人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律2 重力势能学案

2．重 力 势 能

一、重力做的功

1．重力做功与势能的关系：物体下降时重力做正功，势能减小；物体被举高时重力做负功，势能增大。

2．重力做功关系式：WG＝mg·Δh＝mgh1－mgh2。

3．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体的路径无关。

二、重力势能

1．定义：物体处于一定的高度而具有的能。

2．公式：Ep＝mgh。

3．单位：焦耳，符号J。

4．标矢性：重力势能是标量， 但有正负之分。

5．重力做功与重力势能的关系式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。

(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少。即WG>0， Ep1>Ep2。

(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG<0， Ep1<Ep2。

三、重力势能的相对性

1．参考平面：把高度规定为零的水平面。任何物体在该平面上的重力势能为零。参考平面的选取是任意的，通常情况下选取地面为参考平面。

2．相对性：物体的重力势能是相对的，它是相对于零势能参考面而言的。物体的重力势能可以取正、零、负值，其正负不表示方向，只表示物体位于参考平面的上方或下方。

四、弹性势能

1．弹性势能：物体因为发生弹性形变而具有的能。

2．影响弹性势能的因素：一个物体弹性势能的大小，取决于弹性形变与劲度系数的大小。

3．弹性势能的改变：物体弹性势能的改变总是与弹力做功相对应，即弹力对外做了多少功，弹性势能就减少多少。反之，克服弹力做了多少功，弹性势能就增大多少。

4．势能：也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。

学习重力势能的概念后，我们分析判断下列哪些说法是正确的？

①重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。

②重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。

③克服重力做功，物体的重力势能一定增加。

④重力做功的大小与选取的零势能参考平面有关。

⑤劲度系数不变的弹簧的弹性势能的大小取决于弹性形变的大小。

⑥弹力对外做了多少功，弹性势能就增加了多少。

⑦重力势能有正负，表示方向与大小。

说法正确的有①②③⑤。

如图所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的。

思考：沿三条轨道下滑，重力做的功一样多吗？为什么？

提示：一样多。重力做功只与初末位置的高度差有关，与路径无关，与轨道是光滑还是粗糙无关。

一、重力做功与重力势能改变的关系(科学思维——科学推理)

假设一个物体沿曲面向下运动，高度由h1 降为h2。

证明：重力所做的功WG＝mgh1 － mgh2。

提示：我们把整个路径分成许多段很短的间隔，经过的路程分别为AA1，A1A2，A2A3…由于每一段都很小，因而都可以近似地看作一段倾斜的直线。设每段小斜线的高度差分别是Δh1，Δh2，Δh3 ，…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1，mgΔh2，mgΔh3 ，… ，物体通过整个路径时重力做的功，等于重力在每小段上做的功的代数和，即

WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋mgΔh3＋…

＝mg(Δh1＋Δh2＋Δh3 ＋ …)

＝mgΔh

＝mgh1 － mgh2

　 功是能量转化的量度，重力所做的功等于物体重力势能的减少量。

【典例】如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h。

(1)足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球克服重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？

(2)足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能减少了多少？

(3)足球由位置1运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能变化了多少？

【解题探究】

(1)重力做功的计算式是什么？

提示：WG＝mgh。

(2)重力做功与重力势能的关系是什么？

提示：重力做的功是重力势能的减少量。

【解析】(1)足球由位置1运动到位置2时，重力所做的功为－mgh，足球克服重力所做的功为mgh，足球的重力势能增加了mgh。

(2)足球由位置2运动到位置3时，重力所做的功为mgh，足球的重力势能减少了mgh。

(3)足球由位置1运动到位置3时，重力做功为零，重力势能变化为零。

答案：见解析

　公式中两个h的区别

1．重力做功W＝mgh，其中h指物体运动初点与末点之间的高度差；

2．重力势能Ep＝mgh，其中h指物体所在位置到0势能面的高度差，两个h的参考点不同，注意区别。

1．(多选)关于重力做功和物体的重力势能，下列说法中正确的是(　　)

