苏科版九年级上册数学圆压轴专题讲义：与圆有关的线段最值问题类问题探究（教师版+学生版）学案

这是一份苏科版九年级上册数学圆压轴专题讲义：与圆有关的线段最值问题类问题探究（教师版+学生版）学案，文件包含苏科版九年级上册数学圆压轴专题讲义与圆有关的线段最值问题类问题探究学生版docx、苏科版九年级上册数学圆压轴专题讲义与圆有关的线段最值问题类问题探究教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共39页， 欢迎下载使用。

线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有：
特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证；
几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题
数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理；
轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用
下面我们就有关圆环境下的线段最值类问题进行探讨：
知识点睛
如下图，点P在⊙O上运动，在圆上找一点P使得PA最小（大）．
如图，当P为OA连线与⊙O交点时，PA最小， 当P在AO延长线与⊙O交点P′时，PA最大.
说明：在部分习题中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，依据定弦定角定圆（弧）或者依据定点定长定圆分析出动点的轨迹图形，作出动点所在的圆（或一段弧）将是我们面临的最大的问题．在明确定了动点的轨迹为圆的基础下，我们再来处理求最大最小值类的线段最值的问题.
【小结】
几何中的最值问题变幻无穷,尝试在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹”等知识源, 进行“化折为直”，实现问题的转化与解决.
典例剖析
类型一：动点在明圆上运动产生的线段最值
例1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是（ ）
A．6B．2+1C．9D．7
【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，根据三角形的中位线求出OP1及半径OE，即可求出P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，由此得到答案.
类型二：动点在隐圆上运动产生的线段最值
例2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为 ．
【分析】连接CN，根据CM是⊙O的直径，得到∠CNM＝90°，根据邻补角的定义得到∠CNB＝90°，根据圆周角定理得到点N在以BC为直径的⊙O′上，推出当点O′、N、A共线时，AN最小，如图2，根据勾股定理即可得到结论．
强化练习一：明圆上的线段最值
1．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，求P点的坐标为___________.
2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_______________.
5、如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是________________.
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值
2﹣1 ．
7．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点E （4，0），以AO为直径作⊙D，点G是⊙D上一动点，以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF，连接DF，则DF的最大值是_____．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是_____．
9．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是 ．
强化练习二：隐圆上的最值
1．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．3
2.如图，点D在半圆O上，半径OB=61，AD=10，点C在DB上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）.
A.5 B.6 C.7 D.8
3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( ) .
A．3B．1+C．1+3D．1+
4．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB=90°.连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=23，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB=120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A．43 -4 B．43 C．4 D．43+4
6. （2019年十堰市）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ ．
7．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是_______．
8．如图，△ABC中，，，，是上一个动点，以为直径的交于，则线段的最小值是________．
9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为
10．如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为_____．
11．（2019年锦州市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．
12．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，P 是边 AB 上的动点（不与点 B 重合），将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△B＇CP，连接 B＇A，B＇A 长度的最小值是 m，B＇A 长度的最大值是 n，则 m+n 的值等于 ______．

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（4，3），P是x轴上的一个动点．作OQ⊥AP，垂足为Q，则点Q到直线AB的距离的最大值为_____．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，则AD的最小值为_____．
15．平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（﹣1，﹣1），点 P 线段 AB上一动点，将线段 AB 绕原点 O 旋转一周，点 P 的对应点为 P′，则 P′C 的最大值为_____，最小值为_____．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴正半轴和直线y=x（x＞0）上的动点，以AB为边在右侧作矩形ABCD，AB=2，BC=1．
（1）若OA=6时，则△ABO的面积是 ；
（2）若点A在x轴正半轴移动时，则CO的最大距离是 ．
17．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E在线段AB上．点F在线段AD上
（1）沿EF折叠，使A落在CD边上的G处（如图），若DG＝3，求AF的长；求AE的长；
（2）若按EF折叠后，点A落在矩形ABCD的CD边上，请直接写出AF的范围．
18．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，23），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（1）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（3）若0°＜α＜360°，求（2）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．