）＞0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接答在答题卡上.
13．（5分）函数f（x）＝loga（x+1）+3恒过的定点坐标是 ．
14．（5分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3＝0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2＝0互相垂直，则k＝ ．
15．（5分）已知正方体外接球的体积是，那么此正方体的棱长等于 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝|x+1|+ax（x∈R），若函数f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|x≥a}．
（1）若a＝3，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
18．（12分）计算：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg50．
19．（12分）求过点P（2，3）且分别满足下列条件的直线方程．
（1）在两个坐标轴上的截距相等．
（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（1）求证：PD⊥平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
22．（12分）设函数y＝f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）＝﹣1．
（1）求f（1），f（）的值；
（2）证明：f（x）在R+上是减函数；
（3）如果不等式分f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围．
2019-2020学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
【分析】由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，
∴∁UB＝{x|x≤1}，
则A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}，
故选：B．
2．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
【解答】解：因为f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，
故选：C．
3．（5分）下列直线中与直线2x+y+1＝0垂直的一条是（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x+2y﹣1＝0 D．x+y+1＝0
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵直线2x+y+1＝0的斜率为k＝﹣2，
∴与直线2x+y+1＝0垂直的斜率k′＝，
∴与直线2x+y+1＝0垂直的直线为x﹣2y﹣1＝0．
故选：B．
4．（5分）如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
【分析】三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项．
【解答】解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱；
（2）三视图复原的几何体是四棱锥；（
3）三视图复原的几何体是圆锥；
（4）三视图复原的几何体是圆台．
所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．
故选：C．
5．（5分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x﹣y﹣3＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．2x﹣y﹣5＝0
【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k＝1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．
【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2＝25的弦，圆心为C（1，0）
∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，AB的斜率k＝＝＝1
可得直线AB的方程是y+1＝x﹣2，化简得x﹣y﹣3＝0
故选：A．
6．（5分）已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【分析】由0＜a＝0.32＜0.30＝1，b＝log20.3＜log21＝0，c＝20.3＞20＝1，能比较a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵0＜a＝0.32＜0.30＝1，
b＝log20.3＜log21＝0，
c＝20.3＞20＝1，
∴c＞a＞b．
故选：D．
7．（5分）为了得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y＝2x上所有点（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【分析】函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．
【解答】解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．
把函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象
故选：A．
8．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
其中假命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．③④
【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的性质分别进行判断即可．
【解答】解：①若m∥l，n∥l，则根据公理4可知m∥n成立；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β成立；
③若m∥α，n∥α，则m∥n不一定成立；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误；
故③④是假命题．
故选：D．
9．（5分）若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分段函数是R上的减函数，可得各段上函数均为减函数，且在分界点x＝1处，前一段的函数值不小于后一段的函数值．
【解答】解：若函数是R上的减函数，
则，解得a∈
故选：C．
10．（5分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（ ）
A．2π B． C． D．
【分析】由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．
【解答】解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，
圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．
设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，
解得x＝±2，因为x＞0，所以x＝﹣2舍去，x＝2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，
圆柱体积＝Sh＝h＝π×12×2＝2π，圆锥体积＝π
所以整个几何体的体积为．
故选：D．
11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E∥B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小
【解答】解：如图：连接B1G，EG
∵E，G分别是DD1，CC1的中点，
∴A1B1∥EG，A1B1＝EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形
∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角
在三角形B1GF中，B1G＝＝＝
FG＝＝＝
B1F＝＝＝
∵B1G2+FG2＝B1F2
∴∠B1GF＝90°
∴异面直线A1E与GF所成角为90°
故选：D．
12．（5分）定义在R上的奇函数满足f（x+1）＝﹣f（1﹣x），当x∈（0，1）时，f（x）＝（1﹣x），则f（x）在（1，2）上（ ）
A．是减函数，且f（x）＞0 B．是增函数，且f（x）＜0
C．是减函数，且f（x）＜0 D．是增函数，且f（x）＞0
【分析】根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性，奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解；∵定义在R上的奇函数满足f（x+1）＝﹣f（1﹣x），
∴f（x+1）＝﹣f（1﹣x）＝f（x﹣1），
即f（x+2）＝f（x），
即函数的周期是2．
则f（x）在（1，2）上图象和在（﹣1，0）上的图象相同，
∵当x∈（0，1）时，f（x）＝（1﹣x），
∴此时f（x）单调递增，且f（x）＞0，
∵f（x）是奇函数，
∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）单调递增，且f（x）＜0，
即当x∈（1，2）时，f（x）单调递增，且f（x）＜0，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接答在答题卡上.
