2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第二讲　三角恒等变换学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第二讲　三角恒等变换学案，共11页。

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第二讲　三角恒等变换



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[多选题]下列说法正确的是(　　)
A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的
B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立
C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立
D.存在实数α,使tan 2α=2tan α
2.[2015 新课标全国Ⅰ]sin 20°cos 10° - cos 160°sin 10°=(　　)
A. - 32 B.32 C. - 12 D.12
3.[2018全国卷Ⅲ]若sin α=13,则cos 2α=(　　)
A.89 B.79 C. - 79 D. - 89
4.[2019全国卷Ⅱ]已知α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A.15 B.55 C.33 D.255
5.[2020百校联考]tan 67.5° - tan 22.5°=　　　　. 
6.[2018全国卷Ⅱ]已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. 
7.[2018全国卷Ⅱ]已知tan(α - 5π4)=15,则tan α=　　　　. 
8.[2019江苏高考]已知tanαtan(α+π4)= - 23,则sin(2α+π4)的值是　　　　. 

考法1 三角函数式的化简求值
1化简:2cos2α-12tan(π4-- α)sin2(π4+α)=　　　　. 

思路一　运用二倍角公式及诱导公式→化简即可
思路二　运用两角和(差)的正弦(切)公式→切化弦→化简即可
解法一　原式=cos2α2tan(π4-α)cos2(π4-α)
=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)
=cos2αsin(π2-2α)
=cos2αcos2α
=1.
解法二　原式=cos2α-sin2α2×1-tanα1+tanα(sin π4cosα+cos π4sinα)2
=(cos2α-sin2α)(1+tanα)(1-tanα)(cosα+sinα)2
=(cos2α-sin2α)(1+sinαcosα)(1-sinαcosα)(cosα+sinα)2
=1.
解法一运用了“同化原则”,先根据角(π4 - α)与角(π4+α)互余的关系,将sin(π4+α)化成cos(π4 - α),能减少角,再采用切化弦法,减少函数名,最后分母逆用二倍角公式,与分子化成同次,很容易得出结果;而解法二是直接运用公式,运算量大,且易出错.
1.已知α∈(0,π),化简:(1+sinα+cosα)·(cosα2-sinα2)2+2cosα=　　　　. 
考法2 三角函数的求值
命题角度1　给角求值
2(1)[2019湖南四校联考]计算sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12 B. - 12 C.22 D.32
(2)[2019安徽黄山三检](1+tan 20°)(1+tan 25°)=　　　　. 
(1)利用诱导公式、两角和的余弦公式求解.(2)观察式子中所涉及的角之间的关系,即20°+25°=45°,借助
tan 45°=tan(20°+25°)=1,利用两角和的正切公式及其变形求解即可;也可利用同角三角函数的基本关系及辅助角公式进行求解.
(1)sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°= - sin 47°·cos 17°+cos 47°cos 73°= - sin 47°sin 73°+
cos 47°cos 73°=cos(47°+73°)=cos 120°= - 12.故选B.
(2) 解法一　(配凑法)由题意知,(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°.
因为tan 45°=tan(20°+25°)=tan20°+tan25°1-tan20°tan25°=1,(借助两角和的正切公式进行配凑)
所以tan 20°+tan 25°=1 - tan 20°tan 25°.
所以(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=2.
解法二　(切化弦)原式=(1+sin20°cos20°)(1+sin25°cos25°)
=(cos20°+sin20°)(cos25°+sin25°)cos20°·cos25°
=2cos25°·2cos20°cos20°·cos25°
=2.
2.(tan 10° - 3)cos10°sin50°=　　　　. 
命题角度2　给值求值
3 (1)已知α为锐角,β为第二象限角,且cos(α - β)=12,sin(α+β)=12,则sin(3α - β)=
A. - 12 B.12 C. - 32 D.32
(2)[2019山东临沂模拟]已知sin α+cos α=233,则sin2(α - π4)=　　　　. 
(1)根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解:一是3α - β=2α+(α - β),需先利用2α=(α+β)+(α - β)及α为锐角求出2α的值,进而求得结果;二是3α - β=2(α - β)+(α+β),需先利用倍角公式求出cos 2(α - β)和sin 2(α - β)的值,进而求得结果.
(2)根据所求目标式,将已知式化为一角一函数的形式,然后利用同角三角函数的基本关系求值即可;或将已知式两边同时平方,求出sin 2α的值,再利用降幂公式求解即可.
(1)解法一　因为α为锐角,β为第二象限角,cos(α - β)>0,sin(α+β)>0,
所以α - β为第四象限角,α+β为第二象限角,(符号定象限)
因此sin(α - β)= - 32,cos(α+β)= - 32,
所以sin 2α=sin(α - β+α+β)= - 32×( - 32)+12×12=1.
因为α为锐角,所以2α=π2,
所以sin(3α - β)=sin(2α+α - β)=cos(α - β)=12,故选B.(变换角求值)
解法二　同解法一可得,sin(α - β)= - 32,cos(α+β)= - 32.
所以cos 2(α - β)=2cos2(α - β) - 1=2×(12)2 - 1= - 12,
sin 2(α - β)=2sin(α - β)cos(α - β)=2×( - 32)×12= - 32.
所以sin(3α - β)
=sin[2(α - β)+(α+β)]
=sin 2(α - β)·cos(α+β)+cos 2(α - β)·sin(α+β)
=( - 32)×( - 32)+( - 12)×12
=12.故选B.(变换角求值)
(2)解法一　由已知可得sin α+cos α=2(22sin α+22cos α)=2cos(α - π4)=233,(逆用两角差的余弦公式)
所以cos(α - π4)=2332=63.
故sin2(α - π4)=1 - cos2(α - π4)=1 - (63)2=13.
解法二　将sin α+cos α=233两边同时平方,得sin2α+2sin αcos α+cos2α=43,即sin 2α=13.
所以sin2(α - π4)=1-cos(2α-π2)2=1-sin2α2=1-132=13.
3.(1)若α∈(0,π),且3sin α+2cos α=2,则tan α2=(　　)
A.32 B.34 C.233 D.433
(2)已知cos(π4+x)=35,若1712π 4.[2018江苏高考]已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)= - 55.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α - β)的值.





