2020-2021学年湖南省永州高二（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省永州高二（下）4月月考数学试卷人教A版，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A=y|y=lg4x,x>16， B=x|y=x14，则∁RA∩B=( )
A.(−∞,2]B.[2,+∞)C.0,2D.0,2

2. 命题“∀x∈R，x3+sinx≥0”的否定是( )
A.∃x∈R，x3+sinx≥0B.∀x∈R，x3+sinx1，则lgaab>2
C.若b>a>0，则b21+a>a21+b
D.若xx−20,0lgaa2=2，B正确；
C．由b>a>0，有1+b>1+a>0，b2>a2>0，11+a>11+b>0，所以b21+a>a21+b，C正确；
D．由xx−20得x∈0,e，∴ fx在0,e上单调递增，
f′x=1−2lnx2x30，f1e=−e22+10，得an−a1=12，
∴ an是公差为12，首项为12的等差数列，
∴ an=n2n∈N∗.
(2)bn=an+1⋅4an+12即bn=n+1⋅2n，
Tn=2×2+3⋅22+4×23+⋯+n+1⋅2n，
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+1⋅2n+1，
两式相减得：−Tn=4+22+23+⋯+2n−(n+1)×2n+1
=4+4(1−2n−1)1−2−(n+1)×2n+1
=4−4+2n+1−(n+1)×2n+1
=−n⋅2n+1，
故Tn=n⋅2n+1.
【答案】
(1)证明：∵ AD⊥AB，AD=AB=2，
∴ BD=AB2+AD2=22，
且△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=∠ADB=45∘.
∵ 平面ABCD中，AD//BC，
∴ ∠DBC=∠ADB=45∘，
∵ BD=CD，
∴ ∠DBC=∠DCB=45∘，
∴ ∠BDC=90∘，即BD⊥CD.
∵ FD⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴ CD⊥DF.
∵ BD，DF是平面BDF内的相交直线，
∴ CD⊥平面BDF，
∵ BF⊂平面BDF，
∴ CD⊥BF.
(2)解：如图，以A点为坐标原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，AF为z轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，B2,0,0 ，C2,4,0，E0,0,22，G0,0,2，
所以GC→=2,4,−2，BC→=0,4,0，BE→=−2,0,22，
设平面CBEF的一个法向量为n→=(x,y,z)，
由n→⋅BC→=0，n→⋅BE→=0，得4y=0，−2x+22z=0，
可取n→=2,0,1
设直线CG与平面CBEF所成角为θ，则
sinθ=cs⟨CG→,n→⟩=CG→⋅n→CG→⋅n→=222⋅3=3333，
即直线CG与平面CBEF所成角的正弦值是3333.
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ AD⊥AB，AD=AB=2，
∴ BD=AB2+AD2=22，
且△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=∠ADB=45∘.
∵ 平面ABCD中，AD//BC，
∴ ∠DBC=∠ADB=45∘，
∵ BD=CD，
∴ ∠DBC=∠DCB=45∘，
∴ ∠BDC=90∘，即BD⊥CD.
∵ FD⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴ CD⊥DF.
∵ BD，DF是平面BDF内的相交直线，
∴ CD⊥平面BDF，
∵ BF⊂平面BDF，
∴ CD⊥BF.
(2)解：如图，以A点为坐标原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，AF为z轴建立空间直角坐标系，
则A0,0,0，B2,0,0 ，C2,4,0，E0,0,22，G0,0,2，
所以GC→=2,4,−2，BC→=0,4,0，BE→=−2,0,22，
设平面CBEF的一个法向量为n→=(x,y,z)，
由n→⋅BC→=0，n→⋅BE→=0，得4y=0，−2x+22z=0，
可取n→=2,0,1
设直线CG与平面CBEF所成角为θ，则
sinθ=cs⟨CG→,n→⟩=CG→⋅n→CG→⋅n→=222⋅3=3333，
即直线CG与平面CBEF所成角的正弦值是3333.
【答案】
解：(1)补全的列联表如下：
K2=600×300×60−180×602480×120×360×240=6.25>5.024，
即有97.5%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
(2)由(1)可知
既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的概率为60600×100%=10%，
即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻人”的概率为0.1，
随机变量X可取0，1，2，3，4，且X∼B4,0.1
PX=0=C400.94=0.6561，
PX=1=C410.11⋅0.93=0.2916，
PX=2=C420.12⋅0.92=0.0486，
PX=3=，
PX=4=C440.14=0.0001，
X的分布列为
X的数学期望为E(X)=4×0.1=0.4.
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)补全的列联表如下：
K2=600×300×60−180×602480×120×360×240=6.25>5.024，
即有97.5%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
(2)由(1)可知
既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的概率为60600×100%=10%，
即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻人”的概率为0.1，
随机变量X可取0，1，2，3，4，且X∼B4,0.1
PX=0=C400.94=0.6561，
PX=1=C410.11⋅0.93=0.2916，
PX=2=C420.12⋅0.92=0.0486，
PX=3=，
PX=4=C440.14=0.0001，
X的分布列为
X的数学期望为E(X)=4×0.1=0.4.
【答案】
解：(1)由已知a=3b,9a2−1b2=1,c2=a2+b2,
∴ a2=6,b2=2,
∴ x26−y22=1.
(2)设直线l的方程为y=k+4，Mx1,y1，Nx2,y2，
直线DM的方程为y−1=y1−1x1−3(x−3)，可得P0,1−3y1−1x1−3，
直线DN的方程为y−1=y2−1x2−3x−3，可得Q0,1−3y2−1x2−3
联立y=k+4，x26−y22=1，消去y，整理得(1−3k2)x2−24kx−54=0．
Δ=242k2+4×1−3k2×54>0，x1+x2=24k1−3k2