A．当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少

B．物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加

C．地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值

D．重力做功的多少与参考平面的选取无关

【解析】选A、B、D。物体重力势能的大小与参考平面的选取有关，故C错误；重力做正功时，物体由高处向低处运动，重力势能一定减少，反之，物体克服重力做功时，物体由低处向高处运动，重力势能一定增加，故A、B正确；重力做多少功，物体的重力势能就变化多少，重力势能的变化与参考平面的选取无关，故D正确。

2．某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功

B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功

C．从A到B重力做功mg(H＋h)

D．从A到B重力做功mgH

【解析】选D。重力对皮球所做的功只与初、末位置的高度差有关，大小为WG＝mgH，故正确选项为D。

【拔高题组】

1．质量为100 g的球从1.8 m的高处落到水平板上，又弹回到1.25 m的高度，在整个过程中重力对球所做的功为多少？球的重力势能变化了多少？(g取

10 m/s2)

【解析】由重力做功的特点可知，此时重力所做的功为

WG＝mgH＝mg(h1－h2)＝0.1×10×(1.8－1.25) J

＝0.55 J。

由重力做功与重力势能的变化之间的关系可知，此时重力做正功，重力势能应减少，

ΔEp＝－WG＝－0.55 J，即减少0.55 J。

答案：0.55 J　减少0.55 J

2．吊车以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？(不计空气阻力)

【解析】设吊车钢索对物体的拉力为F，

物体的加速度a＝，方向向下，

由牛顿第二定律得mg－F＝ma，

故F＝mg－ma＝mg，方向竖直向上，

所以拉力做的功WF＝Fh＝mgh。

重力做的功WG＝－mgh，

即此过程中物体克服重力做功mgh。

又ΔEp＝Ep2－Ep1＝－WG＝mgh，

因此物体的重力势能增加了mgh。

答案：mgh　mgh　增加了mgh

二、重力势能(物理观念——能量观念)

准备两个大小相同的、质量不同的光滑小球，在一盆中放入适量的细沙。

思考1：在沙盆上方同一高度由静止释放两个小球，小球落入细沙时会出现什么现象？

提示：质量大的落入沙坑的深度较大。

思考2：让同一小球分别从不同的高度由静止落下，又会出现什么现象？

提示：高度越高落入沙坑的深度越深。

重力势能的“四性”

【典例】如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，g取9.8 m/s2，则

(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？

(2)以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？

(3)以上计算结果说明什么？

【解析】(1)以桌面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度

h1＝0.4 m，

因而物体具有的重力势能

Ep1＝mgh1＝2×9.8×0.4 J＝7.84 J。

物体落至地面时，物体的重力势能

Ep2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 J。

因此物体在此过程中重力势能减少量

ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J。

(2)以地面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度

h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m。

因而物体具有的重力势能

Ep1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J。

物体落至地面时重力势能Ep2′＝0。

在此过程中物体重力势能减少量

ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝23.52 J－0＝23.52 J。

(3)通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关。

答案：(1)7.84 J　23.52 J　(2)23.52 J　23.52 J   (3)见解析

　重力势能的三种求解方法

(1)根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由Ep＝mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h高度处的重力势能。

(2)由重力做功与重力势能变化的关系求解：

由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2。

(3)由等效法求重力势能：重力势能的变化与运动过程无关，只与初、末状态有关。ΔEp＝mgΔh＝Ep2－Ep1。

1．下列关于重力势能的说法正确的是(　　)

A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大

C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了

D．在地面上的物体具有的重力势能一定等于零

【解析】选C。物体的重力势能与参考平面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A错误；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于

－3 J的重力势能，C正确；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D错误。

2．(2021·湖州高一检测)一个质量为0.5 kg的小球从5 m高处自由下落，着地后反弹起1 m，取地面为参考平面，并且g取10 m/s2，则(　　)

A．初、末位置小球的重力势能分别为25 J和－5 J

B．在下落和反弹过程中重力做功分别为25 J和5 J

C．由初位置到末位置重力做功20 J

D．重力做的功等于末位置重力势能减初位置的重力势能

【解析】选C。初位置小球的重力势能为Ep1＝mgh1＝0.5×10×5 J＝25 J，末位置小球的重力势能为Ep2＝mgh2＝0.5×10×1 J＝5 J，故A错误；在下落过程中重力做功W1＝mgh1＝0.5×10×5 J＝25 J，在反弹过程中重力做功W2＝－mgh2＝－0.5×10×1 J＝－5 J，故B错误；由初位置到末位置重力做功W＝mg＝20 J，故C正确；根据功能关系可知，重力做的功等于初位置重力势能减末位置的重力势能，故D错误。

