中考数学二轮复习难题突破：其他探究题（解析版）

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其他探究题例1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．   （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）     【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG   在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立．例2、请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长． ­­    【答案】解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=．连结P P′，在Rt△BP′P中，∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，∴ P P′=2，∠BP′P=45°． 在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，∵ ，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2．∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．∴ ∠AP′B=135°．∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．  （2）过点B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E．∴ ∠EP′ B=45°.∴ EP′=BE=1.∴ AE=2.∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=． ∴ ∠BPC=135°，正方形边长为．例3、如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　　°，猜想∠QFC=   °；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．      【答案】解: （1）   30°     =  60°      　（2）=60°不妨设BP＞, 如图1所示   ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP   ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP  ∴∠BAP=∠EAQ                 在△ABP和△AEQ中  AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ∴△ABP≌△AEQ（SAS） ∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠BEF∴=60° (事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G∵△ABE是等边三角形    　　∴BE=AB=，由（1）得30°在Rt△BGF中，     ∴BF=     ∴EF=2∵△ABP≌△AEQ       ∴QE=BP=     ∴QF=QE＋EF过点Q作QH⊥BC，垂足为H在Rt△QHF中，（x＞0）即y关于x的函数关系式是：.例4、如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．  （1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】解：（1）（6，4）；（）.（2）∵S△OMP =×OM×，∴S =×（6 -t）×=+2t．   ＝（0 < t <6）．∴当时，S有最大值．（3）存在．由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：．设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得∴直线ON与MT的交点R的坐标为．例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．第3题图【答案】解：(1)CP＝BQ; 【解法提示】如解图①，连接OQ，第3题解图①由旋转可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ；(2)成立，理由如下：如解图②，连接OQ，第3题解图②由旋转知PQ＝OP，∠OPQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，∵在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ；(3)BQ＝.【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC·tanA＝，如解图③，过点O作OH⊥BC于点H，第3题解图③∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH－CH＝－＝，连接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝.