2021学年22.6 正方形课时练习

22.6正方形同步练习冀教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则结论：中，正确的有   

A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

2. 如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则   

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为   

A.
B.
C.
D.

4. 如图，▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形若，，则的度数是     

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在中，，，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为

A. 2 B.  C. 1 D.

6. 如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：；；；其中正确的是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是

A. 线段EF的长逐渐增大
B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不改变
D. 线段EF的长不能确定
 

8. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是

A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

9. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若，，那么正方形ABCD的面积为

A.
B. 3
C.
D. 5

10. 下列说法正确的是

A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

11. 如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且的面积为50，则正方形EFGH的面积为

A. 24 B. 25 C. 26 D. 27

12. 正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是

A. 16 B.  C. 8 D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 在正方形ABCD的平面内作等边，则的度数为          ．
14. 菱形ABCD的对角线，，以AC为边作正方形ACEF，则BF的长为______．
15. 如图，作边长为l的正方形ABCD，再以正方形ABCD的边AB为对角线作第2个正方形，再以边BE为对角线作第3个正方形如此作下去，则所作的第2019个正方形的面积为______．
     

16. 如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则的长度最小值为______．
     

17. 如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，、的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为______．
    
     

18. “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为______结果保留根号．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，，，垂足分别是M，N．
    
    求证：．
    若，，求正方形的边长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知：如图，四边形ABCD中，，，E是对角线BD上一点，且．

求证：四边形ABCD是菱形

如果，且，求证：四边形ABCD是正方形．






 

21. 如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且把绕点A顺时针旋转得到．
    求证：≌．
    若，，求正方形ABCD的边长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且求证：．
    
     

23. 如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．
    求证：矩形DEFG是正方形；
    探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，由格点构成的四边形称为格点四边形，请按要求作图标出所画图形的顶点字母．
    在图1中画出一个格点正方形；
    在图2中画出一个一般的格点平行四边形非菱形、矩形．

25. 如图1，在中，，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．
    
    
                                图1                                                       图2 

探究CE与BG的关系并说明理由；

探究与面积的关系并说明理由。

如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知是直角三角形，，，，，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的面积是____________．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查正方形的性质，基础题需要掌握．做题首先知道正方形四边相等，对角线垂直平分且相等．
【解答】
解：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O
，，，，

所以正确，
故选D．  

2.【答案】A
 

【解析】解：利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法．
如图所示，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，
则n可以为3，4，5，故

 

3.【答案】B
 

【解析】略
 

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：四边形AEFG是正方形，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故选：A．  

5.【答案】B
 

【解析】解：连接CF，

，，P为AC中点，
，
四边形ADEF是正方形
，

，且，
≌



点F在过点C且垂直BC的直线上，
当时，PF的值最小
的最小值
故选：B．
由“SAS”可证≌，可得，可得，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当时，PF的值最小，即可求PF的最小值．
本题考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定点F的轨迹是本题的关键．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
，，，
≌，
，
故正确；
四边形ABCD是正方形，
，，，
≌，
，

，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
即；，
故正确；
≌，
，
，
，
，
故正确；
故选：B．
根据正方形的性质证得≌，推出，可知正确；利用正方形性质证≌，求得，推出；求出；最后在中根据三角形的内角和是求得即可得到正确．根据，求出，推出，即；，故正确；由，得到邻补角和对顶角相等得到，故正确；
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：四边相等，两两垂直；四个内角相等，都是90度；对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：如图，连接AG．
、F分别是AP、GP的中点，
为的中位线，
，AG为定值．
线段EF的长不改变．
故选：C．
因为G不动，所以AG不变．根据三角形中位线定理可得，因此线段EF的长不变．
本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AG不变，则对应的中位线的长度就不变．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
利用菱形、矩形和正方形的性质进行判断．
本题考查了菱形、矩形和正方形的性质．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
正方形ABCD的面积．
故选：B．
先根据正方形的性质得出，然后在中，利用勾股定理得出，即可得出正方形的面积．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么也考查了正方形的性质．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握这些判定定理是本题的关键．根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定依次判断可求解．
【解答】
解：A、两组对边平行或两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项A不合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C不合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D不合题意；
故选：B．  

11.【答案】B
 

【解析】解：如图，设，正方形ORQP的边长为b．

由题意：，
，
正方形EFGH的面积，
故选：B．
如图，设，正方形ORQP的边长为b，构建方程即可解决问题；
本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平方差公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：如图所示：
四边形ABCD是正方形，
，，
正方形ABCD的面积；
故选：C．
由正方形的对角线互相垂直可得：正方形的面积两条对角线乘积的一半，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质和正方形面积的计算方法；熟练掌握正方形的性质，得出正方形的面积两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．
 

