精品解析：湖北省武汉市江岸区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

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湖北省武汉市江岸区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义判断即可；【详解】∵方程，∴二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1；故答案选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确分析判断是解题的关键．2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．【详解】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3. 抛物线的顶点坐标是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的解析式即可得．【详解】抛物线的顶点坐标是，故选：D．【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点坐标的求法是解题关键．4. 关于的方程有一个根为则另一个根为（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】解：设原方程的另一根为x，则：， ∴x=4+1=5，故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．5. 将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为（  ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的平移方法判断即可；【详解】二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，可得：；故答案选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键．6. 《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点. 寸，寸，则可得直径的长为（    ）A. 13寸 B. 26寸C. 18寸 D. 24寸【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长．【详解】连接OA，由垂径定理可知，点E是弦AB的中点， 设半径为r，由勾股定理得， 即 解得：r=13所以CD=2r=26，即圆的直径为26，故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.7. “双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到亿元．2019年双十一淘宝交易额达亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为则下列方程正确的是（  ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程增长率问题模型列式即可．【详解】由题意，增长前为，增长后，连续增长年，代入得；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，熟练掌握基本模型，理解公式，找准各数量是解决问题的关键．8. 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到，，然后求出，即可得到答案．【详解】解：在中，，∴∠CAB=50°，由旋转的性质，则，，∴，∴；故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出．9. 若无论取何值，代数式的值恒为非负数，则的值为（  ）A 0 B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x＋1−3m）（x−m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．【详解】解：（x＋1−3m）（x−m）＝x2＋（1−4m）x＋3m2−m，∵无论x取何值，代数式（x＋1−3m）（x−m）的值恒为非负数，∴△＝（1−4m）2−4（3m2−m）＝（1−2m）2≤0，又∵（1−2m）2≥0，∴1−2m＝0，∴m＝．故选：B．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，二次函数与一元二次方程的关系，偶次方非负数的性质，根据题意得出（x＋1−3m）（x−m）的值为非负数时△≤0是解题的关键．10. 已知二次函数是实数，且）的图象的对称轴是直线，点和点为其图象上的两点，且（  ）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质和题目中的条件，可以判断选项中的式子是否正确；【详解】∵二次函数是实数，且）的图象的对称轴是直线，点和点为其图象上的两点，且，∴若a＞0，＜2＜，则可能出现＞0，故A错误；若a＜0，，则，故B错误；若，，则，则，故C错误；若，，则，则，若，，则，则，故D正确；故答案选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确分析计算是关键．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11. 点关于原点对称的点的坐标是_______________________．【答案】【解析】【分析】由关于原点对称的点的坐标特征可以得到解答． 【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标特征为：，由题意得：x=1，y=-4，∴，∴点 M(1,−4) 关于原点对称的点的坐标是（-1，4），故答案为（-1，4）．【点睛】本题考查图形变换的坐标表示，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根；则的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于m的方程，求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×3m=0，解得m=，故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，掌握知识点是解题关键．13. 如图，四边形是的内接四边形，是延长线上的一点，那么的度数为_______________________【答案】【解析】【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠AEC的度数，由圆周角定理即可得出∠AOC的度数．【详解】解：∵∠ABD＝40°， ∴∠ABC＝180°−∠ABD＝180°−40°＝140°，∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠AEC＝180°−∠ABC＝180°−140°＝40°，∴∠AOC＝2∠AEC＝2×40°＝80°．故答案为：80．【点睛】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解答此题的关键．14. 如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为________________________【答案】【解析】【分析】根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可列方程求解；【详解】设小圆的半径为xm，则大圆的半径为，根据题意得：，即，解得：，（舍去）；故答案是：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．15. 