高中数学沪教版高中三年级 第一学期16.4组合教学设计

组合

【教学目标】

1．理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；

2．能正确认识组合与排列的联系与区别 。

【教学重难点】

教学重点：组合的概念和组合数公式

教学难点：组合的概念和组合数公式

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教学准备】

多媒体、实物投影仪

【内容分析】

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题。排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关。与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要。排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系。   

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序。教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通。

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别。

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列。在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题。

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述。也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程。据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）。要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题。久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高。

【教学过程】

一、复习引入：

1．分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法

2．分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法

3．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

4．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

5．排列数公式：（）

6．阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定。

7．排列数的另一个计算公式：=

8．提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合。

二、讲解新课

1．组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：（1）不同元素；（2）“只取不排”——无序性；（3）相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数。用符号表示。

3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：

        组 合                  排列

由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法。由分步计数原理得：＝，所以，。

（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝。

（3）组合数的公式：

或

三、讲解范例：

例1．计算：（1）；  （2）；    

（1）解： ＝35；

（2）解法1：＝120.

     解法2：＝120.

例2．求证：。

证明：∵

＝

＝

∴

例3．设 求的值

 解：由题意可得：  ，解得，

∵，   ∴或或，

当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

例4．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

解：。

（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？

解：问题可以分成2类：

第一类 2名男生和2名女生参加，有中选法；

第二类 3名男生和1名女生参加，有中选法

依据分类计数原理，共有100种选法

错解：种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多

例5．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，，，

所以，一共有++＝100种方法。

解法二：（间接法）

四、课堂练习：

1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？

2．名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）

．        ．        ．           ．

3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）

   ．对        ．对         ．对           ．对

4．设全集，集合、是的子集，若有个元素，有个元素，且，求集合、，则本题的解的个数为  （ ）

  ．        ．        ．           ．

5．从位候选人中选出人分别担任班长和团支部书记，有  种不同的选法

6．从位同学中选出人去参加座谈会，有  种不同的选法

7．圆上有10个点：

（1）过每2个点画一条弦，一共可画     条弦；

（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画   个圆内接三角形

8．（1）凸五边形有    条对角线；（2）凸五边形有     条对角线

9．计算：（1）；（2）。

10.个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？

11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？

12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？

13．写出从这个元素中每次取出个的所有不同的组合

答案：1． （1）组合， （2）排列  2． B  3． A  4． D   5． 30  6． 15 

7． （1）45  （2） 120    8． （1）5（2）

9． （1）455；   （2）      10. （1）10；   （2）20

11． （1）；   （2）

12．

13． ；   ；    ；   ；   

五、小结

组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理

【板书设计】