2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第三章 第1讲　变化率与导数、导数的计算

第1讲　变化率与导数、导数的计算

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝.

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

常用结论

1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.

2.′＝－(f(x)≠0)．

3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

[思考辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)

(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

[诊断自测]

1．函数y＝的导函数为________．

解析：y′＝＝.

答案：y′＝

2．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________．

解析：因为f(x)＝f′sin x＋cos x，

所以f′(x)＝f′cos x－sin x，

所以f′＝f′cos－sin，

即f′＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x，

f′(x)＝－cos x－sin x.

故f′＝－cos－sin＝－.

答案：－

3．已知函数f(x)＝sin，则f′(x)＝________．

解析：f′(x)＝[sin]′＝cos·′＝2cos.

答案：2cos

导数的计算(自主练透)

1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)

A．2　　　　　　　 B．4

C．6 D．8

解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.

再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.

2．(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________．

解析：由于f′(x)＝，故f′(1)＝＝，解得a＝1.

答案：1

3．求下列函数的导数：

(1)y＝xnex；(2)y＝；

(3)y＝exln x；(4)y＝(1＋sin x)2.

解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．

(2)y′＝＝－.

(3)y′＝exln x＋ex·＝ex.

(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′

＝2(1＋sin x)·cos x.

[提醒]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．

导数的几何意义(多维探究)

角度一　求切线方程

(1)曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为____________________．

(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．

【解析】　(1)因为y′＝2x－，

所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，

所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.

(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，

所以设切点为(x0，y0)．

又因为f′(x)＝1＋ln x，

所以

解得x0＝1，y0＝0.

所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1.

所以直线l的方程为y＝x－1.

【答案】　(1)y＝x＋1　(2)y＝x－1

角度二　已知切线方程(或斜率)求切点坐标

若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

【解析】　设P(x0，y0)，因为y＝e－x，

所以y′＝－e－x，

所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，

所以－x0＝ln 2，

所以x0＝－ln 2，

所以y0＝eln 2＝2，

所以点P的坐标为(－ln 2，2)．

【答案】　(－ln 2，2)

角度三　已知切线方程(或斜率)求参数值

(1)(2020·宁波调研)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于(　　)

A．2 B．－1

C．1 D．－2

(2)若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝________．

【解析】　(1)依题意知，y′＝3x2＋a，则

由此解得所以2a＋b＝1，选C.

(2)依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，

于是有

解得x0＝，a＝＝2e－.

【答案】　(1)C　(2)2e－

(1)求曲线切线方程的步骤

①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；

②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

(2)求曲线的切线方程需注意两点

①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；

②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．　

1．(2020·杭州七校联考)曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)

A.e2　　　　　　　　　 B．4e2

C．2e2 D．e2

解析：选D.因为y′＝ex，所以k＝e×4＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.

2．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝________．

解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.

因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.

答案：2

3．(2020·台州高三月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017的值为________．

解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，

令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.

所以x1·x2·…·x2 017＝×××…××＝.

则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017

＝log2 018(x1·x2·…·x2 017)＝log2 018＝－1.

答案：－1

两条曲线的公切线(师生共研)

若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．

【解析】　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．

则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，

依题意

解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.

【答案】　1－ln 2

求两条曲线的公切线的方法

(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解．

(2)利用公切线得出关系式．

设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切点P2(x2，y2)，则f′(x1)＝g′(x2)＝.

1．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　)

A．三条 B．二条

C．一条 D．0条

解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数f(x)＝8x3－8x2＋1，f′(x)＝8x(3x－2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值f(0)＞0，极小值f＜0，故函数和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.

2．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．

解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.

设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．

则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.

解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1，0)．

所以过切点且与该切线垂直的直线方程为

y＝－1·(x＋1)，即x＋y＋1＝0.

答案：x＋y＋1＝0