已知二次函数为常数，）上有五点、；有下列结论：①；②关于的方程的两个根是和；③；④为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．【答案】【解析】【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为，可得，即，是方程的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当和时，，∴对称轴为，∴当，时，y的值相等，∴，∴，是方程的两个根，故②正确；∵当时，，且c＞0，∴＞0，∴＞0，故③错误；∵，＞0，，，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵，∴＞0，故①正确；∵当时，，∴，∴，∴，∴，∵顶点坐标为，a＜0，∴，∴，∴，∴，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④；故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键．16. 如图，四边形的两条对角线所成的锐角为，则四边形的面积最大值为_______________________．【答案】【解析】【分析】根据四边形面积公式，S＝AC×BD×sin60°，根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×，再利用二次函数最值求出即可．【详解】解：∵AC与BD所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°，设AC＝x，则BD＝10−x，所以S＝x（10−x）×＝（x−5）2＋，所以当x＝5，S有最大值．故答案为：．【点睛】此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．三、解答题 （本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：.【答案】，【解析】【分析】利用因式分解法解方程.【详解】解： ∴或，∴，.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，选择合适的解法是关键.18. 10月11日，2020中国女超联赛在昆明海堙基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了场比赛，求的值．【答案】10【解析】【分析】因为每两队之间进行一场比赛，所以支球队之间共进行场比赛，由此建立等式计算即可．【详解】解得或答：的值为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键在于读懂题意，得出总场数与球队数之间的关系．19. 如图，AD=CB，求证：AB=CD．【答案】证明见解析.【解析】【详解】试题分析：由在同圆中，弦相等，则所对的弧相等和等量加等量还是等量求解．试题解析：∵AD=BC，∴∴AB=CD.20. 如图，已知均在上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点是的中点，试画出的平分线； （2）若，点在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意连接并延长交劣弧于即可得解；（2）延长交圆于，连接并延长交圆于，即可得到；【详解】解：连接并延长交劣弧于，连接即为所求：延长交圆于连接并延长交圆于连接；即为所求； ．【点睛】本题主要考查了利用圆周角定理、垂径定理作图，准确分析判断是解题关键．21. 已知二次函数（1）若，则的取值范围为__               _（直接写出结果）；（2）若，则的取值范围为_                   （直接写出结果）；（3）若两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．【答案】（1）；（2）或；（3）时，时，时【解析】【分析】（1）根据题意得出二次函数的对称轴，再利用已知的x的取值范围计算即可；（2）分别令和，计算即可；（3）分别表示出和，分别令的取值计算即可；【详解】解：（1）∵，，∴二次函数的对称轴，∴最小值：当时，，最大值：当时，；故：．（2）∵，，令，得或4；令，得或5；∴或．两点都在该函数图象上，，，，令，即，此时，令，即，此时，令，即，此时，综上时，时，时．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确分析计算是解题的关键．22. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：第天售价（元件）日销售量（件）已知该商品的进价为元/件．设销售该商品的日销售利润为元．（1）求与的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于元．请直接写出结果．【答案】（1）y=；（2）第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）14天【解析】【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可得解；（2）化二次函数一般式为顶点式，即可判断求解；（3）根据题意列不等式求解即可；【详解】解：（1），；（2）当时，，∵＜0，∴二次函数开口向下，由题可知：函数对称轴为，∴当时，最大值为6250；答：第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元．（3）∵，当时，，解得：，∵，∴共有天．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．23. 【问题背景】（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图； 【迁移应用】（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求；【拓展创新】（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）5【解析】【分析】（1）根据旋转的定义和性质解答；（2）由题意可以得到由此可得 和PC=AM，最后由△PAC的面积等于4.5可以求得PC的值；（3）根据三角形的性质解答．【详解】（1）如图，作，连结，则即为所求作的图形： （2）作线段垂直于交延长线于点连接 为等腰直角三角形，在与中：（3）5．证明如下：如图，将顺时针旋转至，则，，，，即为直角三角形，其中，，由勾股定理得，又旋转角为，即，则，即，在与中， 【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、旋转的意义和性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．24. 已知抛物线，顶点为．（1）求值；（2）如图1，若为轴右侧抛物线上一动点，过作直线轴交轴于点交直线于点，设点的横坐标为，当时，求的值；（3）如图2，点为轴正半轴上一定点，点均为轴右侧抛物线上两动点，若，求证：直线经过一个定点．【答案】（1）；（2）或；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用二次函数顶点式，代入顶点即可求解；（2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m去表示P、M点的纵坐标，再利用列出等量关系式即可求解m；（3）作A点关于二次函数对称轴的对称点M，设则，由已知和中垂线定理可得，即可得M、P、B再同一条直线上，设，代入P、M坐标求PM解析式，再联立抛物线解析式，可表示B、M坐标，同理的求直线AB解析式，根据一次函数解析式可知AB恒过．【详解】解：设代入上式在抛物线上，在直线上解得或或为轴右侧抛物线上一动点综上或取点关于轴的对称点，抛物线关于轴对称点在抛物线上．连 设，则三点共线设解得联立直线与抛物线，得：代入抛物线同理可求恒经过定点【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数综合、一次函数的图像性质、图形对称、等腰三角形三线合一等．本题综合性较强，对各涉及知识点掌握要求较高．特别注意两函数交点需满足各函数解析式．