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2021年湖北省随州市曾都区中考数学适应性试卷（一模）（Word版 含解析）
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这是一份2021年湖北省随州市曾都区中考数学适应性试卷（一模）（Word版 含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省随州市曾都区中考数学适应性试卷（一模）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各式中，结果是100的是（ ）
A．﹣（+100） B．﹣（﹣100） C．﹣|+100| D．﹣|﹣100|
2．2020年12月8日，国家主席习近平在同尼泊尔总统班达里互致信函时，向全世界正式宣布，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．将数据8848.86精确到个位并用科学记数法表示为（ ）
A．8.848×103 B．8.848×104 C．8.849×103 D．8.849×104
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a+6b＝9ab B．（a+1）2＝a2+1
C．﹣6a3b÷2ab＝﹣3a2b D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠C C．∠2＝∠4 D．1+∠2＝180°
5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+52＝x2 D．（x﹣1）2+102＝x2
6．在体育中考训练中，男生小杰6次立定跳远的成绩（单位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A．众数是2.4 B．中位数是2.4
C．平均数是2.4 D．方差是1
7．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为30m，则这栋楼的高度为（ ）
A．40m B．30m C．75m D．40m
8．如图，是一个容器的三视图，向该容器中匀速注水，下面哪一个图象可以大致化容器中水的高度h与时间t的函数关系（ ）
A． B．
C． D．
9．对于x3﹣（n2+1）x+n＝0这类特殊的三次方程可以这样来解．先将方程的左边分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），这样原方程就可变为（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程的解．据此，显然x3﹣5x+2＝0有一个解为x1＝2，设它的另两个解为x2，x3，则式子x2x3﹣x2﹣x3的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．7
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①abc＞0；②8a+c＝0；③对于任意实数m，总有a（m2﹣1）+b（m+1）≤0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝P（P为常数，且P＞0）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．计算：+（﹣1）2021﹣＝ ．
12．不等式组的非负整数解是 ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是 cm．
14．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，过点O作OF∥BC交AB于点F．现随机向△ABC内部抛一米粒，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
15．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．若+++…+＝，则n的值为 ．
16．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一动点，且∠BPC＝60°，PC交BD于点E．当点P运动到PB＝PC时，的值为 ；随着点P的运动，的最大值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程）
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2cos60°+（）﹣1+（π﹣3）0．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第三象限交于点A（﹣3，﹣2），与y轴的正半轴交于点B，且OB＝4．
（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；
（2）将直线AB向下平移4个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
20．为了解“永远跟党走”主题宣传教育活动的效果，某校组织了党史知识问卷测试，从中抽取部分答卷，统计整理得到不完整的频数分布表和扇形统计图．
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
m
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ，扇形统计图中“D”等级的圆心角为 度；
（2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
21．如图，AB，AC切⊙O分别于点B，C，BD∥AC交⊙O于点D，连接CO并延长交BD于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若⊙O的半径为13，tanA＝，求AB的长．
22．某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为16米，宽为3米，抛物线的最高处C距地面7米．
（1）经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的表达式；
（2）观景拱桥下有两根长为4.75米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离；
（3）现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高3.5米水平线上，两立柱间安装一个长8米的矩形广告牌EFMN，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离MH不得小于0.35米，求矩形广告牌的最大高度MF．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然α+β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°﹣（α+β）＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100°，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，点D在边BC上，连接AD，且AD不平分∠BAC．若△ABD是“亚直角三角形”，求线段AD的长；
【素养提升】
（3）如图2，在钝角△ABC中，∠ABC＞90°，AB＝7，BC＝15，△ABC的面积为42，求证：△ABC是“亚直角三角形”．
24．如图1，已知抛物线y＝x2+mx与x轴正半轴交于点A，B（﹣m，0）为x轴上另一点，直线y＝﹣x交抛物线的对称轴于点C，过点B作BM∥OC交过点C平行于x轴的直线于点M，D为抛物线的顶点．
（1）直接用含m的代数式表示点A，D的坐标；
（2）若点M恰好在该抛物线上，求四边形BOCM的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接DM，G为x轴上一点，H为抛物线上一动点，若以点A，G，H为顶点的三角形与△CDM相似，请直接写出点H及其对应的点G的坐标．（每写一组正确的结果得分，记满分为止）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，结果是100的是（ ）
A．﹣（+100） B．﹣（﹣100） C．﹣|+100| D．﹣|﹣100|
【分析】分别根据绝对值和相反数的意义化简即可．
解：A、﹣（+100）＝﹣100，不符合题意；
B、﹣（﹣100）＝100，符合题意；
C、﹣|+100|＝﹣100，不符合题意；
D、﹣|﹣100|＝﹣100，不符合题意；
故选：B．
2．2020年12月8日，国家主席习近平在同尼泊尔总统班达里互致信函时，向全世界正式宣布，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．将数据8848.86精确到个位并用科学记数法表示为（ ）
A．8.848×103 B．8.848×104 C．8.849×103 D．8.849×104
【分析】先把8848.86精确到个位，再用科学记数法表示即可．
解：8848.86≈8849＝8.849×10³，
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a+6b＝9ab B．（a+1）2＝a2+1
C．﹣6a3b÷2ab＝﹣3a2b D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
【分析】根据整式的加减运算，乘除运算法则即可求出答案．
解：A、3a与6b不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝a2+2a+1，故B不符合题意．
C、原式＝﹣3a2b，故C不符合题意．
D、原式＝a6﹣a6＝0，故D符合题意．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠C C．∠2＝∠4 D．1+∠2＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
解：A、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；
B、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意；
