河南省2021—2022年八年级数学上册第一次月考模拟试卷（卷一）

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1．在实数3.14，，1.，，，，，中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：3.14是有限小数，属于有理数；
＝3，是整数，属于有理数；
1.是循环小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，共3个．
故选：C．
2．的平方根是（ ）
A．B．﹣C．±D．
【解析】解：的平方根是±；
故选：C．
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）B．（3，﹣3）C．（﹣6，4）D．（﹣2，﹣5）
【解析】解：由图得点位于第四象限，
故选：B．
4．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】解：把斜边定为c，
A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
A．2B．C．D．
【解析】解：AC＝＝＝，
则AM＝，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为：﹣1，
故选：C．
6．估计的值在（ ）
A．4与5之间B．5与6之间C．6与7之间D．7与8之间
【解析】解：∵，
根据算术平方根的意义可知，5＜＜6，
∴估计的值在5与6之间．
故选：B．
7．如图，是一扇高为2m，宽为1.5m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号B．②号C．③号D．均不能通过
【解析】解：因为＝2.5，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板．
故选：C．
8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（ ）
A．12cmB．14cmC．20cmD．24cm
【解析】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
9．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（ ）
A．13海里B．16海里C．20海里D．26海里
【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），
根据勾股定理得：＝26（海里）．
析：离开港口2小时后两船相距26海里，
故选：D．
10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）
A．121B．110C．100D．90
【解析】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∴AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110，
故选：B．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，满分15分）
11．若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
12．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝ 6 ．
【解析】解：由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝8﹣3＝5；
在Rt△CEF中，EF＝DE＝5，CE＝3，由勾股定理可得：CF＝4，
若设AD＝AF＝x，则BC＝x，BF＝x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
故BF＝x﹣4＝6．
故答案为：6．
13．比较大小： ＜ ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【解析】解：﹣＝﹣＝，
∵（2）2＝20，52＝25，
∴2＜5，
∴2﹣5＜0，
∴＜0，
∴＜，
故答案为：＜．
14．如图，长方形ABCO中，AB＝2，BC＝5，且如图放置在坐标系中，若将其沿着OB对折后，A′为点A的对应点，则OA′与BC的交点D的坐标为 （﹣，2） ．
【解析】解：∵长方形ABCO中，OA∥BC，
∴∠AOB＝∠CBO，
由折叠的性质得，∠AOB＝∠BOD，
∴∠DBO＝∠BOD，
∴BD＝OD，
设CD＝x，则BD＝OD＝5﹣x，
∵OC＝AB＝2，
∴（5﹣x）2＝x2+22，
∴x＝，
∴CD＝，
∴D（﹣，2），
故答案为：（﹣，2）．
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 或 ．
【解析】解：如图，
由翻折的性质，得
AB＝AB′，BE＝B′E．
①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN＝x，得
B′E＝．
△B′EN∽△AB′M，
＝，即＝，
x2＝，
BE＝B′E＝＝．
②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN＝x，得
B′E＝，
△B′EN∽△AB′M，
＝，即＝，
解得x2＝，BE＝B′E＝＝，
故答案为：或．
三．解析题（共7小题，满分55分）
16．（8分）计算下列各题：
（1）9﹣7+5；
（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2020×（π﹣）0﹣+．
【解析】解：（1）9﹣7+5
＝9﹣14+20
＝15．
（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2020×（π﹣）0﹣+
＝4﹣1×1﹣4+5
＝4．
17．（4分）在数轴上作出表示的对应点．
【解析】解：如图：
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，
（1）描出点A（﹣3，0），点B（2，0）；
（2）如果三角形ABC的面积为10，且点C在y轴上，试确定点C的坐标，并画出三角形ABC．
【解析】解：（1）点A，点B如图所所示，
（2）设点C（0，m）
∵S△ABC＝10，
∴•|m|•5＝10，
m＝4或﹣4，
∴点C坐标（0，4）或（0，﹣4），
△ABC如图所示．
19．（6分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
【解析】解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
20．（1）发现．①；②；③；…………写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律 ；
（3）证明这个猜想．
【解析】解：（1）由例子可得，
④为：，⑤，
故析案为，，
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：，
故答案为：，
（3）证明：∵n是正整数，
∴．
即．
故答案为：∵n是正整数，
∴．
即．
21．（10分）阅读下面的文字，解析问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵＜＜，即2＜＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．
请解析：（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣4 ．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值；
（3）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【解析】解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是 ，
故析案为：4，﹣4；
（2）∵2＜＜3，
∴a＝﹣2，
∵3＜＜4，
∴b＝3，
∴a+b﹣＝﹣2+3﹣＝1；
（3）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴11＜10+＜12，
∵10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+﹣11＝﹣1，
∴x﹣y＝11﹣（﹣1）＝12﹣，
∴x﹣y的相反数是﹣12+；
23．（10分）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）则BC＝ 12 cm；
（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ＝ 13cm ；
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【解析】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝16cm，AC＝20cm
∴BC＝＝＝12（cm）．
故答案为：12；
（2）∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PC＝PA＝t，PB＝16﹣t，
在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2
解得：t＝．
此时，点Q在边AC上，CQ＝（cm）；
故答案为：13cm．
（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
∴，
∴＝．
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．