13．（5分）函数f（x）＝loga（x+1）+3恒过的定点坐标是 （0，3） ．
【分析】令x+1＝1，求出x的值以及此时y的值，即可得到函数f（x）恒过的定点坐标．
【解答】解：函数f（x）＝loga（x+1）+3，
令x+1＝1得：x＝0，此时y＝loga1+3＝3，
所以函数f（x）恒过的定点坐标是（0，3）．
故答案为：（0，3）．
14．（5分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3＝0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2＝0互相垂直，则k＝ 1或﹣3 ．
【分析】由题意利用两条直线垂直的条件，求得k的值．
【解答】解：当k＝1时，直线l1的斜率不存在，l2：5y﹣2＝0，斜率为0，满足两直线l1和 l2垂直．
当k＝﹣时，直线l1：﹣x+y﹣3＝0 l2：﹣x﹣2＝0，两直线l1和 l2不垂直．
挡k≠1，且 k≠﹣时，直线l1和 l2的斜率都存在，
根据它们的斜率之积为 •＝﹣1，求得k＝1，或k＝﹣3．
综上，当k＝1，或k＝﹣3时，两直线l1和 l2垂直，
故答案为：1 或﹣3．
15．（5分）已知正方体外接球的体积是，那么此正方体的棱长等于 ．
【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．
【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R＝2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，
故答案为．
16．（5分）已知函数f（x）＝|x+1|+ax（x∈R），若函数f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是 （0，1） ．
【分析】函数f（x）存在两个零点，等价于函数y＝|x+1|与函数y＝﹣ax的图象有两个交点，作出图象，结合图象解得a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）存在两个零点，
等价于函数y＝|x+1|与函数y＝﹣ax的图象有两个交点，
作出函数y＝|x+1||与函数y＝﹣ax的图象如下，
结合图象可知，﹣1＜﹣a＜0，
∴a的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|x≥a}．
（1）若a＝3，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）a＝3时，B＝{x|x≥3}，然后进行交集的运算即可；
（2）根据A⊆B即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A＝{x|2≤x≤6}，a＝3时，B＝{x|x≥3}，
∴A∩B＝[3，6]；
（2）∵A⊆B，且B＝{x|x≥a}，
∴a≤2，
∴a的取值范围为：（﹣∞，2]．
18．（12分）计算：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg50．
【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解即可．
（2）利用对数的运算性质展开lg50，化为平方和公式，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝．
（2）（lg5）2+lg2×lg50
＝（lg5）2+lg2×lg（25×2）
＝（lg5）2+lg2×（2lg5+lg2）
＝（lg5）2+2lg2×lg5+（lg2）2
＝（lg2+lg5）2
＝1
19．（12分）求过点P（2，3）且分别满足下列条件的直线方程．
（1）在两个坐标轴上的截距相等．
（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12．
【分析】（1）根据题意，按直线是否经过原点两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案，
（2）根据题意，设要求直线的方程为+＝1，则有，解可得a、b的值，代入直线的方程，变形可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2种情况讨论，
若直线经过原点，其方程为3x﹣2y＝0，
若直线不经过原点，设其方程为+＝1，将（2，3）代入可得：+＝1，则a＝5，
此时直线的方程为x+y＝5，
故要求直线的方程为3x﹣2y＝0或x+y＝5；
（2）根据题意，要求直线与两个坐标轴的正半轴相交，设其方程为+＝1，（a＞0，b＞0）
则有，解可得，
则直线的方程为+＝1，即3x+2y﹣12＝0．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（1）求证：PD⊥平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（1）证明：AD⊥PD．推出PD⊥BC，结合PD⊥PB，即可证明PD⊥平面PBC．
（2）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．在Rt△DCF中，在Rt△DPF中，求解直线AB与平面PBC所成的角的正弦值即可．
【解答】（理数）（1）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，而PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
（2）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB．故BF＝AD＝1．由已知得，CF＝BC＝BF＝2．
又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得，
在Rt△DPF中，可得．
所以，直线AB与平面PBC所成的角的正弦值为．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【分析】（Ⅰ）由题意有圆心坐标为C（3，t），根据半径为1，求出t；
（Ⅱ）由OA⊥OB，则 x1x2+y1y2＝0，则方程联立，韦达定理代入求出a的值；
【解答】解（Ⅰ）曲线y＝x2﹣6x+1与y轴交于点（0，1），与x轴交于点和，
因而圆心坐标为C（3，t），则有，得t＝1．
半径为，所以圆方程是（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9；．
（Ⅱ）：设点A （x1，y1），B （x2，y2）满足
解得：2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1＝0 （*），（△＝56﹣16a﹣4a2＞0）
则x1，x2 是方程（*）的两个实根；
∴x1+x2＝4﹣a，；
∵OA⊥OB，则 x1x2+y1y2＝0；
又y1＝x1+a，y2＝x2+a
∵；即 a2﹣2a+1+a（4﹣a）+a2＝0
解得：a＝﹣1 且满足△＞0；
故a＝﹣1．
22．（12分）设函数y＝f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）＝﹣1．
（1）求f（1），f（）的值；
（2）证明：f（x）在R+上是减函数；
（3）如果不等式分f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围．