命题角度3　给值求角
4在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为277,点Q的纵坐标为3314.则2α - β的值为　　　　. 
先根据三角函数的定义和已知求出cos α,sin β,然后利用同角三角函数的基本关系求出sin α,cos β,再确定2α - β的取值范围,求出2α - β的三角函数值,从而确定2α - β的值.
解法一　由已知可知cos α=277,sin β=3314.(利用三角函数的定义求值)
又α,β为锐角,所以sin α=217,cos β=1314.(利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)
因此cos 2α=2cos2α - 1=17,sin 2α=2sin αcos α=437,(利用倍角公式求值)
所以sin(2α - β)= 437×1314-17×3314=32.
因为α为锐角,所以0<2α<π,
又cos 2α>0,所以0<2α<π2,
又β为锐角,所以 - π2<2α - β<π2,(判断角的取值范围)
又sin(2α - β)=32,所以2α - β=π3.
解法二　同解法一得,cos β=1314,sin α=217.
因为α,β为锐角,所以α - β∈( - π2,π2),
所以sin(α - β)=sin αcos β - cos αsin β=217×1314-277×3314=2114.(求两角差的正弦值)
所以sin(α - β)>0,故α - β∈(0,π2),(判断两角差的取值范围)
故cos(α - β)=1-sin2(α-β)=1-(2114)2=5714,(利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)
所以cos(2α - β)=cos[α+(α - β)]=cos αcos(α - β) - sin α·sin(α - β)=277×5714-217×2114=12.
又α∈(0,π2),所以2α - β=α+(α - β)∈(0,π),
所以2α - β=π3.
解后反思
利用三角函数值求角时,要尽量把角的取值范围转化到某个函数的单调区间内,这样就不会产生多解.如解法一中,因为
2α - β∈( - π2,π2),显然正弦函数在该区间内单调递增,所以一个正弦值只对应一个角.若求该角的余弦值,则一个余弦值对应两个角,容易产生多解.解法二中,2α - β∈(0,π),余弦函数在该区间内单调递减,所以一个余弦值只对应一个角.此外,在求解过程中还需要利用三角函数的符号不断缩小角的范围,如解法一中利用cos 2α的符号,得2α∈(0,π2);解法二中利用sin(α - β)的符号,得α - β∈(0,π2).
5.(1)[2019山西吕梁模拟]已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tan α=cos2β1-sin2β,则(　　)
A.α+β=π2 B.α - β=π4 C.α+β=π4 D.α+2β=π2
(2)[2019黑龙江大庆二模]已知α,β为锐角,且(1 - 3tan α)·(1 - 3tan β)=4,则α+β=　　　　. 