【补偿训练】

(多选)竖直上抛一个小球，从抛出到落回原抛出点的过程中，它的速度、重力势能、位移、加速度随时间变化的函数图像正确的是(不计空气阻力，以竖直向上为正方向，如图中的曲线为抛物线，抛出点为零势能点，重力加速度

为g)　  (　　)

【解析】选A、D。以抛出点为零势能点，不计空气阻力，以竖直向上为正方向，则：竖直上抛运动的加速度恒为g，向下为负，所以a＝－g，故A正确；将一物体竖直向上抛出，不计空气阻力，物体做匀减速直线运动，则有v＝v0－gt，v­t图像应是向下倾斜的直线，初速度大于零，故B错误；位移的大小x＝v0t－

gt2，所以x­t图像是开口向下的抛物线，故C错误；以抛出点为零势能点，重力势能恒为正，Ep＝mgh＝mg(v0t－gt2)，Ep­t是开口向下的抛物线，故D正确。

三、弹性势能(物理观念——能量观念)

将圆珠笔的弹簧取出，再用硬卡纸做个小纸帽，套在弹簧上。用力把小纸帽往下压，使弹簧产生一定的弹性形变，然后迅速放开手，看看小纸帽能弹多高。

思考1：用大小不同的力使弹簧产生大小不同的弹性形变，重复做几次，看看小纸帽弹起的高度有什么不同？

提示：用力越大，形变量越大，小纸帽弹起的高度越高。

思考2：换用不同劲度系数的弹簧做此实验，看看小纸帽弹起的高度又有什么不同？

提示：形变量相同的弹簧，劲度系数越大，小纸帽弹起的高度越高。

1．弹性势能的产生及影响因素：

2.弹性势能与弹力做功的关系：

如图所示，O为弹簧的原长处。

(1)如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹力做负功，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。

(2)如物体由A向O运动或者由A′向O运动时，弹力做正功，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。

(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹性势能的变化量的负值总等于弹力对外做功的大小，表达式为W弹＝－ΔEp。

【知识拓展】弹性势能的表达式

(1)弹簧弹力随形变量x的变化图线及围成面积的意义，类比v­t图像的面积表示位移，F­x图像与x轴所围的面积表示弹力做功，如图所示。所以当弹簧的形变量为x时，弹力做功W弹＝－kx·x＝－kx2。

(2)弹性势能的大小：Ep＝－W弹＝kx2。

【典例】如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　)

A.弹簧的弹性势能逐渐减小

B．弹簧的弹性势能逐渐增大

C．弹簧的弹性势能先增大后减小

D．弹簧的弹性势能先减小后增大

【解析】选D。弹性势能的变化是由弹力做功引起的，弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。在力F作用下物体处于静止状态时，弹簧处于压缩状态，撤去力F后，在物体向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大。

　弹性势能理解时应注意的两个问题

(1)弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。

(2)弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。

1．(2021·温州高一检测)如图所示，放置于光滑水平桌面上的轻质弹簧，左端固定在竖直挡板上。现使一滑块沿桌面以某一向左的初速度滑向弹簧，在滑块接触到弹簧直到速度减为零的过程中(　　)

A.弹簧的弹性势能越来越大，弹力也越来越小

B．弹簧的弹性势能越来越小，弹力也越来越大

C．弹簧的弹性势能越来越小，弹力也越来越小

D．弹簧的弹性势能越来越大，弹力也越来越大

【解析】选D。弹簧弹力根据胡克定律F＝kx可知，劲度系数越大，形变量越大，弹簧弹力越大，在滑块接触到弹簧直到速度减为零的过程中，弹簧压缩量越来越大，则弹簧的弹性势能越来越大，弹力也越来越大。故选D。

2．如图所示，在弹性限度内，将一轻质弹簧从伸长状态变为压缩状态的过程中，其弹性势能的变化情况是(　　)