C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；
D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意．
故选：B．
5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+52＝x2 D．（x﹣1）2+102＝x2
【分析】首先设水深x尺，则芦苇长为（x﹣1）尺，根据勾股定理可得方程．
解：设水深x尺，则芦苇长为（x﹣1）尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
故选：A．
6．在体育中考训练中，男生小杰6次立定跳远的成绩（单位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A．众数是2.4 B．中位数是2.4
C．平均数是2.4 D．方差是1
【分析】利用方差，中位数，平均数和众数的定义分别计算即可得出答案．
解：A、2.4有2个，众数是2.4，故此选项正确，不合题意；
B、从高到低排列后，为2.2，2.3，2.4，2.4，2.5，2.6．中位数是（2.4+2.4）＝2.4，正确，不合题意；
C、平均数是：（2.2+2.3+2.4+2.4+2.5+2.6）＝2.4（m米），正确，不合题意；
D、方差为：[（2.2﹣2.4）2+（2.3﹣2.4）2+2×（2.4﹣2.4）2+（2.5﹣2.4）2+（2.6﹣2.4）2]＝，故此选项不正确，符合题意；
故选：D．
7．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为30m，则这栋楼的高度为（ ）
A．40m B．30m C．75m D．40m
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BD和CD的长从而可以得到BC的长．
解：由题意可得，
AD⊥BC，AD＝30m，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，
∴BD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），
故选：A．
8．如图，是一个容器的三视图，向该容器中匀速注水，下面哪一个图象可以大致化容器中水的高度h与时间t的函数关系（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由三视图可知容器的形状，依此可知注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越快，即图象开始平缓，后来陡峭，结合选项可得答案．
解：由三视图可知容器的形状是圆锥，可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越快，
即图象开始平缓，后来陡峭，
故选：C．
9．对于x3﹣（n2+1）x+n＝0这类特殊的三次方程可以这样来解．先将方程的左边分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），这样原方程就可变为（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程的解．据此，显然x3﹣5x+2＝0有一个解为x1＝2，设它的另两个解为x2，x3，则式子x2x3﹣x2﹣x3的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．7
【分析】根据给出的特殊三次方程解法，先求出方程x3﹣5x+2＝0的根，再求出代数式的值．
解：∵x3﹣5x+2
＝x3﹣4x﹣x+2
＝x（x2﹣4）﹣（x﹣2）
＝x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）．
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0．
当x2+2x﹣1＝0时，
x＝＝﹣1±．
∴x1＝2，x2＝﹣1+，x3＝﹣1﹣．
∴x2x3﹣x2﹣x3
＝（1+）（1﹣）﹣（﹣1+）﹣（﹣1﹣）
＝1﹣2+1﹣+1+
＝1．
故选：B．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①abc＞0；②8a+c＝0；③对于任意实数m，总有a（m2﹣1）+b（m+1）≤0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝P（P为常数，且P＞0）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1，可得，由图可知a＜0，即有b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，可判断①；由c＝﹣8a可判断②；把a（m2﹣1）+b（m+1）变形为a（m+1）2，可判断③；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p（P为常数，且P＞0）交点横坐标为整数，对称轴是x＝﹣1，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），可判断④．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴，解得，
∴抛物线y＝ax2+bx+c为y＝ax2+2ax﹣8a，
由图可知：a＜0，
∴b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由c＝﹣8a得8a+c＝0，故②正确；
∵a（m2﹣1）+b（m+1）
＝a（m2﹣1）+2a（m+1）
＝a（m+1）（m﹣1）+2a（m+1）
＝a（m+1）（m﹣1+2）
＝a（m+1）2，
且a＜0，（m+1）2≥0，
∴a（m+1）2≤0，即a（m2﹣1）+b（m+1）≤0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p（P为常数，且P＞0）交点横坐标为整数，对称轴是x＝﹣1，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），
∴交点横坐标可能是﹣1，﹣1或0，﹣2或1，﹣3，
∴P的值有且只有三个，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．计算：+（﹣1）2021﹣＝ 0 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的乘方运算法则和立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝3﹣1﹣2
＝0．
故答案为：0．
12．不等式组的非负整数解是 0，1 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出非负整数解即可．
解：不等式组，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
则不等式组的非负整数解为0，1．
故答案为：0，1．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是 2 cm．
【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到 AB'＝BB'即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，
∴AC＝ AB，
∴AB＝2AC＝ cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝ AB，B′C′⊥AB，AB＝AB'，
∴B′C′是AB的垂直平分线，
∴AB'＝BB'．
∴BB'＝ cm．
故答案为：．
14．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，过点O作OF∥BC交AB于点F．现随机向△ABC内部抛一米粒，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
【分析】先根据重心的性质得到AO：AD＝2：3，再证明△AOF∽△ADB，利用相似三角形的性质得到＝，接着利用AD为中线得到S△ABC＝2S△ABD，然后根据求几何概率的方法解决问题．
解：∵点O是△ABC的重心，
∴AO：OD＝2：1，
∴AO：AD＝2：3，
∵OF∥BD，
∴△AOF∽△ADB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵AD为中线，
∴S△ABC＝2S△ABD，
∴米粒落在图中阴影部分的概率＝＝＝．
故答案为．
15．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．若+++…+＝，则n的值为 4041 ．
【分析】首先根据题意得出an的关系式，然后用“裂项法”将裂成2（），即可求出结果．
解：由题意得a1＝1，
a2＝3＝1+2，
a3＝6＝1+2+3，
a4＝10＝1+2+3+4，
…，
∴an＝，
∴＝2（），
∵+++…+＝，
∴＝
2×（1﹣+++...+）＝
2×（1﹣）＝
n+1＝4042
n＝4041．
故答案为：4041．
16．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一动点，且∠BPC＝60°，PC交BD于点E．当点P运动到PB＝PC时，的值为 1 ；随着点P的运动，的最大值为 ．
【分析】（1）根据三角函数值求∠ADB＝30°，再根据PB＝PC，∠BPC＝60°推△BPC为等边三角形，根据三线合一性质求出最后比值；
（2）过点D作FC⊥BC交BD延长线于点F，过点P作PQ⊥BD交BD于点Q，根据∠BPC＝∠BFC＝60°证明点B、C、F、P四点共圆，再根据90°圆周角所对弦是直径得知BF为⊙O的直径，证△PQE∽△CDE推比例线段从而得知当PQ取最大值时，的值最大，最后利用三角函数求直径从而得到的最大值．
【解答】（1）如图所示，
∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
在▱ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵PB＝PC，∠BPC＝60°，
∴△BPC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，
∴∠PBD＝30°＝∠DBC，
∴PE＝CE，
∴＝1，
故答案为：1.