易错 不会缩小角的范围而致误
5[2019安徽六安二模]若sin 2α=55,sin(β - α)=1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是　　　　　　　　　　　　　
A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4


因为α∈[π4,π],所以2α∈[π2,2π],
又sin 2α=55,所以2α∈(π2,π),α∈(π4,π2).
所以cos 2α= - 1-sin22α= - 255.(根据sin 2α>0缩小角2α,α的范围)
因为β∈[π,3π2],
所以α+β∈(54π,2π),β - α∈(π2,5π4).
又sin(β - α)=1010>0,所以β - α∈(π2,π),(根据sin(β - α)>0缩小角β - α的范围)
所以cos(β - α)= - 1-sin2(β-α)= - 31010.
所以cos(α+β)=cos[2α+(β - α)]
=cos 2αcos(β - α) - sin 2αsin(β - α)(利用两角和的余弦公式化简)
= - 255×( - 31010) - 55×1010
=22.
又α+β∈(5π4,2π),所以α+β=7π4.
A
素养探源 　
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
找出已知角与所求角之间的关系,根据不等式的性质推出角的范围,由三角函数值的正负缩小角的范围.
二
数学运算
同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的三角函数值的求解.
一
易错警示
本题的易错点是不能根据题设条件缩小角2α,α及β - α的取值范围,导致求cos(α+β)时出现两解而造成失误.利用三角函数值求角时,要充分结合条件,对角的范围精准定位后,再选取合适的三角函数进行求值,最后确定角的具体取值.
283


















1.ABD　易知ABD正确,对于C,只有当α,β,α+β都不等于kπ+π2(k∈Z)时,公式才成立,C错误,选ABD.
2.D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=12.故选D.
3.B　cos 2α=1 - 2sin2α=1 - 2×(13)2=79.故选B.
4.B　因为2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α.
因为α∈(0,π2),所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即5sin2α=1,即sin2α=15.
又sin α>0,所以sin α=55.故选B.
5.2　由tan α - tan β=tan(α - β)(1+tan αtan β)得tan 67.5° - tan 22.5°=tan 45°(1+tan 67.5°tan 22.5°)=1×2=2.
6. - 12　∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1　①,
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0　②,
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)= - 12.
7.32　解法一　因为tan(α - 5π4)=15,所以tanα-tan5π41+tanαtan5π4=15,即tanα-11+tanα=15,解得tan α=32.
解法二　因为tan(α - 5π4)=15,所以tan α=tan[(α - 5π4)+5π4]=tan(α-5π4)+tan5π41-tan(α-5π4)tan5π4=15+11-15×1=32.
8.210　解法一　 tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1= - 23,解得tan α=2或tan α= - 13.
当tan α=2时,sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45,
cos 2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2αtan2α+1= - 35,此时sin 2α+cos 2α=15.
同理当tan α= - 13时,sin 2α= - 35,cos 2α=45,此时sin 2α+cos 2α=15.
所以sin(2α+π4)=22(sin 2α+cos 2α)=210.
解法二　tanαtan(α+π4)=sinαcos(α+π4)cosαsin(α+π4)= - 23,则sin αcos(α+π4)= - 23cos αsin(α+π4),又22=sin[(α+π4) - α]=sin(α+π4)cos α - cos(α+π4)sin α=53sin(α+π4)cos α,则sin(α+π4)cos α=3210,则sin(2α+π4)=sin[(α+π4)+α]=sin(α+π4)cos α+cos(α+π4)sin α=13sin(α+π4)cos α=13×3210=210.

1.cos α　原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)4cos2α2.
因为α∈(0,π),所以cosα2>0,
所以原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)2cosα2=(cosα2+sinα2)·(cosα2 - sinα2)=cos2α2 - sin2α2=cos α.
2. - 2　解法一　原式=(tan 10° - tan 60°)cos10°sin50°
=(sin10°cos10° - sin60°cos60°)cos10°sin50°
=sin(-50°)cos10°cos60°·cos10°sin50°
= - 2.
解法二　原式=(sin10°cos10° - 3)cos10°sin50°
=sin10°-3cos10°cos10°×cos10°sin50°
=2(12sin10°-32cos10°)sin50°
=2sin(10°-60°)sin50°
= - 2.
【审题指导】　注意到10°,50°与特殊角60°的关系:10°+50°=60°.同时3=tan 60°,考虑利用特殊值化切为弦.也可直接将tan 10°化为sin10°cos10°,然后通分变为sin10°-3cos10°cos10°,再考虑用引入辅助角的方法求解.
3.(1)A　解法一　由已知得cos α=1 - 32sin α.
代入sin2α+cos2α=1,得sin2α+(1 - 32sin α)2=1,
整理得74sin2α - 3sin α=0,解得sin α=0或sin α=437.
因为α∈(0,π),所以sin α=437,故cos α=1 - 32×437=17.
所以tan α2=sinα1+cosα=4371+17=32.
解法二　因为sin α=2sin α2·cos α2 ,cos α=1 - 2sin2α2,
所以3sin α+2cos α=2可以化为2 3sin α2·cos α2+2(1 - 2sin2α2)=2,化简可得23sin α2·cos α2=4sin2α2　①.
因为α∈(0,π),所以α2∈(0,π2),所以sin α2≠0.
所以①式可化为23cos α2=4sin α2,即tan α2=32.
(2) - 2875　解法一　由1712π 又cos(π4+x)=35,所以sin(π4+x)= - 45,所以cos x=cos[(π4+x) - π4]=cos(π4+x)cosπ4+sin(π4+x)sinπ4=35×22 - 45×22= - 210,从而sin x= - 7210,tan x=7.
则sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-tanx=2×(-7210)×(-210)+2×(-7210)21-7= - 2875.
解法二　由解法一,得tan(π4+x)= - 43.又sin 2x= - cos(π2+2x)= - cos 2(π4+x)= - 2cos2(π4+x)+1= - 1825+1=725,
则sin2x+2sin2x1-tanx=sin2x+2sin2x1-sinxcosx=sin2xcosx+2sin2xcosxcosx-sinx=sin2x(sinx+cosx)cosx-sin=sin 2x·1+tanx1-tanx=sin 2x·tan(x+π4)=725×( - 43)= - 2875.
4.(1)因为tan α=43,tan α=sinαcosα,所以sin α=43cos α.
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925,
因此,cos 2α=2cos2α - 1= - 725.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
又cos(α+β)= - 55,所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=255,
因此tan(α+β)= - 2.
因为tan α=43,所以tan 2α=2tanα1-tan2α= - 247,
因此,tan(α - β)=tan[2α - (α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)= - 211.
5.(1)B　解法一　已知等式可化为sinαcosα=cos2β1-sin2β,即sin α(1 - sin 2β)=cos αcos 2β,
整理得cos αcos 2β+sin αsin 2β=sin α,即cos(α - 2β)=sin α.
因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),
所以α - 2β∈( - π,π2).
又cos(α - 2β)=sin α>0,所以α - 2β∈( - π2,π2).
又cos(α - 2β)=sin[(α - 2β)+π2],且α - 2β+π2∈(0,π),α∈(0,π2),
所以α - 2β+π2=α或α - 2β+π2=π - α.
当α - 2β+π2=α时,β=π4,此时1 - sin 2β=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;
当α - 2β+π2=π - α时,α - β=π4.故选B.
解法二　tan α=cos2β1-sin2β=cos2β-sin2βcos2β+sin2β-2sinβcosβ= (cosβ+sinβ)(cosβ-sinβ)(cosβ-sinβ)2=cosβ+sinβcosβ-sinβ=1+tanβ1-tanβ=tan(π4+β).
因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),
所以α=π4+β,即α - β=π4.故选B.
解法三　不妨令β=π12,则由已知等式可求得tan α=321-12=3,又α为锐角,所以α=π3.则α+β=π3+π12=5π12,故可排除A,C.
当β → 0时,sin 2β → 0,cos 2β →1,所以tan α=cos2β1-sin2β→1,因为α∈(0,π2),所以α → π4,所以α+2β → π4,故可排除D.
综上可知,选B.
(2)2π3　将(1 - 3tan α)(1 - 3tan β)=4展开,得 - 3(tan α+tan β)=3(1-tan α·tan β),即tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(α+β)= - 3,由于α,β为锐角,所以0<α+β<π,故α+β=2π3.