【分析】（1）求f（1），f（）的值只需令x＝y＝1代入f（xy）＝f（x）+f（y）即可求得f（1）；同理求出f（9），令x＝9，xy＝1，代入等式即可求得答案；
（2）证明f（x）在R+是减函数；取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根据关系式f（xy）＝f（x）+f（y），证明f（x1）＞f（x2）即可；
（3）由（1）的结果可将不等式f（x）+f（2﹣x）＜2转化成f[x（2﹣x）]＜f（），再根据单调性，列出不等式，解出取值范围即可．
【解答】解：（1）令x＝y＝1得f（1）＝f（1）+f（1），则f（1）＝0，
而f（9）＝f（3）+f（3）＝﹣1﹣1＝﹣2，
且f（9）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝2；
（2）取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2
f（x2）﹣f（x1）＝f（x1•）﹣f（x1）＝f（x1）+f（）﹣f（x1）＝f（）＜0
∴f（x）在R+上为减函数．
（3）由条件①及（1）的结果得：f[x（2﹣x）]＜f（），其中0＜x＜2，
由可（2）得：，解得x的范围是（1﹣，1+）．
2019-2020学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
2．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
3．（5分）下列直线中与直线2x+y+1＝0垂直的一条是（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x+2y﹣1＝0 D．x+y+1＝0
4．（5分）如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
5．（5分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x﹣y﹣3＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．2x﹣y﹣5＝0
6．（5分）已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
7．（5分）为了得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y＝2x上所有点（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
8．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
其中假命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．③④
9．（5分）若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（ ）
A．2π B． C． D．
11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．（5分）定义在R上的奇函数满足f（x+1）＝﹣f（1﹣x），当x∈（0，1）时，f（x）＝（1﹣x），则f（x）在（1，2）上（ ）
A．是减函数，且f（x）＞0 B．是增函数，且f（x）＜0
C．是减函数，且f（x）＜0 D．是增函数，且f（x）＞0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接答在答题卡上.
13．（5分）函数f（x）＝loga（x+1）+3恒过的定点坐标是 ．
14．（5分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3＝0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2＝0互相垂直，则k＝ ．
15．（5分）已知正方体外接球的体积是，那么此正方体的棱长等于 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝|x+1|+ax（x∈R），若函数f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|x≥a}．
（1）若a＝3，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
18．（12分）计算：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg50．
19．（12分）求过点P（2，3）且分别满足下列条件的直线方程．
（1）在两个坐标轴上的截距相等．
（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（1）求证：PD⊥平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
22．（12分）设函数y＝f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）＝﹣1．
（1）求f（1），f（）的值；
（2）证明：f（x）在R+上是减函数；
（3）如果不等式分f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围．
2019-2020学年甘肃省张掖市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
【分析】由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：∵全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，
∴∁UB＝{x|x≤1}，
则A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}，
故选：B．
2．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
【解答】解：因为f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，
故选：C．
3．（5分）下列直线中与直线2x+y+1＝0垂直的一条是（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x+2y﹣1＝0 D．x+y+1＝0
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵直线2x+y+1＝0的斜率为k＝﹣2，
∴与直线2x+y+1＝0垂直的斜率k′＝，
∴与直线2x+y+1＝0垂直的直线为x﹣2y﹣1＝0．
故选：B．
4．（5分）如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）
A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
【分析】三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项．
【解答】解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱；
（2）三视图复原的几何体是四棱锥；（
3）三视图复原的几何体是圆锥；
（4）三视图复原的几何体是圆台．
所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台．
故选：C．
