新高考数学一轮复习教师用书：第四章　1 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

这是一份新高考数学一轮复习教师用书：第四章　1 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数学案，共15页。


知识点
最新考纲
任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算．
理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性.
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦及正切公式
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.
简单的三角恒等变换
掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理及其应用.
第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
按终边位置
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定 义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角
函数线



有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(5)若α∈，则tan α＞sin α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
[教材衍化]
1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案：－　二
2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________．
解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，
cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝.
答案：
3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．
答案：
[易错纠偏]
(1)终边相同的角理解出错；
(2)三角函数符号记忆不准；
(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ－45°(k∈Z)　　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选C.与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.
2．若sin α0，则α是第____象限角．
解析：由sin α0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．
答案：三
3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos αcos x，所以在(－∞，＋∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范围是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.
答案：(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z
5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．
6．设α为锐角，求证：11.①
而S△OPB＝OB·RP＝cos α，
S△OAP＝OA·QP＝sin α，
S扇形OAB＝×1×＝.
又因为四边形OAPB被扇形OAB覆盖，
所以S△OPB＋S△OAP