2020-2021学年浙江省温州市高一（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年浙江省温州市高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知A−1,1，B−3,4，平面向量AB→的坐标是（ ）
A.2,3B.−2,−3C.2,−3D.−2,3

2. 如图，在△ABC中，BC=4，AB=AC=25，若△ABC的水平放置直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为( )

A.2B.22C.32D.42

3. 已知|a→|=1，|b→|=2，且(a→−b→)和a→垂直，则a→与b→的夹角为（ ）
A.60∘B.30∘C.45∘D.135∘

4. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现．如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，若圆柱的表面积是6π，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为( )

A.π3B.2π3C.πD.4π3

5. 已知向量a→=4,2，b→=0,5，则向量b→在向量a→上的投影向量为（ ）
A.2,1B.−2,−1C.209,109D.6,3

6. 若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为( )
A.14B.13C.12D.34

7. 如图，在矩形ABCD中，BC=1，AB=x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则错误的是（ ）

A.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OC
B.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BD
C.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACD
D.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD

8. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是( )

A.DC1⊥PCB.异面直线AD与PC不可能垂直
C.∠D1PC不可能是直角或者钝角D.∠APD1的取值范围是π6,π2
二、多选题

已知复数z=4+7i3+2i，则下列结论中正确的是( )
A.z的虚部为i
B.z=2−i
C.|z|=5
D.z在复平面内对应的点位于第四象限

已知向量a→=2,1，b→=1,−1，则（ ）
A.a→//a→+b→
B.若ma→+nb→=8,1，则m−2n=−1
C.a→与a→−b→的夹角的正弦值为45
D.若(λa→+2b→)⊥b→，则实数λ=−4

给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（ ）
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

如图，直角△ABC的斜边BC长为2，∠C=30∘，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方．则（ ）

A.|OA→+OC→|有最大值也有最小值
B.OA→⋅OC→有最大值无最小值
C.|OA→+BC→|有最小值无最大值
D.OA→⋅BC→无最大值也无最小值
三、填空题

已知i为虚数单位，若1+iz=2i，则|z|=________.

已知向量2b→−a→=1,−3，2a→−b→=1,9，则a→⋅b→=________．

已知a→，b→是单位向量，且a→⊥b→．设OA→=a→，OB→=b→，OC→=ma→+nb→m≥n>0，若△ABC为等腰直角三角形，则m=________．

立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术•商功》，在《九章算术•商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图，
再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图，
现有一四面体ABCD，已知AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，AC=13，AD=29，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可求得这个四面体的体积为________，及该四面体的外接球的体积为________．
四、解答题

如图，已知圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形，O是底面圆心．

(1)求圆锥的表面积；

(2)经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB+sinA−C=csC .
(1)求角A的大小；

(2)当c=23时，求a2+b2的取值范围．

如图，游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B，在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C．假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为1170米，经测量，csA=2425，csC=35．

(1)求观光车路线AB的长；

(2)乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短．

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60∘，在四边形ADEF中，AF//DE，∠DAF=90∘，AD=DE=2AF=2，BE=22．M为AB的中点．

