高三 上海市实验学校2022届高三上学期摸底考试数学试题（解析版）

这是一份高三 上海市实验学校2022届高三上学期摸底考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 ___________， 已知集合，，则______， 已知，则______等内容，欢迎下载使用。
上海市实验学校2021学年度第一学期摸底考试高三数学试卷一､填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 复数的共轭复数是__________.【答案】【解析】【详解】试题分析：∵，∴复数的共轭复数是考点：本题考查了复数的概念及运算点评：熟练掌握复数的概念及运算是解决此类问题的关键，属基础题2. ___________.【答案】.【解析】【分析】分子分母同时除以，然后利用常用数列的极限即可计算求出结果.详解】，故答案为：.3. 已知集合，，则______.【答案】【解析】【分析】先求解指数不等式和对数不等式，再利用交集运算即得结果.【详解】解：∵集合，，故.故答案为：.【点睛】本题考查了指数不等式和对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.4. 已知，则______.【答案】28【解析】【分析】先求出二项的通项公式，由此通项可知展开式中的次数均为偶数，所以，当时，的次数为4，从而可求出，进而可得结果.【详解】解：因为的第项为（且），所以不存在，所以，因为的系数为，所以，所以.故答案为：28【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.5. 非零向量，满足，且，与夹角为，则___________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律及数量积的定义计算可得；【详解】解：且，，所以，，即，，，．故答案为：6. 已知直线l过点（1，0）且与直线x+y﹣1＝0垂直，l与圆C：（x﹣6）2+（y）2＝12交于A，B两点，则弦AB的长为_____．【答案】6【解析】【分析】由垂直求出直线方程，接着求得圆心到直线的距离，由垂径定理求得弦长．【详解】由题意设直线方程为，又直线过点，∴，，直线方程为，圆心到直线距离为，圆半径为，∴．故答案为：6.【点睛】本题考查圆的弦长，考查由两直线垂直求直线方程．求弦长时用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦．7. 若，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线至点处时可得所求的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图阴影部分（含边界）所示，
 当直线经过点时，有最小值.由可得，故.故答案为：.【点睛】本题考查利用线性规划求最值，一般地，二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．8. 设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点___________.【答案】【解析】【分析】根据函数存在反函数，且函数的图象过点可得，再根据反函数与原函数的关系可求出，从而求出函数的图象一定经过的定点．【详解】解：函数存在反函数，且函数的图象过点，，，当时，函数的图象一定过点故答案为：．9. 已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为___________.【答案】【解析】【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式可求得，，的值，由正弦定理结合，解得，的值，由余弦定理可解得的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：由题意，，解得或，因为，所以因为，故，由正弦定理，可得：，又，解得，，由余弦定理可知，解得或（舍去），所以的面积．故答案为：．10. 《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图､洛书是中华文化､阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是___________.【答案】【解析】【分析】结合排列组合求出从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数的个数，然后列举法求出其中能被3整数的两位数，进而利用古典概型的概率公式即可求出结果.【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数有个 ，其中能被3整除的2位数有共14个，所以其能被3整除的概率是，故答案为：.11. 已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为______．【答案】【解析】【分析】先判断，所以由，可得，从而可得，进而可求出，再结合可求出的值【详解】若存在，由，则可得或，由可得，由可得所以中恒有，由，可得所以，即所以，所以，即所以，则，所以故答案为：12. 已知a，b，，满足，，当S取最小值时，c的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由已知整理可得，，然后利用基本不等式可求的最小值及满足的条件：，然后由，从而可得关于的不等式，解不等式可求的范围【详解】解：，，，且，当且仅当即时取等号此时的最大值为故答案为：二､选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 不存在【答案】A【解析】【分析】根据是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数得；1，3，，这四个数据的平均数为1得，再求的最小值．【详解】是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，则；1，3，，这四个数据的平均数为1，，；；，，；是单调增函数，的最小值是（3）．故选：【点睛】本题考查了平均数与中位数的应用问题，也考查了函数的单调性与最值问题，是基础题．14. 下列说法中正确的是（    ）①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④【答案】D【解析】【分析】根据线面平行性质定理可得①正确；根据线面平行的定义可得②正确；根据线面平行的性质定理与判定定理可得③不正确；根据线面平行的性质定理和平行公理可得④正确.【详解】由线面平行的性质定理：一条直线如果和一个平面平行，经过这条直线的另一个平面与已知平面相交，那么可得这条直线与交线平行，由于可以做出无数条交线，故①正确；由线面平行的定义：一条直线和一个平面平行，那么直线与平面没有公共点，所以直线与平面内的直线没有公共点，可得②正确；因为经过线外一点可作一直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面与已知直线平行,∴③错误；过平面α内一点和直线l确定一平面β，设，根据线面平行的性质定理可得l//m.