（2）如图①所示，过点D作FC⊥BC交BD延长线于点F，过点P作PQ⊥BD交BD于点Q，
∵FC⊥BC，
∴∠FCB＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BFC＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴点B、C、F、P四点共圆，
∵∠FCB＝90°，
∴BF为⊙O的直径，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝90°，
∵PQ⊥BD，
∴∠PQD＝90°，
∴∠PQD＝∠CDQ，
∵∠PEQ＝∠CED，
∴△PQE∽△CDE，
∴，
∴，
∴当PQ取最大值时，的值最大，
当点Q与点O重合时PQ最大，即PQ为⊙O半径时，
在Rt△BFC中，sin∠BFC＝，
∴BF＝BC＝4，
∴⊙O半径为2，即PQ的最大值是2，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程）
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2cos60°+（）﹣1+（π﹣3）0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得．
解：原式＝（﹣）×
＝×
＝，
当时，
原式＝．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE+BE＝6，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝4，
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝6．
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第三象限交于点A（﹣3，﹣2），与y轴的正半轴交于点B，且OB＝4．
（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；
（2）将直线AB向下平移4个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣3，﹣2）代入反比例函数y＝，可得反比例函数解析式，把点A（﹣3，﹣2）代入y＝kx+4，可得k＝2，可得一次函数解析式；
（2）求得平移后的直线解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得交点坐标，根据题意即可得到使y1＜y2成立的x的取值范围．
解：（1）把A（﹣3，﹣2）代入，可得m＝﹣6，
∴反比例函数解析式为．
∵OB＝4，
∴b＝4，
把（﹣3，﹣2）代入y＝kx+4，可得k＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+4．
（2）依题意得，y1＝2x，解得，，
观察图象可知，使y1＜y2的x的取值范围为：或．
20．为了解“永远跟党走”主题宣传教育活动的效果，某校组织了党史知识问卷测试，从中抽取部分答卷，统计整理得到不完整的频数分布表和扇形统计图．
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
m
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 3 ，n＝ 25 ，扇形统计图中“D”等级的圆心角为 72 度；
（2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据90≤x＜95的频数和所占的百分比求出抽取的总人数，用总人数乘以95≤x≤100所占的百分比求出m，再用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，然后除以总人数，求出n，用360°乘以“D”等级所占的百分比求出“D”等级的圆心角度数；
（2）由该校总人数乘以达到优秀等级的人数所占的比例即可；
（3）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到一男一女的情况数，然后根据概率公式求解即可．
解：（1）抽取的总人数有：8÷40%＝20（人），
m＝20×15%＝3，
C等级的人数有：20﹣3﹣8﹣4＝5（人），
n%＝×100%＝25%，即n＝25，
扇形统计图中“D”等级的圆心角为360°×＝72°；
故答案为：3，25，72；
（2）2000×＝1100（人），
答：估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数有1100人；
（3）根据题意列表如下：
男1
男2
女
男1
男1男2
男1女
男2
男2男1
男2女
女
女男1
女男2
由上表可知，共有6种等可能的结果，符合条件的结果有4种，
则恰好抽到一男一女的概率是＝．
21．如图，AB，AC切⊙O分别于点B，C，BD∥AC交⊙O于点D，连接CO并延长交BD于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若⊙O的半径为13，tanA＝，求AB的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到CO⊥AC，根据BD∥AC，得到CE⊥BD，根据垂径定理证明结论；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接OB，根据正切的定义用k表示出AB，根据勾股定理计算求出k，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AC切⊙O于点C，
∴CO⊥AC，
∵BD∥AC，
∴CE⊥BD，
∴BE＝DE；
（2）解：过点B作BF⊥AC于点F，连接OB，
设AF＝5k，
∵tanA＝，
∴BF＝12k，
由勾股定理得：AB＝＝13k，
∵AB，AC切⊙O分别于点B，C，
∴AC＝AB＝13k，
∵BF⊥AC，EC⊥AC，CE⊥BD，
∴知四边形BECF为矩形，
∴BE＝CF＝AC﹣AF＝8k，CE＝BF＝12k，
∴OE＝CE﹣OC＝12k﹣13，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即132＝（12k﹣13）2+（8k）2，
解得：k＝，
∴AB＝13k＝．
22．某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为16米，宽为3米，抛物线的最高处C距地面7米．
（1）经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的表达式；
（2）观景拱桥下有两根长为4.75米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离；
（3）现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高3.5米水平线上，两立柱间安装一个长8米的矩形广告牌EFMN，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离MH不得小于0.35米，求矩形广告牌的最大高度MF．
【分析】（1）根据坐标系的特点，选择不同的函数解析式，用待定系数法求解即可；
（2）确定立柱的纵坐标，运用平移的思想求解即可；
（3）根据坐标系，确定长方形上面顶点到x轴的距离，根据题意确定高度即可．
解：（1）若选方案一，
依照题意C（0，0），A（﹣8，﹣4），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∴﹣4＝a×（﹣8）2，
∴a＝﹣，
∴，
若选方案二，可由方案一的抛物线向上平移4个单位长度得到，
∴方案二中的抛物线解析式为，
若选方案三，根据图像看出，可有方案二中的解析式向左平移8个单位长度得到，
∴方案三抛物线解析式为，
（2）若选方案一，依题意可得，
∴x＝±6，
∴两根立柱的水平距离为6﹣（﹣6）＝12（米）；
选方案二，根据方案一，得两根立柱的坐标为（﹣6，﹣2.25）和（6，﹣2.25），
只需将两个点的坐标向上平移4个单位长度即得到新坐标下的坐标，分别为（﹣6，1.75 ）和（ 6，1.75），
∴两根立柱的水平距离为6﹣（﹣6 ）＝12（米）；
选方案三，根据方案二，得两根立柱的坐标为（﹣6，1.75）和（ 6，1.75 ），
只需将两个点的坐标向左平移8个单位长度即得到新坐标下的坐标，分别为（﹣14，1.75）和（﹣2，1.75 ），
∴两根立柱的水平距离为﹣2﹣（﹣14）＝12（米）；
