精品解析：【区级联考】江苏省南京市溧水区2020届九年级上学期期中考试数学试题（解析版）

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江苏省南京市溧水区九年级上学期
期中考试数学试题
一、选择题
1. 从单词“lishui”中随机抽取一个字母，抽中字母i的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由单词“lishui”中有两个i，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵单词“lishui”中有两个i，
∴抽中i的概率为： ．
故选A．
【】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2. 已知⊙O的半径为1cm，若点P到圆心O的距离为0.5 cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）

A. 点P在⊙O外 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O内 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．
【详解】解：由⊙O的半径为1cm，点P到圆心O的距离为0.5cm，得d 则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选C．
【】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
3. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（　　）
A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 极差
【答案】C
【解析】
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，
第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选C．
【】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键．
4. 若点A（－1，a），B（2，b），C（3，c）在抛物线y＝x2上，则下列结论正确的是 （ ）
A. a＜c＜b B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. a＜b＜c
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
解：由抛物线y=x2可知对称轴为y轴，
∵抛物线开口向上，|﹣1|＜|2|＜|3|，
∴a＜b＜c．
故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
5. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）

A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】如图：

EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
【】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与直线y=1的交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式ax2+bx+c-1>0的解集为（     ）

A. x>1 B. 13 D. x>3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数y= ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标即可得到不等式ax2+bx+c-1＞0的解集．
【详解】根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标为（1，1），（3，1），
而ax2+bx+c-1＞0，即y＞1，
故x＜1或x＞3．
故选C．
【】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当y＞1时，利用图象得出不等式解集是解题关键．
二、填空题
7. 一组数据1，6，3，-4，5的极差是_________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据极差的定义即可求得．
【详解】解：由题意可知，极差为6-(-4)=10．
故答案为10．
【】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.
8. 抛物线的顶点坐标是________．
【答案】（-3，1）
【解析】
【分析】由二次函数的顶点式方程y=a（x-k）2+h的顶点坐标是（k，h）即可得出答案.
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（-3，1）.
故答案（-3，1）.
【】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x-k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．
9. 已知圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，它的侧面积为________ cm2．
【答案】48π
【解析】
【详解】试题分析：根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可．
解：圆锥母线长=8cm，底面半径r=6cm，
则圆锥的侧面积为S=πrl=π×6×8=48πcm2．
故答案为48π．
考点：圆锥的计算．
10. 已知抛物线y＝ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1＝_____．
【答案】﹣3．
【解析】
【分析】将点（﹣2，4）代入y＝ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的值即可．
【详解】把点（﹣2，4）代入y＝ax2﹣3x+c，得
4a+6+c＝4，
∴4a+c＝﹣2，
∴4a+c﹣1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，已知点在函数图象上，将点代入解析式即可．
11. 一组数据1、2、3、4、5的方差为S12，另一组数据6、7、8、9、10的方差为S22，那么S12_______________ S22（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】=
【解析】
【详解】分析：根据方差公式分别计算出这两组数据的方差，比较即可解答.
详解：
数据1、2、3、4、5的平均数为3，方差S12= ；
数据6、7、8、9、10的平均数为8，方差S22= ；
∴S12=S22.
故答案为=.
：：本题考查了方差、平均数等知识，解题的关键是利用方差公式计算出这两组数据的方差．
12. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=BC，∠D=72°，则∠BAC＝_______°．

【答案】36
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B=180°-∠D=108°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=×（180°-∠B）=×（180°-108°）=36°，
故答案为36．
【】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为____（度）．

【答案】55
【解析】
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可得解.
【详解】连接OA，OB，

∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°．
∴．
∴∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠C=∠AOB=55°．
14. 如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．

【答案】
【解析】
【详解】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，

∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2，
故答案为2．
：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15. 已知抛物线，当1≤x ≤5时，y的最大值是________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据当a=＜0，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减少.
【详解】解：的对称轴为x=0,且开口向下，则
当x>0时，y随x的增大而减少，
∵1≤x ≤5，
∴当x=1时，y最大值=，
故答案为.
【】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．

【答案】3或
【解析】
【详解】【分析】分两种情况：与直线CD相切、与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.
【详解】如图1中，当与直线CD相切时，设，

在中，，
，
，
，；
如图2中当与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，

，
，，
在中，，
综上所述，BP的长为3或．
【】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．
三、解答题
17. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°，C是弧AB的中点．
请判断△ABC的形状