故④正确.故选：D.15. 若不等式对恒成立，则的值等于（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】设，得出的符号变化情况，根据的单调性和对称性即可得出，的值．【详解】解：当或时，，当时，，当或时，，当时，，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，，，即，又，故．．故选：B．16. 已知，方程有三个实根，若，则实数A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】判断f（x）与2 的大小，化简方程求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值．【详解】由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，，当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2．得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，则x，①当﹣1≤x时，有f（x）≥2，原方程可化为f（x）+2f（x）﹣22ax﹣4＝0，即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x，由﹣1解得：0≤a≤22．②当x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为42ax﹣4＝0，化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x，又0≤a≤22，∴0．∴x1，x2，x3＝0．由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得 2（），解得a（舍）或a．因此，所求实数a．故选B．点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据分段函数的表达式结合绝对值的应用，确定三个根x1、x2、x3的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三､解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图所示，正方体的棱长为，点在棱上，且，连结，，，，.（1）求直线与平面所成角的正切值；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由面，可得即为直线与平面所成的角，在中，即可求解；（2）由三棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】（1）因为正方体的棱长为，，所以，，连接，则，因为面，所以即为直线与平面所成的角，在中，，所以直线与平面所成角的正切值为；（2）因为面，所以即为三棱锥的高，所以三棱锥的体积为.18. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.【详解】（1）连结，则四边形的面积为（2）由题意，在中，，由正弦定理同理在中，，由正弦定理令时，即，的最大值为5【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题19. 已知函数，其中.（1）判断函数的奇偶性；（2）解关于x的不等式：；（3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围.【答案】（1）当时，函数是奇函数；当时，函数是非奇非偶函数；（2）当时，不等式得解集为；当时，不等式得解集为；（3）.【解析】【分析】（1）分类讨论，根据奇偶性的概念进行判断；（2）分类讨论去绝对值的符号，从而化简不等式进行求解；（3）化简，从而分类讨论确定函数的单调性，从而进行求解.【详解】（1）当时，，所以，所以函数是奇函数；当时，，，因此，且，所以函数是非奇非偶函数；（2）①当时，可化为，即；②当时，（i）若，则，解得或（舍）；（ii）若，则，无解；故不等式的解集为；③当时，（i）若，则，解得（舍）或；（ii）若，则，无解；故不等式的解集为；综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（3），①当时，在定义域内单调递增，故只有一个实数根，故不合题意舍去，②当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；且，故只需满足，解得或；故.③当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增；且，故不可能有三个实数根；综上所述：实数a的取值范围为.20. 已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.（1）求数列通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用等差中项得出Sn与an的关系式，即可求出an；（2）由题意可求出，然后利用等差数列前n项和公式可求；（3）由题写出的表达式，构造函数，然后判断单调性，可求函数的最大值，即可解出答案.【详解】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，∴当时，，当时，∴，即，∴数列为首项为1公差为1的等差数列，故；（2）∵，∴，所以当时，，当时，∴；（3）由题知，令，则，∴，故单调递减，于是∴要得不等式对一切都成立，则.21. 已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.（1）求抛物线方程；（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线方程求出，两点坐标，由两点间距离公式列方程即可求解；（2）设直线，，，联立直线与抛物线方程联立可得，，设，，射线：与椭圆方程联立可得，同理可得，，计算即可求解；（3）设，，令可得：，同理可得，两式相乘整理，再讨论点在不在直线上，即可得定值.【详解】（1）设，，由可得，所以，，所以，，所以，因为，所以，所以抛物线的方程为；（2）椭圆的右顶点为，设直线，，，将代入可得：，所以，，假设存在，设，，射线： ，由 可得：，同理可得，，，所以 ，所以，所以，所以不存在直线，使；（3）设，则，令可得：①，同理可得：②，两式相乘可得即，所以，即，当点不在直线上时，，所以，当点在直线上时，，所以，综上所述：是定值，且定值为.【点睛】解决圆锥曲线中的定值与定点问题的方法有两种：一种是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，难度较大，运算量大，且思路不好寻找，另一种方法是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.