（3）若选方案一，当x＝4时，，即H的纵坐标为﹣1，
∴MF＝7﹣3.5﹣1﹣0.35＝2.15（米），
故矩形广告牌的最大高度MF为2.15米；
选方案二，当x＝4时，y＝﹣x2+4＝3，即H的纵坐标为3，
∴MF＝3﹣0.5﹣0.35＝2.15（米），
故矩形广告牌的最大高度MF为2.15米．
选方案三，当x＝4时，y＝﹣（x﹣8）2+4＝3，即H的纵坐标为3，
∴MF＝3﹣0.5﹣0.35＝2.15（米），
故矩形广告牌的最大高度MF为2.15米．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然α+β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°﹣（α+β）＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100°，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，点D在边BC上，连接AD，且AD不平分∠BAC．若△ABD是“亚直角三角形”，求线段AD的长；
【素养提升】
（3）如图2，在钝角△ABC中，∠ABC＞90°，AB＝7，BC＝15，△ABC的面积为42，求证：△ABC是“亚直角三角形”．
【分析】（1）根据方程组求出α，β即可．
（2）证明△ACD∽△BCA，推出，可得结论．
（3）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．利用三角形面积求出CD，再利用勾股定理求出BD，推出，再证明△BCD∽△CAD，可得结论．
【解答】（1）解：由题意，，
解得，
∴它的两个锐角的度数为10°，70°．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
又∵∠BAD≠∠DAC，
∴∠B+2∠BAD≠90°，
∵△ABD是“亚直角三角形”，
∴2∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
在Rt△ACD中，．
（3）证明：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．
∵AB＝7，S△ABC＝42，
∴CD＝12，
在Rt△BCD中，
∵BC＝15，
∴BD＝＝＝9，
∴AD＝7+9＝16，
∴，，
∴，
又∵∠D＝∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠A+∠ACB+∠BCD＝90°，
∴2∠A+∠ACB＝90°，
∴△ABC是“亚直角三角形”．
24．如图1，已知抛物线y＝x2+mx与x轴正半轴交于点A，B（﹣m，0）为x轴上另一点，直线y＝﹣x交抛物线的对称轴于点C，过点B作BM∥OC交过点C平行于x轴的直线于点M，D为抛物线的顶点．
（1）直接用含m的代数式表示点A，D的坐标；
（2）若点M恰好在该抛物线上，求四边形BOCM的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接DM，G为x轴上一点，H为抛物线上一动点，若以点A，G，H为顶点的三角形与△CDM相似，请直接写出点H及其对应的点G的坐标．（每写一组正确的结果得分，记满分为止）
【分析】（1）令y＝0，x2+mx＝0，求解即可得到答案；
（2）根据二次函数的性质与待定系数法求解析式可得点M的纵坐标，然后由点的坐标与函数的关系可得问题的答案；
（3）由（2）得CM＝2，CD＝4，然后分三种情况进行讨论可得答案．
解：（1）∵令y＝0，x2+mx＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣m，，
∴A（﹣m，0），
∵x＝﹣＝﹣，
∴y＝（﹣）2+m•（﹣）＝﹣，
∴；
（2）∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴点M的纵坐标为，
∵BM∥OC，
∴可设直线BM的解析式为．
∵，
∴，
∴，
∴直线BM的解析式为，
∴，
∴，即点M的横坐标为，
∵点M在抛物线上，
∴，
又∵m≠0，
∴m＝﹣6．
∴C（3，﹣5），M（5，﹣5），
∴CM＝2．
∴S平行四边形OBMC＝2×5＝10．
（3）由（2）可知，C（3，﹣5），M（5，﹣5），D（3，﹣9），A（6，0），
∴CM＝2，CD＝4，
∵△CDM为直角三角形，
①当∠AGH＝90°，＝时，
△AGH∽△MCD，
∴＝，
设G（x，0），
∴＝，
∴x1＝2，x2＝6（舍），
∴G（2，0），H（2，﹣8），
②时，即，
∴x1＝6（舍），x＝，
∴G（，0），H（，﹣），
③点G在O点左侧，
，
∴x1＝﹣2，x2＝6（舍去），
∴G（﹣2，0），H（﹣2，16），
＝，
∴x1＝6（舍），x＝﹣，
∴G（﹣，0），H（﹣，）．
2021年湖北省随州市曾都区中考数学适应性试卷（一模）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各式中，结果是100的是（ ）
A．﹣（+100） B．﹣（﹣100） C．﹣|+100| D．﹣|﹣100|
2．2020年12月8日，国家主席习近平在同尼泊尔总统班达里互致信函时，向全世界正式宣布，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．将数据8848.86精确到个位并用科学记数法表示为（ ）
A．8.848×103 B．8.848×104 C．8.849×103 D．8.849×104
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a+6b＝9ab B．（a+1）2＝a2+1
C．﹣6a3b÷2ab＝﹣3a2b D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠C C．∠2＝∠4 D．1+∠2＝180°
5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+52＝x2 D．（x﹣1）2+102＝x2
6．在体育中考训练中，男生小杰6次立定跳远的成绩（单位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A．众数是2.4 B．中位数是2.4
C．平均数是2.4 D．方差是1
7．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为30m，则这栋楼的高度为（ ）
A．40m B．30m C．75m D．40m
8．如图，是一个容器的三视图，向该容器中匀速注水，下面哪一个图象可以大致化容器中水的高度h与时间t的函数关系（ ）
A． B．
C． D．
9．对于x3﹣（n2+1）x+n＝0这类特殊的三次方程可以这样来解．先将方程的左边分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），这样原方程就可变为（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程的解．据此，显然x3﹣5x+2＝0有一个解为x1＝2，设它的另两个解为x2，x3，则式子x2x3﹣x2﹣x3的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．7
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①abc＞0；②8a+c＝0；③对于任意实数m，总有a（m2﹣1）+b（m+1）≤0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝P（P为常数，且P＞0）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．计算：+（﹣1）2021﹣＝ ．
12．不等式组的非负整数解是 ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是 cm．
14．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，过点O作OF∥BC交AB于点F．现随机向△ABC内部抛一米粒，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
15．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．若+++…+＝，则n的值为 ．