(1)证明：直线FM//平面EAC；

(2)求直线BF与平面EAC所成角的正弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年浙江省温州市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
根据A，B两点的坐标即可求出向量AB→的坐标．
【解答】
解：∵ A−1,1，B−3,4，
∴ AB→=−2,3.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
斜二测画法
【解析】
求出△ABC的面积，利用平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积比为24，计算即可．
【解答】
解：在△ABC 中，BC=4，AB=AC=25，
所以底边BC上的高为AO=252−22=4，
所以△ABC的面积为S△ABC=12×4×4=8，
所以△ABC水平放置的直观图△A′B′C′的面积为：
S△A′B′C′=24S△ABC=24×8=22．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
设向量a→与b→的夹角为α，0∘≤α≤180∘，由垂直关系可得a→⋅(a→−b→)=0，代入数据可解csα，可得结论．
【解答】
解：设向量a→与b→的夹角为α，0∘≤α≤180∘.
∵ (a→−b→)和a→垂直，
∴ a→⋅(a→−b→)=0，
∴ a→2−a→⋅b→=1−1×2×csα=0，
解得csα=22，α=45∘.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
【解析】
无
【解答】
解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为4πr2=23×6π，
∴ r=1，
∴ 圆柱的底面半径为1，高为2，
∴ 最多可以注入的水的体积为π×12×2−43×π×13=2π3．
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
【解析】
根据平面向量的投影定义，结合向量的数量积，转化求解的投影和投影向量．
【解答】
解：向量a→=4,2，b→=0,5，
则向量b→在向量a→上的投影为：
|b→|csθ=a→⋅b→|a→|=4×0+2×516+4=5，
所以向量b→在向量a→上的投影向量为：
5×116+4×4,2=2,1．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设该圆锥的底面半径为r，母线长为2l，则该圆锥的侧面积S=12×2πr×2l=2πrl，
截得的小圆锥的底面半径为r2，母线长为l，其侧面积S1=12×πr×l=12πrl，
从而圆台的侧面积S2=S−S1=2πrl−12πrl=32πrl．
故两者侧面积的比值S1S2=12πrl32πrl=13．
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
当AB=x=1，面ABD⊥面BCD时，由面面垂直的性质定理可得OC⊥面ABD，由线面垂直的性质定理可得AB⊥OC 从而判断选项A正确；
当AB=x=1时，利用线面垂直的判定定理和性质定理可得AC⊥BD，从而判断选项B正确；
当AB=x=12，当将△BAD沿直线BD翻折到AC=32时，即可判断选项C正确；
由AC⊥平面ABD，利用线面垂直的性质定理可得AC⊥AO，可得OC为斜边，这与OC=OA相矛盾，从而判断选项D不正确．
【解答】
解：A，当AB=x=1时，矩形ABCD为正方形，
则AC⊥BD，
将△BAD沿直线BD翻折，
若使得面ABD⊥面BCD，
因为OC⊥BD，OC⊂平面BCD，面ABD∩面BCD=BD，
所以OC⊥面ABD，
又AB⊂面ABD，
所以AB⊥OC，故A正确；
B，当AB=x=1时，
因为OC⊥BD，OA⊥BD，OA∩OC=O，
所以BD⊥面OAC，
又AC⊂面OAC，
所以AC⊥BD，故B正确；
C，在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC=1+x2，
所以将△BAD沿直线BD翻折时，总有AB⊥AD，
取x=12，
当将△BAD沿直线BD翻折到AC=32时，
有AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，
又AC∩AD=A，
所以AB⊥平面ACD，故C正确；
D，若AC⊥平面ABD，
又AO⊂平面ABD，
则AC⊥AO，
所以在△AOC中，OC为斜边，
这与OC=OA相矛盾，故D错误．
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
命题的真假判断与应用
余弦定理
两条直线垂直的判定
【解析】
利用空间中直线与直线的位置关系求直线与直线垂直，异面直线所成的夹角.
【解答】
解：A，∵DC1⊥CD1， DC1⊥A1D1， CD1∩A1D1=D1，
CD1⊂ 面A1D1CB ，A1D1⊂ 面 A1D1CB，
∴DC1⊥ 面A1D1CB.
∵PC⊂ 面 A1D1CB，
∴DC1⊥PC，故此项不合题意；
B，∵PB⊥BC，
∴BC 与PC不可能垂直.
∵AD//BC，
∴AD与PC不可能垂直，故此项不合题意；
C，四边形A1D1CB为矩形，且A1B=2A1D1，
当P为 A1B 中点时， ∠D1PC 最大.
设A1D1=1 ，则A1B=2，
∴D1P=PC=1+222=62.
∵cs∠D1PC=32+32−222×62×62=13 ，
∴∠D1PC不可能是直角或钝角，故此项不合题意；
D，当A1P=22AD 时，∠APD1=π2，
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