5．（5分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x﹣y﹣3＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．2x﹣y﹣5＝0
【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k＝1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．
【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2＝25的弦，圆心为C（1，0）
∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，AB的斜率k＝＝＝1
可得直线AB的方程是y+1＝x﹣2，化简得x﹣y﹣3＝0
故选：A．
6．（5分）已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【分析】由0＜a＝0.32＜0.30＝1，b＝log20.3＜log21＝0，c＝20.3＞20＝1，能比较a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵0＜a＝0.32＜0.30＝1，
b＝log20.3＜log21＝0，
c＝20.3＞20＝1，
∴c＞a＞b．
故选：D．
7．（5分）为了得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y＝2x上所有点（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【分析】函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．
【解答】解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．
把函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y＝2x﹣3﹣1的图象
故选：A．
8．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
其中假命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．③④
【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的性质分别进行判断即可．
【解答】解：①若m∥l，n∥l，则根据公理4可知m∥n成立；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β成立；
③若m∥α，n∥α，则m∥n不一定成立；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误；
故③④是假命题．
故选：D．
9．（5分）若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分段函数是R上的减函数，可得各段上函数均为减函数，且在分界点x＝1处，前一段的函数值不小于后一段的函数值．
【解答】解：若函数是R上的减函数，
则，解得a∈
故选：C．
10．（5分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（ ）
A．2π B． C． D．
【分析】由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．
【解答】解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，
圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．
设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，
解得x＝±2，因为x＞0，所以x＝﹣2舍去，x＝2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，
圆柱体积＝Sh＝h＝π×12×2＝2π，圆锥体积＝π
所以整个几何体的体积为．
故选：D．
11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E∥B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小
【解答】解：如图：连接B1G，EG
∵E，G分别是DD1，CC1的中点，
∴A1B1∥EG，A1B1＝EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形
∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角
在三角形B1GF中，B1G＝＝＝
FG＝＝＝
B1F＝＝＝
∵B1G2+FG2＝B1F2
∴∠B1GF＝90°
∴异面直线A1E与GF所成角为90°
故选：D．
12．（5分）定义在R上的奇函数满足f（x+1）＝﹣f（1﹣x），当x∈（0，1）时，f（x）＝（1﹣x），则f（x）在（1，2）上（ ）
A．是减函数，且f（x）＞0 B．是增函数，且f（x）＜0
C．是减函数，且f（x）＜0 D．是增函数，且f（x）＞0
【分析】根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性，奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解；∵定义在R上的奇函数满足f（x+1）＝﹣f（1﹣x），
∴f（x+1）＝﹣f（1﹣x）＝f（x﹣1），
即f（x+2）＝f（x），
即函数的周期是2．
则f（x）在（1，2）上图象和在（﹣1，0）上的图象相同，
∵当x∈（0，1）时，f（x）＝（1﹣x），
∴此时f（x）单调递增，且f（x）＞0，
∵f（x）是奇函数，
∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）单调递增，且f（x）＜0，
即当x∈（1，2）时，f（x）单调递增，且f（x）＜0，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接答在答题卡上.
13．（5分）函数f（x）＝loga（x+1）+3恒过的定点坐标是 （0，3） ．
【分析】令x+1＝1，求出x的值以及此时y的值，即可得到函数f（x）恒过的定点坐标．
【解答】解：函数f（x）＝loga（x+1）+3，
令x+1＝1得：x＝0，此时y＝loga1+3＝3，
所以函数f（x）恒过的定点坐标是（0，3）．
故答案为：（0，3）．
14．（5分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3＝0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2＝0互相垂直，则k＝ 1或﹣3 ．
【分析】由题意利用两条直线垂直的条件，求得k的值．
【解答】解：当k＝1时，直线l1的斜率不存在，l2：5y﹣2＝0，斜率为0，满足两直线l1和 l2垂直．
当k＝﹣时，直线l1：﹣x+y﹣3＝0 l2：﹣x﹣2＝0，两直线l1和 l2不垂直．
挡k≠1，且 k≠﹣时，直线l1和 l2的斜率都存在，
根据它们的斜率之积为 •＝﹣1，求得k＝1，或k＝﹣3．
综上，当k＝1，或k＝﹣3时，两直线l1和 l2垂直，
故答案为：1 或﹣3．