16．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一动点，且∠BPC＝60°，PC交BD于点E．当点P运动到PB＝PC时，的值为 ；随着点P的运动，的最大值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程）
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2cos60°+（）﹣1+（π﹣3）0．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第三象限交于点A（﹣3，﹣2），与y轴的正半轴交于点B，且OB＝4．
（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；
（2）将直线AB向下平移4个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
20．为了解“永远跟党走”主题宣传教育活动的效果，某校组织了党史知识问卷测试，从中抽取部分答卷，统计整理得到不完整的频数分布表和扇形统计图．
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
m
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ，扇形统计图中“D”等级的圆心角为 度；
（2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
21．如图，AB，AC切⊙O分别于点B，C，BD∥AC交⊙O于点D，连接CO并延长交BD于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若⊙O的半径为13，tanA＝，求AB的长．
22．某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为16米，宽为3米，抛物线的最高处C距地面7米．
（1）经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的表达式；
（2）观景拱桥下有两根长为4.75米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离；
（3）现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高3.5米水平线上，两立柱间安装一个长8米的矩形广告牌EFMN，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离MH不得小于0.35米，求矩形广告牌的最大高度MF．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然α+β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°﹣（α+β）＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100°，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，点D在边BC上，连接AD，且AD不平分∠BAC．若△ABD是“亚直角三角形”，求线段AD的长；
【素养提升】
（3）如图2，在钝角△ABC中，∠ABC＞90°，AB＝7，BC＝15，△ABC的面积为42，求证：△ABC是“亚直角三角形”．
24．如图1，已知抛物线y＝x2+mx与x轴正半轴交于点A，B（﹣m，0）为x轴上另一点，直线y＝﹣x交抛物线的对称轴于点C，过点B作BM∥OC交过点C平行于x轴的直线于点M，D为抛物线的顶点．
（1）直接用含m的代数式表示点A，D的坐标；
（2）若点M恰好在该抛物线上，求四边形BOCM的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接DM，G为x轴上一点，H为抛物线上一动点，若以点A，G，H为顶点的三角形与△CDM相似，请直接写出点H及其对应的点G的坐标．（每写一组正确的结果得分，记满分为止）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，结果是100的是（ ）
A．﹣（+100） B．﹣（﹣100） C．﹣|+100| D．﹣|﹣100|
【分析】分别根据绝对值和相反数的意义化简即可．
解：A、﹣（+100）＝﹣100，不符合题意；
B、﹣（﹣100）＝100，符合题意；
C、﹣|+100|＝﹣100，不符合题意；
D、﹣|﹣100|＝﹣100，不符合题意；
故选：B．
2．2020年12月8日，国家主席习近平在同尼泊尔总统班达里互致信函时，向全世界正式宣布，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．将数据8848.86精确到个位并用科学记数法表示为（ ）
A．8.848×103 B．8.848×104 C．8.849×103 D．8.849×104
【分析】先把8848.86精确到个位，再用科学记数法表示即可．
解：8848.86≈8849＝8.849×10³，
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a+6b＝9ab B．（a+1）2＝a2+1
C．﹣6a3b÷2ab＝﹣3a2b D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
【分析】根据整式的加减运算，乘除运算法则即可求出答案．
解：A、3a与6b不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝a2+2a+1，故B不符合题意．
C、原式＝﹣3a2b，故C不符合题意．
D、原式＝a6﹣a6＝0，故D符合题意．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠C C．∠2＝∠4 D．1+∠2＝180°
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
解：A、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；
B、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意；
C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；
D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意．
故选：B．
5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+52＝x2 D．（x﹣1）2+102＝x2
【分析】首先设水深x尺，则芦苇长为（x﹣1）尺，根据勾股定理可得方程．
解：设水深x尺，则芦苇长为（x﹣1）尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
故选：A．
6．在体育中考训练中，男生小杰6次立定跳远的成绩（单位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A．众数是2.4 B．中位数是2.4
C．平均数是2.4 D．方差是1
【分析】利用方差，中位数，平均数和众数的定义分别计算即可得出答案．
解：A、2.4有2个，众数是2.4，故此选项正确，不合题意；
B、从高到低排列后，为2.2，2.3，2.4，2.4，2.5，2.6．中位数是（2.4+2.4）＝2.4，正确，不合题意；
C、平均数是：（2.2+2.3+2.4+2.4+2.5+2.6）＝2.4（m米），正确，不合题意；
D、方差为：[（2.2﹣2.4）2+（2.3﹣2.4）2+2×（2.4﹣2.4）2+（2.5﹣2.4）2+（2.6﹣2.4）2]＝，故此选项不正确，符合题意；
故选：D．
7．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为30m，则这栋楼的高度为（ ）
A．40m B．30m C．75m D．40m
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BD和CD的长从而可以得到BC的长．
解：由题意可得，
AD⊥BC，AD＝30m，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，