13.【答案】或
 

【解析】略
 

14.【答案】或
 

【解析】解：四边形ABCD是菱形，，，
，，
如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作交FA的延长线于G，

则，，，
在中，；
如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作于G，

则，，
在中，，
综上所述，BF长为或．
故答案为：或．
作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC的两边两种情况补成以BF为斜边的，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形．
 

15.【答案】
 

【解析】解：正方形ABCD的边长为1，
，，
，
则：，
，，，
作的第n个正方形的面积，
第2019个正方形的面积是，
故答案为：．
由正方形ABCD的边长为1，根据正方形的性质，即可求得，的值，则可求得，，的值，即可求得规律所作的第n个正方形的面积．
此题考查了正方形的性质．解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．根据正方形的性质得到，推出，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交于E，则线段EF的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为的长度最小值，，
，，
，
，
，
的长度最小值为，
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】解：如图，作DE的中垂线交CD于G，

则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，
连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，
设，则，，
中，
，
解得，
，
同理可得，，
四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
，
中，，
，
故答案为：
作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到中，，即可得到
本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线经过两个圆心的直线，垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
 

18.【答案】
 

【解析】【试题解析】

解：如图，大正方形面积为，
则小正方面积为，
所求小正方形的边长为：．
答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为．
故答案为：．
观察图形可知该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的，先根据正方形面积公式求出大正方形面积，从而得到小正方形面积，进一步得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长．
考查了七巧板，关键是得到该“七巧板”中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的．

19.【答案】解：证明：连接EC，AC，

四边形ABCD是正方形，，，
．
四边形EMCN为矩形．
．
又垂直平分AC，
．
．
过点E作于点F．
在中，，，
，．
是正方形ABCD的对角线，
 ．
．
，
即正方形的边长为．
 

【解析】见答案．
 

20.【答案】证明：在和中，

．
．

，
，
，
，

，
四边形ABCD为平行四边形．
又，
四边形ABCD为菱形．

，

设，，

，
，

，

，
．

，
．

四边形ABCD为菱形，
四边形ABCD为正方形．

【解析】本题考查了全等三角形的判定及性质，菱形的判定，正方形的判定，掌握好判定定理是解题的关键．
先证四边形ABCD为平行四边形，再由一组邻边相等，便可证得四边形ABCD为菱形；
证菱形ABCD的一个角为直角，便可证得菱形ABCD为正方形．
 

21.【答案】证明：≌，
，，
，，
，
，
，
≌．

解：设，则，，
≌，
，
，
，
，
，
，
解得，或舍弃，
正方形ABCD的边长为6．
 

【解析】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
想办法证明，根据SAS证明三角形全等即可．
设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
 

22.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，，
．
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据条件可以得出，，从而可以得出≌，就可以得出，就可以得出结论．
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定，在解答本题时，证明三角形全等是关键．
 

23.【答案】解：如图所示，过E作于M点，过E作于N点，
正方形ABCD，
，，
，且，
四边形EMCN为正方形，
四边形DEFG是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
≌，
，
矩形DEFG为正方形，
的值为定值，理由如下：
矩形DEFG为正方形，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
是定值．
 

【解析】过E作于M点，过E作于N点，即可得到，然后判断，得到≌，则有即可；
同的方法证出≌得到，得出即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
 

24.【答案】解：如图1中，正方形ABCD即为所求．
如图2中，平行四边形ABCD即为所求．

 

【解析】根据正方形的判定方法即可解决问题答案不唯一．
根据平行四边形的判定方法即可解决问题答案不唯一．
本题考查作图应用与设计，正方形的判定和平行四边形的判定解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：线段CE和BG的数量及位置关系：，．
证明：，
，
在和中，

≌，
，，
设AB与EC交于点P，

，，，
，
；
如图1，过点E作交GA延长线于H，

，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，而，
与面积相等．
．
 

【解析】

【分析】
此题属于四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积公式，正方形的面积公式的综合应用，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用等底等高的三角形面积相等，得出．
易证，即可证明≌，可得，，即可证明；
先判断出，从而≌，即可得出，最后用三角形的面积公式计算即可得出结论；
由结论得出，，而和面积相等，最后用求得七部分面积的和即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图2，

四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形，，
，，与全等，
同的方法可得，，








故答案为．