15．（5分）已知正方体外接球的体积是，那么此正方体的棱长等于 ．
【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．
【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R＝2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，
故答案为．
16．（5分）已知函数f（x）＝|x+1|+ax（x∈R），若函数f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是 （0，1） ．
【分析】函数f（x）存在两个零点，等价于函数y＝|x+1|与函数y＝﹣ax的图象有两个交点，作出图象，结合图象解得a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）存在两个零点，
等价于函数y＝|x+1|与函数y＝﹣ax的图象有两个交点，
作出函数y＝|x+1||与函数y＝﹣ax的图象如下，
结合图象可知，﹣1＜﹣a＜0，
∴a的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|x≥a}．
（1）若a＝3，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）a＝3时，B＝{x|x≥3}，然后进行交集的运算即可；
（2）根据A⊆B即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A＝{x|2≤x≤6}，a＝3时，B＝{x|x≥3}，
∴A∩B＝[3，6]；
（2）∵A⊆B，且B＝{x|x≥a}，
∴a≤2，
∴a的取值范围为：（﹣∞，2]．
18．（12分）计算：
（1）；
（2）（lg5）2+lg2×lg50．
【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解即可．
（2）利用对数的运算性质展开lg50，化为平方和公式，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝．
（2）（lg5）2+lg2×lg50
＝（lg5）2+lg2×lg（25×2）
＝（lg5）2+lg2×（2lg5+lg2）
＝（lg5）2+2lg2×lg5+（lg2）2
＝（lg2+lg5）2
＝1
19．（12分）求过点P（2，3）且分别满足下列条件的直线方程．
（1）在两个坐标轴上的截距相等．
（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12．
【分析】（1）根据题意，按直线是否经过原点两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案，
（2）根据题意，设要求直线的方程为+＝1，则有，解可得a、b的值，代入直线的方程，变形可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2种情况讨论，
若直线经过原点，其方程为3x﹣2y＝0，
若直线不经过原点，设其方程为+＝1，将（2，3）代入可得：+＝1，则a＝5，
此时直线的方程为x+y＝5，
故要求直线的方程为3x﹣2y＝0或x+y＝5；
（2）根据题意，要求直线与两个坐标轴的正半轴相交，设其方程为+＝1，（a＞0，b＞0）
则有，解可得，
则直线的方程为+＝1，即3x+2y﹣12＝0．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（1）求证：PD⊥平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（1）证明：AD⊥PD．推出PD⊥BC，结合PD⊥PB，即可证明PD⊥平面PBC．
（2）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．在Rt△DCF中，在Rt△DPF中，求解直线AB与平面PBC所成的角的正弦值即可．
【解答】（理数）（1）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，而PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
（2）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB．故BF＝AD＝1．由已知得，CF＝BC＝BF＝2．
又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得，
在Rt△DPF中，可得．
所以，直线AB与平面PBC所成的角的正弦值为．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
【分析】（Ⅰ）由题意有圆心坐标为C（3，t），根据半径为1，求出t；
（Ⅱ）由OA⊥OB，则 x1x2+y1y2＝0，则方程联立，韦达定理代入求出a的值；
【解答】解（Ⅰ）曲线y＝x2﹣6x+1与y轴交于点（0，1），与x轴交于点和，
因而圆心坐标为C（3，t），则有，得t＝1．
半径为，所以圆方程是（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9；．
（Ⅱ）：设点A （x1，y1），B （x2，y2）满足
解得：2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1＝0 （*），（△＝56﹣16a﹣4a2＞0）
则x1，x2 是方程（*）的两个实根；
∴x1+x2＝4﹣a，；
∵OA⊥OB，则 x1x2+y1y2＝0；
又y1＝x1+a，y2＝x2+a
∵；即 a2﹣2a+1+a（4﹣a）+a2＝0
解得：a＝﹣1 且满足△＞0；
故a＝﹣1．
22．（12分）设函数y＝f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）＝﹣1．
（1）求f（1），f（）的值；
（2）证明：f（x）在R+上是减函数；
（3）如果不等式分f（x）+f（2﹣x）＜2成立，求x的取值范围．
【分析】（1）求f（1），f（）的值只需令x＝y＝1代入f（xy）＝f（x）+f（y）即可求得f（1）；同理求出f（9），令x＝9，xy＝1，代入等式即可求得答案；
（2）证明f（x）在R+是减函数；取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根据关系式f（xy）＝f（x）+f（y），证明f（x1）＞f（x2）即可；
（3）由（1）的结果可将不等式f（x）+f（2﹣x）＜2转化成f[x（2﹣x）]＜f（），再根据单调性，列出不等式，解出取值范围即可．
【解答】解：（1）令x＝y＝1得f（1）＝f（1）+f（1），则f（1）＝0，
而f（9）＝f（3）+f（3）＝﹣1﹣1＝﹣2，
且f（9）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝2；
（2）取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2
f（x2）﹣f（x1）＝f（x1•）﹣f（x1）＝f（x1）+f（）﹣f（x1）＝f（）＜0
∴f（x）在R+上为减函数．
（3）由条件①及（1）的结果得：f[x（2﹣x）]＜f（），其中0＜x＜2，
由可（2）得：，解得x的范围是（1﹣，1+）．
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