∴BD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），
故选：A．
8．如图，是一个容器的三视图，向该容器中匀速注水，下面哪一个图象可以大致化容器中水的高度h与时间t的函数关系（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由三视图可知容器的形状，依此可知注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越快，即图象开始平缓，后来陡峭，结合选项可得答案．
解：由三视图可知容器的形状是圆锥，可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越快，
即图象开始平缓，后来陡峭，
故选：C．
9．对于x3﹣（n2+1）x+n＝0这类特殊的三次方程可以这样来解．先将方程的左边分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），这样原方程就可变为（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程的解．据此，显然x3﹣5x+2＝0有一个解为x1＝2，设它的另两个解为x2，x3，则式子x2x3﹣x2﹣x3的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．7
【分析】根据给出的特殊三次方程解法，先求出方程x3﹣5x+2＝0的根，再求出代数式的值．
解：∵x3﹣5x+2
＝x3﹣4x﹣x+2
＝x（x2﹣4）﹣（x﹣2）
＝x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）．
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0．
当x2+2x﹣1＝0时，
x＝＝﹣1±．
∴x1＝2，x2＝﹣1+，x3＝﹣1﹣．
∴x2x3﹣x2﹣x3
＝（1+）（1﹣）﹣（﹣1+）﹣（﹣1﹣）
＝1﹣2+1﹣+1+
＝1．
故选：B．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①abc＞0；②8a+c＝0；③对于任意实数m，总有a（m2﹣1）+b（m+1）≤0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝P（P为常数，且P＞0）的根为整数，则P的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1，可得，由图可知a＜0，即有b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，可判断①；由c＝﹣8a可判断②；把a（m2﹣1）+b（m+1）变形为a（m+1）2，可判断③；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p（P为常数，且P＞0）交点横坐标为整数，对称轴是x＝﹣1，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），可判断④．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴，解得，
∴抛物线y＝ax2+bx+c为y＝ax2+2ax﹣8a，
由图可知：a＜0，
∴b＝2a＜0，c＝﹣8a＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由c＝﹣8a得8a+c＝0，故②正确；
∵a（m2﹣1）+b（m+1）
＝a（m2﹣1）+2a（m+1）
＝a（m+1）（m﹣1）+2a（m+1）
＝a（m+1）（m﹣1+2）
＝a（m+1）2，
且a＜0，（m+1）2≥0，
∴a（m+1）2≤0，即a（m2﹣1）+b（m+1）≤0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p（P为常数，且P＞0）交点横坐标为整数，对称轴是x＝﹣1，且抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0），
∴交点横坐标可能是﹣1，﹣1或0，﹣2或1，﹣3，
∴P的值有且只有三个，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．计算：+（﹣1）2021﹣＝ 0 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的乘方运算法则和立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝3﹣1﹣2
＝0．
故答案为：0．
12．不等式组的非负整数解是 0，1 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出非负整数解即可．
解：不等式组，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
则不等式组的非负整数解为0，1．
故答案为：0，1．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是 2 cm．
【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到 AB'＝BB'即可求解．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，
∴AC＝ AB，
∴AB＝2AC＝ cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝ AB，B′C′⊥AB，AB＝AB'，
∴B′C′是AB的垂直平分线，
∴AB'＝BB'．
∴BB'＝ cm．
故答案为：．
14．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E，过点O作OF∥BC交AB于点F．现随机向△ABC内部抛一米粒，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
【分析】先根据重心的性质得到AO：AD＝2：3，再证明△AOF∽△ADB，利用相似三角形的性质得到＝，接着利用AD为中线得到S△ABC＝2S△ABD，然后根据求几何概率的方法解决问题．
解：∵点O是△ABC的重心，
∴AO：OD＝2：1，
∴AO：AD＝2：3，
∵OF∥BD，
∴△AOF∽△ADB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵AD为中线，
∴S△ABC＝2S△ABD，
∴米粒落在图中阴影部分的概率＝＝＝．
故答案为．
15．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．若+++…+＝，则n的值为 4041 ．
【分析】首先根据题意得出an的关系式，然后用“裂项法”将裂成2（），即可求出结果．
解：由题意得a1＝1，
a2＝3＝1+2，
a3＝6＝1+2+3，
a4＝10＝1+2+3+4，
…，
∴an＝，
∴＝2（），
∵+++…+＝，
∴＝
2×（1﹣+++...+）＝
2×（1﹣）＝
n+1＝4042
n＝4041．
故答案为：4041．
16．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝6，AB⊥BD，P是BC上方一动点，且∠BPC＝60°，PC交BD于点E．当点P运动到PB＝PC时，的值为 1 ；随着点P的运动，的最大值为 ．
【分析】（1）根据三角函数值求∠ADB＝30°，再根据PB＝PC，∠BPC＝60°推△BPC为等边三角形，根据三线合一性质求出最后比值；
（2）过点D作FC⊥BC交BD延长线于点F，过点P作PQ⊥BD交BD于点Q，根据∠BPC＝∠BFC＝60°证明点B、C、F、P四点共圆，再根据90°圆周角所对弦是直径得知BF为⊙O的直径，证△PQE∽△CDE推比例线段从而得知当PQ取最大值时，的值最大，最后利用三角函数求直径从而得到的最大值．
【解答】（1）如图所示，
∵AB⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
在▱ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵PB＝PC，∠BPC＝60°，
∴△BPC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，
∴∠PBD＝30°＝∠DBC，
∴PE＝CE，
∴＝1，
故答案为：1.
