上海市南洋模范中学2021-2022学年高二上学期初态考数学试题

南模中学高二初态考数学试卷

一､填空题（本大题共有12题，满分54分）

1. 已知复数满足(i为虚数单位)，则____.

【答案】1

2. 已知，则__________．

【答案】2

3. 若关于的方程有负实根，则实数的取值范围是___________

【答案】

4. 若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是___________

【答案】相交或异面

5. 已知向量，，则________．

【答案】

6. 空间不共线的四点，可能确定___________个平面．

【答案】或

7. 已知可表示为（，）的形式，则______.

【答案】

8. 将替换为复数，以下关于向量模的性质类比到复数中：

①类比为；

②类比为；

③类比为；

④，类比为.

复数结论仍成立的序号是___________

【答案】②③##③②

9. 设为奇函数，且在内是严格减函数，，则解集为___________

【答案】

10. 设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________

【答案】

11. 设，，，且，则在上的投影的取值范围是       .

【答案】

12. 已知函数，若函数在区间内恰好有奇数个零点，则实数k的所有取值之和为__________．

【答案】

二､选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.

13. 设全集，实数集为，纯虚数集为，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

14. 正方体上点、、、是其所在棱的中点，则直线与异面的图形是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

15. 已知是边长为2等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

16. 设函数，其中､是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法：

①一定有；

②若，则；

③一定有；

④若，则；

其中正确的说法是（    ）

A. ①④ B. ③④ C. ②③ D. ①②

【答案】C

三､解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 已知关于的实系数一元二次方程的两根为､.

（1）若､为虚数，，且，求和的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），；（2）或2.

18. 已知函数，周期是．

（1）求解析式，以及时的值域；

（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若成立的充分条件是，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

19. 某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域沿边界围成一个封闭的留观区.经测量，边界与的长度都是米，，.

（1）若，求的长（结果精确到米）；

（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.

【答案】（1）米；（2）米.

20. 对于函数，若存在实数，使得为上奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”.

（1）判断函数和是否为位差奇函数？说明理由；

（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；

（3）若对任意属于区间中的都不是位差奇函数，求实数、满足的条件.

【答案】（1）是位差奇函数，详见解析不是位差奇函数；（2），；（3），.

21. 已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为.

（1）若，，，求的值；

（2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；

（3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.

【答案】（1）、、；（2）的最大值为，可取，；（3）充分不必要条件，证明见解析.