A.一直减小     B．一直增大

C．先减小再增大   D．先增大再减小

【解析】选C。弹簧的形变量越大，弹性势能越大，将一轻质弹簧从伸长状态变为压缩状态的过程中，弹簧的形变量先减小后增大，所以弹性势能先减小后增大；故A、B、D错误，C正确。

【拔高题组】

1．如图所示，撑杆跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑杆跳起过程的说法正确的是(　　)

A．运动员撑杆刚刚触地时，杆弹性势能最大

B．运动员撑杆跳起到达最高点时，杆弹性势能最大

C．运动员撑杆触地后上升到最高点之前某时刻，杆弹性势能最大

D．以上说法均有可能

【解析】选C。杆形变量最大时，弹性势能最大，杆刚触地时没有形变，人到最高点时，杆已由弯曲到基本完全伸直。故选项C正确。

2．一竖直放置的弹簧下端固定在水平地面上，一小球从弹簧的正上方高h处自由下落到弹簧上端，如图所示，经几次反弹后小球最终静止在弹簧上某一点A处，则(　　)

A.h越大，小球静止时弹簧的压缩量越大

B．小球静止时弹簧的压缩量与h无关

C．h越大，小球最终静止时弹簧的弹性势能越大

D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大

【解析】选B。小球最终静止在A点时，通过受力分析可知小球所受重力与弹簧的弹力平衡，即mg＝kx，故可得小球静止时弹簧的压缩量为x＝，与h无关，选项A错误、B正确；弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量有关，与h无关，选项C错误；小球在A点时弹簧的形变量一定，则小球在A点时弹簧的弹性势能恒定，选项D错误。

【拓展例题】考查内容：涉及弹簧的重力势能的计算

【典例】如图所示，质量为M的物体放在水平地面上，物体上方安装一劲度系数为k的轻弹簧，在弹簧处于原长时，用手拉着其上端P点很缓慢地向上移动，直到物体脱离地面向上移动一段距离。在这一过程中，P点的位移为H，则物体重力势能的增加量为(　　)

A.MgH        B．MgH＋

C．MgH－     D．MgH－

【解析】选C。物体离开地面时，弹簧的伸长量x＝，物体上升的距离h＝H－x，则物体重力势能的增加量ΔEp＝Mgh＝MgH－，故C正确。

高空抛物

高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”。近年来，高空坠物致人伤亡的案例不断见诸报端，该类顽疾的久治不愈拷问着城市管理，也拷问着立法部门，事后赔偿、追责问题能否妥善处理也给法院审判执行工作带来不小挑战。2021年1月1日十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，对高空抛物责任由“有关机关”修改为了“公安等机关”。

一些居民楼尤其是老旧小区的阳台，堆砌杂物、盆栽，甚至悬挂拖把等现象屡见不鲜，甚至有些空调外挂机上都堆放着随时有坠落风险的杂物。

探究：一个小小的苹果，我们看着好像没什么力量，但是如果从高空中下落，造成的危害足以使人残废，甚至死亡。这是为什么呢？

解释：苹果的质量不大，但是如果位置过高，那么苹果就具有较大的重力势能，从高空坠落时，就会对人造成较大的伤害。

1．(水平1)图中虚线是一跳水运动员在跳水过程中其重心运动的轨迹，则从起跳至入水的过程中，该运动员的重力势能(　　)

A．一直减小       B．一直增大

C．先增大后减小      D．先减小后增大

【解析】选C。运动员从起跳至入水过程中，其重心位置先升高后降低，重力先做负功后做正功，其重力势能先增大后减小，故C正确。

2．(水平2)如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是(　　)

A.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2      B．ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2

C．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2      D．ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2

【解析】选B。小球速度达到最大的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应于同一位置，则ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1>ΔE2，B正确。

3．(水平2)如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(　　)

A．    B．    C．mgh    D．0

【解析】选B。根据重力做功的公式，W＝mg(h1－h2)＝。选项B正确。

4．(水平2)一物体以初速度v竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能—路程图像应是四个图中的(　　)

【解析】选A。以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s时，克服重力做功mgs，重力势能Ep＝mgs，即重力势能与路程s成正比；下降阶段，物体距抛出点的高度h＝2h0－s，其中h0为上升的最大高度，故重力势能Ep＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降阶段，随着路程s的增大，重力势能线性减小，选项A正确。