（2）如图①所示，过点D作FC⊥BC交BD延长线于点F，过点P作PQ⊥BD交BD于点Q，
∵FC⊥BC，
∴∠FCB＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠BFC＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴点B、C、F、P四点共圆，
∵∠FCB＝90°，
∴BF为⊙O的直径，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝90°，
∵PQ⊥BD，
∴∠PQD＝90°，
∴∠PQD＝∠CDQ，
∵∠PEQ＝∠CED，
∴△PQE∽△CDE，
∴，
∴，
∴当PQ取最大值时，的值最大，
当点Q与点O重合时PQ最大，即PQ为⊙O半径时，
在Rt△BFC中，sin∠BFC＝，
∴BF＝BC＝4，
∴⊙O半径为2，即PQ的最大值是2，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程）
17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2cos60°+（）﹣1+（π﹣3）0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得．
解：原式＝（﹣）×
＝×
＝，
当时，
原式＝．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝4时，求AC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE+BE＝6，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝4，
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝6．
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第三象限交于点A（﹣3，﹣2），与y轴的正半轴交于点B，且OB＝4．
（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；
（2）将直线AB向下平移4个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣3，﹣2）代入反比例函数y＝，可得反比例函数解析式，把点A（﹣3，﹣2）代入y＝kx+4，可得k＝2，可得一次函数解析式；
（2）求得平移后的直线解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得交点坐标，根据题意即可得到使y1＜y2成立的x的取值范围．
解：（1）把A（﹣3，﹣2）代入，可得m＝﹣6，
∴反比例函数解析式为．
∵OB＝4，
∴b＝4，
把（﹣3，﹣2）代入y＝kx+4，可得k＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+4．
（2）依题意得，y1＝2x，解得，，
观察图象可知，使y1＜y2的x的取值范围为：或．
20．为了解“永远跟党走”主题宣传教育活动的效果，某校组织了党史知识问卷测试，从中抽取部分答卷，统计整理得到不完整的频数分布表和扇形统计图．
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
m
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 3 ，n＝ 25 ，扇形统计图中“D”等级的圆心角为 72 度；
（2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名男生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）根据90≤x＜95的频数和所占的百分比求出抽取的总人数，用总人数乘以95≤x≤100所占的百分比求出m，再用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，然后除以总人数，求出n，用360°乘以“D”等级所占的百分比求出“D”等级的圆心角度数；
（2）由该校总人数乘以达到优秀等级的人数所占的比例即可；
（3）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到一男一女的情况数，然后根据概率公式求解即可．
解：（1）抽取的总人数有：8÷40%＝20（人），
m＝20×15%＝3，
C等级的人数有：20﹣3﹣8﹣4＝5（人），
n%＝×100%＝25%，即n＝25，
扇形统计图中“D”等级的圆心角为360°×＝72°；
故答案为：3，25，72；
（2）2000×＝1100（人），
答：估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数有1100人；
（3）根据题意列表如下：
男1
男2
女
男1
男1男2
男1女
男2
男2男1
男2女
女
女男1
女男2
由上表可知，共有6种等可能的结果，符合条件的结果有4种，
则恰好抽到一男一女的概率是＝．
21．如图，AB，AC切⊙O分别于点B，C，BD∥AC交⊙O于点D，连接CO并延长交BD于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若⊙O的半径为13，tanA＝，求AB的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到CO⊥AC，根据BD∥AC，得到CE⊥BD，根据垂径定理证明结论；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接OB，根据正切的定义用k表示出AB，根据勾股定理计算求出k，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AC切⊙O于点C，
∴CO⊥AC，
∵BD∥AC，
∴CE⊥BD，
∴BE＝DE；
（2）解：过点B作BF⊥AC于点F，连接OB，
设AF＝5k，
∵tanA＝，
∴BF＝12k，
由勾股定理得：AB＝＝13k，
∵AB，AC切⊙O分别于点B，C，
∴AC＝AB＝13k，
∵BF⊥AC，EC⊥AC，CE⊥BD，
∴知四边形BECF为矩形，
∴BE＝CF＝AC﹣AF＝8k，CE＝BF＝12k，
∴OE＝CE﹣OC＝12k﹣13，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即132＝（12k﹣13）2+（8k）2，
解得：k＝，
∴AB＝13k＝．
22．某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为16米，宽为3米，抛物线的最高处C距地面7米．