【答案】△ABC是等边三角形；证明见解析.
【解析】
【分析】先由C是弧AB的中点可得出 ，由圆周角定理可知AC=BC ，
∠ABC=∠ADC=60°，故可得出结论；
【详解】证明：△ABC是等边三角形．
∴，
∴AC=BC ，
∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形，

【】本题主要考查了圆周角定理与等边三角形的判定，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
18. 如图，点C在⊙O上，弦AB⊥OC，垂足为D，AB=8，CD=2．求⊙O的半径．

【答案】5.
【解析】
【详解】试题分析:连接OB,设半径为r,在直角三角形ODB中,BD=4,OD=r－2,OB=r,根据勾股定理列出关于r的方程,解方程即可求解.
试题解析:连接OB,
∵ 在⊙O中,弦AB⊥OC,垂足为D,
∴ AD＝BD＝AB＝4,
设⊙O的半径为r,
在Rt△BOD中,BD2＋OD2＝OB2,
即42＋(r－2) 2＝r 2,
解方程,得r＝5,
所以⊙O的半径为5.
19. 已知抛物线的函数关系式为．
（1）通过配方将其化为的形式，并写出抛物线的顶点坐标；
（2）求此抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】（1）y==（x-1）2 -4；顶点坐标（1，-4）；（2）（3，0）或（-1，0）
【解析】
【分析】（1）利用配方法即可解决问题．
（2）令y=0，解方程即可解决问题．
【详解】（1）y=x2﹣2x﹣3= x2﹣2x+1—4=（x-1）2 -4，
顶点坐标为（1，-4），
（2）令y=0,则x2﹣2x﹣3=0 ，
（x-3）（x+1）=0 ，
∴x=3或x=-1 ，
∴抛物线与x轴交点坐标为（3,0）或（-1,0）
【】题考查抛物线与x轴交点问题、配方法等知识，解题的关键是灵活应用配方法解决问题，学会求抛物线与x轴交点坐标的方法.
20. 浙师大整州外国语学校八年级某班组织了一次经典诵读比赛，甲乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是__________分，乙队成绩的众数是_________分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是___________队．
【答案】（1）9.5，10；（2）9分，1；（3）乙
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；
（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；
（3）根据甲队成绩的方差和乙队的方差比较出大小即可．
【详解】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（分），
则中位数是9.5分；
乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：9.5，10；
（2）乙队的平均成绩是：，
则乙队的方差是：；
（3）甲队成绩的方差是1.4分，乙队的方差是1，甲队成绩的方差乙队的方差，
乙队较为整齐．
【】本题考查了方差，用到的知识点是方差、中位数和众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

21. 有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.
（1）求甲选择A部电影的概率；
（2）求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）
【答案】（1）甲选择A部电影的概率为；（2）甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为.
【解析】
【详解】【分析】（1）甲可选择电影A或B，根据概率公式即可得甲选择A部电影的概率.
（2）用树状图表示甲、乙、丙3人选择电影的所有情况，由图可知总共有8种情况，甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种，根据概率公式即可得出答案.
【详解】（1）∵甲可选择电影A或B，∴甲选择A部电影的概率P=，
答：甲选择A部电影的概率为；
（2）甲、乙、丙3人选择电影情况如图：

由图可知总共有8种情况，甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种，
∴甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率P=，
答：甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为.
【】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在上，连接CD交AB于点E，B是中点，求证：∠B＝∠BEC.

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由B是的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE=∠BAC，即可得∠BEC=∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．
本题解析：
【详解】∵点B是弧CD的中点，
∴∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＋∠ACD＝∠BAC＋∠ACD，即∠ACB＝∠BEC.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC.
【】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23. 小明同学在用描点法画二次函数y=x2+bx+c图像时，由于粗心他算错了一个y值，列出了下面表格：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y=x2+bx+c
…
5
3
2
3
6
…
（1）请你帮他指出这个错误的y值，并说明理由；
（2）若点M（m，y1），N（m+4，y2）在二次函数y=x2+bx+c图像上，且m＞－1，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）5；理由见解析；（2）y1 【解析】
【分析】（1）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
（2）利用作差法比较y1与y2大小．
【详解】（1）由函数图象关于对称轴对称，得
（0，3），（1，2），（2，3）在函数图象上，
把（0，3），（1，2），代入函数关系式，得 ，
解得，
∴ 函数关系式为y=x2﹣2x+3，
∴ 当x=﹣1时y=6，故y错误的数值为5．
（2）y1-y2=m2-2m+3-〔(m+4)2-2(m+4)+3〕=-8m—8=-8(m+1)
当m＞-1时，y1 【】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及作差法比较两个数的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
(2)若直线l经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，判断直线l与⊙P的位置关系.

