2021年湖北省黄石市中考数学真题卷

这是一份2021年湖北省黄石市中考数学真题卷，文件包含2021年湖北省黄石市中考数学真题原卷版doc、2021年湖北省黄石市中考数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣的倒数是（ ）
A．﹣2B．C．﹣D．±
【解析】解：﹣的倒数是：﹣2．
故选：A．
2．下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形
【解析】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3．如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下，
故选：D．
4．计算（﹣5x3y）2正确的是（ ）
A．25x5y2B．25x6y2C．﹣5x3y2D．﹣10x6y2
【解析】解：（﹣5x3y）2＝25x6y2．
故选：B．
5．函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x＞2C．x＞﹣1且x≠2D．x≠﹣1且x≠2
【解析】解：由题意可得：，
解得：x＞﹣1且x≠2，
故选：C．
6．为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50，则这组数据的众数是（ ）
A．46B．45C．50D．42
【解析】解：∵50出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是50．
故选：C．
7．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）
【解析】解：观察图像，可知C′（﹣2，3），
故选：B．
8．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．20°B．22.5°C．15°D．12.5°
【解析】解：∵OF⊥AB，
∴＝，
∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝×60°＝30°，
∴∠BAF＝∠BOF＝×30°＝15°．
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3B．C．D．
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故选：A．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
【解析】解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴﹣a＞，即b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故选：B．
二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）
11．计算：（）﹣1﹣|﹣2|＝ ．
【解析】解：原式＝2﹣（2﹣）
＝2﹣2+
＝．
故答案为：．
12．分解因式：a3﹣2a2+a＝ a（a﹣1）2 ．
【解析】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
13．2021年5月21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为14.12亿人．用科学记数法表示14.12亿人，可以表示为 1.412×109 人．
【解析】解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109，
故答案为：1.412×109．
14．分式方程+＝3的解是 x＝3 ．
【解析】解：原方程可变为+＝3，
所以＝3，
两边都乘以（x﹣2）得，
x＝3（x﹣2），
解得，x＝3，
检验：把x＝3代入（x﹣2）≠0，
所以x＝3是原方程的根，
故答案为：x＝3．
15．（4分）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为 10.5 米．
（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）
【解析】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，
∵∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝30°，又CD＝4米，
∴DF＝2米，CF＝（米），
由题意得∠E＝45°，
∴EF＝DF＝2米
∴BE＝BC+CF+EF＝5+2+2＝（7+2）米，
∴AB＝BE＝7+2≈10.5（米），
故答案为10.5．
16．（4分）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 3 ．
【解析】解：将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣（x+m）+1．
将点（1，﹣3）代入，得﹣3＝﹣（1+m）+1．
解得m＝3．
故答案是：3．
17．（4分）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 6 ．
【解析】解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴设A（x，﹣），S△AOH＝，
∵AB＝2BC，
∴，，
∴BG＝AH，HG＝2CG
∴点B的纵坐标为，代反比例函数中得点B的坐标为（3x，），
∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，
∴S△AOC＝＝•（﹣4x）•（﹣）＝6
故答案为：6．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 4 ．
（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 ①③ （把你认为所有正确的都填上）．
【解析】解：（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴BE＝DG，AG＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∴△CEF的周长：EF+EC+CF
＝GF+EC+CF
＝（DG+DF）+EC+CF
＝DG+（DF+EC）+CF
＝BE+CD+CF
＝CD+BC，
∵正方形的边长为2，
∴△CEF的周长为4；
故答案为：4；
（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠HAF＝45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH＝AM，BM＝DH，∠ABM＝∠ADH＝45°，
又AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN＝HN，
而∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，
Rt△HDN中，HN2＝DH2+DN2，
∴MN2＝BM2+DN2，
故①正确；
②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：
由（1）知：EF＝GF＝DF+DG＝DF+BE，∠AEF＝∠G，
设DF＝x，BE＝DG＝y，则CF＝x，CD＝BC＝AD＝2x，EF＝x+y，CE＝BC﹣BE＝2x﹣y，
Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，
∴（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，
解得x＝y，即＝，
设x＝3m，则y＝2m，
∴AD＝2x＝6m，DG＝2m，
Rt△ADG中，tanG＝＝＝3，
∴tan∠AEF＝3，
故②不正确；
③∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，
∴△AMN∽△DFN，
∴＝，即＝，
又∠AND＝∠FNM，
∴△ADN∽△MFN，
∴∠MFN＝∠ADN＝45°，
∴∠MAF＝∠MFA＝45°，
∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确，
故答案为：①③．
三、解答题（本大题共7小题，共62分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．
【解析】解：（1﹣）÷
＝
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
20．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
【解析】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【解析】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
22．（8分）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有 50 人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是 108° ；
（2）补全条形统计图；
（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率．
【解析】解：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有：20÷40%＝50（人），
扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是：360°×＝108°；
故答案为：50，108°；
（2）C景点的人数有：50﹣15﹣20﹣5＝10（人），补全统计图如下：
（3）根据题意画图如下：
共有16等等可能的情况数，其中两位老师在同一个小组的有4种情况，
则两位老师在同一个小组的概率是＝．
23．（9分）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
（1）笼中鸡、兔各有多少只？
（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
【解析】解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，
依题意得：，
解得：．
答：笼中鸡有23只，兔有12只．
（2）设笼中鸡有m只，则兔有只，
依题意得：，
解得：13≤m≤33．
设这笼鸡兔共值w元，则w＝80m+60×＝50m+1410．
∵50＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝13时，w取得最小值，最小值＝50×13+1410＝2060；
当m＝33时，w取得最大值，最大值＝50×33+1410＝3060．
答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元．
24．（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．
【解析】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.
（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．
（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，
∴x＝1或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAD＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，
∴PA＝3AE＝6．
25．（12分）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．
【解析】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；
（2）∵△DEF是等腰直角三角形，
故DE＝DF且∠EDF＝90°，
故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，
故点F（3+m，m），
则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，
将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，
解得m＝﹣3（舍去）或2，
则△DEF的面积＝m2＝4；
（3）设点Q的坐标为（m，﹣m2+6m﹣3），
则PQ2＝（m﹣3）2+（﹣m2+6m﹣3﹣t）2＝（m﹣3）2+[（m﹣3）2+t﹣6]2，
设n＝（m﹣3）2，
则PQ2＝n+（n+t﹣6）2＝n2+n（2t﹣11）+（t﹣6）2，
∵1＞0，故PQ2有最小值，
此时n＝，
则PQ2的最小值＝（t﹣6）2﹣（11﹣2t）2＝，
故PQ的最小值为．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…