（1）经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的表达式；
（2）观景拱桥下有两根长为4.75米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离；
（3）现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高3.5米水平线上，两立柱间安装一个长8米的矩形广告牌EFMN，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离MH不得小于0.35米，求矩形广告牌的最大高度MF．
【分析】（1）根据坐标系的特点，选择不同的函数解析式，用待定系数法求解即可；
（2）确定立柱的纵坐标，运用平移的思想求解即可；
（3）根据坐标系，确定长方形上面顶点到x轴的距离，根据题意确定高度即可．
解：（1）若选方案一，
依照题意C（0，0），A（﹣8，﹣4），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∴﹣4＝a×（﹣8）2，
∴a＝﹣，
∴，
若选方案二，可由方案一的抛物线向上平移4个单位长度得到，
∴方案二中的抛物线解析式为，
若选方案三，根据图像看出，可有方案二中的解析式向左平移8个单位长度得到，
∴方案三抛物线解析式为，
（2）若选方案一，依题意可得，
∴x＝±6，
∴两根立柱的水平距离为6﹣（﹣6）＝12（米）；
选方案二，根据方案一，得两根立柱的坐标为（﹣6，﹣2.25）和（6，﹣2.25），
只需将两个点的坐标向上平移4个单位长度即得到新坐标下的坐标，分别为（﹣6，1.75 ）和（ 6，1.75），
∴两根立柱的水平距离为6﹣（﹣6 ）＝12（米）；
选方案三，根据方案二，得两根立柱的坐标为（﹣6，1.75）和（ 6，1.75 ），
只需将两个点的坐标向左平移8个单位长度即得到新坐标下的坐标，分别为（﹣14，1.75）和（﹣2，1.75 ），
∴两根立柱的水平距离为﹣2﹣（﹣14）＝12（米）；
（3）若选方案一，当x＝4时，，即H的纵坐标为﹣1，
∴MF＝7﹣3.5﹣1﹣0.35＝2.15（米），
故矩形广告牌的最大高度MF为2.15米；
选方案二，当x＝4时，y＝﹣x2+4＝3，即H的纵坐标为3，
∴MF＝3﹣0.5﹣0.35＝2.15（米），
故矩形广告牌的最大高度MF为2.15米．
选方案三，当x＝4时，y＝﹣（x﹣8）2+4＝3，即H的纵坐标为3，
∴MF＝3﹣0.5﹣0.35＝2.15（米），
故矩形广告牌的最大高度MF为2.15米．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然α+β＜90°，则这个三角形的第三个角为180°﹣（α+β）＞90°，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100°，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，点D在边BC上，连接AD，且AD不平分∠BAC．若△ABD是“亚直角三角形”，求线段AD的长；
【素养提升】
（3）如图2，在钝角△ABC中，∠ABC＞90°，AB＝7，BC＝15，△ABC的面积为42，求证：△ABC是“亚直角三角形”．
【分析】（1）根据方程组求出α，β即可．
（2）证明△ACD∽△BCA，推出，可得结论．
（3）过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．利用三角形面积求出CD，再利用勾股定理求出BD，推出，再证明△BCD∽△CAD，可得结论．
【解答】（1）解：由题意，，
解得，
∴它的两个锐角的度数为10°，70°．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
又∵∠BAD≠∠DAC，
∴∠B+2∠BAD≠90°，
∵△ABD是“亚直角三角形”，
∴2∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴，
在Rt△ACD中，．
（3）证明：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．
∵AB＝7，S△ABC＝42，
∴CD＝12，
在Rt△BCD中，
∵BC＝15，
∴BD＝＝＝9，
∴AD＝7+9＝16，
∴，，
∴，
又∵∠D＝∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠A+∠ACB+∠BCD＝90°，
∴2∠A+∠ACB＝90°，
∴△ABC是“亚直角三角形”．
24．如图1，已知抛物线y＝x2+mx与x轴正半轴交于点A，B（﹣m，0）为x轴上另一点，直线y＝﹣x交抛物线的对称轴于点C，过点B作BM∥OC交过点C平行于x轴的直线于点M，D为抛物线的顶点．
（1）直接用含m的代数式表示点A，D的坐标；
（2）若点M恰好在该抛物线上，求四边形BOCM的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接DM，G为x轴上一点，H为抛物线上一动点，若以点A，G，H为顶点的三角形与△CDM相似，请直接写出点H及其对应的点G的坐标．（每写一组正确的结果得分，记满分为止）
【分析】（1）令y＝0，x2+mx＝0，求解即可得到答案；
（2）根据二次函数的性质与待定系数法求解析式可得点M的纵坐标，然后由点的坐标与函数的关系可得问题的答案；
（3）由（2）得CM＝2，CD＝4，然后分三种情况进行讨论可得答案．
解：（1）∵令y＝0，x2+mx＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣m，，
∴A（﹣m，0），
∵x＝﹣＝﹣，
∴y＝（﹣）2+m•（﹣）＝﹣，
∴；
（2）∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴点M的纵坐标为，
∵BM∥OC，
∴可设直线BM的解析式为．
∵，
∴，
∴，
∴直线BM的解析式为，
∴，
∴，即点M的横坐标为，
∵点M在抛物线上，
∴，
又∵m≠0，
∴m＝﹣6．
∴C（3，﹣5），M（5，﹣5），
∴CM＝2．
∴S平行四边形OBMC＝2×5＝10．
（3）由（2）可知，C（3，﹣5），M（5，﹣5），D（3，﹣9），A（6，0），
∴CM＝2，CD＝4，
∵△CDM为直角三角形，
①当∠AGH＝90°，＝时，
△AGH∽△MCD，
∴＝，
设G（x，0），
∴＝，
∴x1＝2，x2＝6（舍），
∴G（2，0），H（2，﹣8），
②时，即，
∴x1＝6（舍），x＝，
∴G（，0），H（，﹣），
③点G在O点左侧，
，
∴x1＝﹣2，x2＝6（舍去），
∴G（﹣2，0），H（﹣2，16），
＝，
∴x1＝6（舍），x＝﹣，
∴G（﹣，0），H（﹣，）．
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