【答案】(1)画图见解析，点D在⊙P上；(2)直线l与⊙P相切，
【解析】
【详解】试题分析：（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；
（2）连接PE，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可．
试题解析：解：（1）如图所示：
△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；
（2）连接PE，PD，∵直线 l过点 D（﹣2，﹣2 ），E （0，﹣3 ），∴=10，=5，=5，，∴，∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°，∴PD⊥DE．∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．

考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．作图—复杂作图；4．探究型．
25. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据和都是等腰三角形，即可得到再根据三角形的内角和得到进而得出是⊙的切线；
（2）根据，，可以得到半圆的面积，即可的面积，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：（1）如图所示，连接，
∵，
∴，

∵，，
∴中，，
∴，
∴中，，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）当时，，
∵为⊙的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积=半圆的面积-的面积
=．
26. 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：
甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．
乙同学：我知道边数为3时，它正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…
丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．

（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC= °，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．
【答案】（1）108．见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）运用n边形的内角和定理就可求出∠ABC的度数；已知圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，要证该五边形为正五边形，只需证该五边形的各边均相等，只需利用弧与圆周角之间的等量关系就可解决问题．
（2）由△ABC是正三角形可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠AFC、∠ADB、∠BEC均为120°，由=可得∠ABD=∠CAF，即可求出∠DAF=120°，同理可得∠DBE=∠ECF=120°，问题得以解决．
（3）依据对（1）、（2）的探索积累的经验就可提出合理的猜想．
解：（1）∵五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，
∴∠ABC==108°．
故答案为108．
理由：如图1，
∵∠A=∠B
∴=，
∴﹣=﹣，
∴=，
∴BC=AE．
同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，
∴BC=DE=AB=CD=AE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）证明：如图2，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵四边形ABCF是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=120°．
同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°．
∵∠ADB=120°，
∴∠DAB+∠ABD=60°．
∵=，
∴∠ABD=∠CAF，
∴∠DAB+∠CAF=60°，
∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．
同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，
∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，
故图2中六边形各角相等；
（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：
当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；
当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．


考点：圆的综合题．
27. 【问题提出】
求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形每组对边的平方和是一个定值．
【从特殊入手】
我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．
【问题解决】
已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC⊥BD．
求证： ．
证明：

【答案】【从特殊入手】证明见解析；【问题解决】AB2+CD2=BC2+AD2=4R2；证明见解析.
【解析】
【分析】【从特殊入手】：根据正方形的性质、勾股定理计算；
【问题解决】：根据题意写出已知、求证，作直径DE，连接CE，根据圆周角定理证明∠ADB＝∠CDE，得到AB=CE，根据勾股定理计算．
【详解】【从特殊入手】
解：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，

那么这个四边形的对边平方和是定圆半径平方的4倍．
情况一： 如图1，当AC、BD是两条互相垂直的直径时．
则AB2＝OA2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，
CD2＝OC2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2，
BC2＝OC2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，
AD2＝OA2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2．
所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝2R2＋2R2＝4R2．

情况二： 如图2，当AC⊥BD，且AC直径时．
根据垂径定理可知：AB＝AD，BC＝DC．
因为AC是直径，所以∠ABC＝∠ADC＝90°．
所以AB2＋CD2＝AD2＋CD2＝AC2＝4R2．
【问题解决】求证：AB2+CD2=BC2+AD2=4R2

证明：如图3．作直径DE，连接CE．
∵DE是直径，∴∠DCE＝90°．
∵ 所对的圆周角是∠E与∠DAH，
∴∠E＝∠DAH．
∵∠DAC＋∠ADB＝90°，∠E＋∠CDE＝90°，
∴∠ADB＝∠CDE．
∴ ．∴AB＝CE．
∴AB2＋CD2＝CE2＋CD2＝DE2＝4R2．
同理：BC2＋AD2＝4R2．
【】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．

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