2020-2021学年江西省赣州市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）12月月考数学（文）试卷北师大版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知A=x∈Z|lg2x−2≤2，B=x|−x2+4x−3cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

4. 已知sinθ+20∘=15，则sin2θ−50∘的值为( )
A.−2325B.2325C.4625D.25

5. 已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，若E，F分别为AB，BC的中点，则DE→⋅DF→=( )
A.8B.10C.12D.14

6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=a7+1,a4+a7=4，则a10=（ ）
A.133B.4C.113D.143

7. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m→=(3,−1)，n→=(csA,sinA)．若m→⊥n→，且acsB+bcsA=csinC，则角A，B的大小分别为( )
A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3

8. 函数y=ln|x|x的图象大致为( )
A.B.
C.D.

9. 已知变量x，y满足 x≥1，x−y−2≤0，4x+y−8≤0， 则z=3−2x+y 的最小值是( )
A.181B.127C.19D.9

10. 已知a，b为正实数，直线y=x−a与曲线y=lnx+b相切，则1a+2b的最小值是( )
A.42B.22C.3+42D.3+22

11. 设函数fx=13x3−4x+13，函数gx=x2−2bx+1，若对于∀x1∈1,2，∃x2∈0,1，使fx1≥gx2成立，则实数b的取值范围是( )
A.72,+∞B.58,+∞C.−∞,72D.−∞,58

12. 记函数fx=lnx+1+1−x的定义域为A，函数gx=ex−e−x+sinx+1，若不等式g2x+a+gx2−1>2对x∈A恒成立，则a的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.2,+∞C.−2,+∞D.[−2,+∞)
二、填空题

已知平面向量 a→=(2, −2)，b→=(−1, m)，若a→⊥b→，则|b→|=________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30∘，△ABC的面积为32，则b=________．

已知函数fx=x3+ax2+bx−a2−7a在x=1处取得极大值10，则ab的值为________.

已知函数fx=xlnx−2x，x>0，x2+54x，x≤0的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=−2的对称点在kx−y−3=0的图象上，则实数k的取值范围是________．
三、解答题

已知向量m→=csx,3sinx，n→=csx,csx且函数fx=m→⋅n→.
(1)求函数fx在x∈−π2,0时的值域；

(2)设α是第一象限角，且fα2+π6=1110，求 sinα+π4cs2π+2α 的值．

已知公差不为零的等差数列an中，a3=7，又a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；

(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Sn.

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+3asinC−b−c=0.
(1)求A的值；

(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b，c的值．

已知函数fx=2x3−3x2−12x+m.
(1)若m=1，求曲线y=fx在1,f1处的切线方程；

(2)若函数fx有3个零点，求实数m的取值范围．

已知数列an中，a1=1且a1+a2+⋯+an=an+1−1．数列bn中，b1=1且bn=nn−1bn−1(n>1，n∈N∗).
(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和为Tn，并求使得Tn≥16m2−5m恒成立的最大正整数m的值．

已知函数f(x)=12x2−alnx−a(1≤x≤e)，g(x)=ex−x−1，其中a∈R，e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的最小值；

(2)若对于任意的x1∈[0, 1]，都存在唯一的x2∈[1, e]，使得g(x1)=f(x2)，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵A=x∈Z|2a=20.6>20=1，
b=0.60.2，
∴c>a>b．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
二倍角的余弦公式
【解析】
利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【解答】
解：∵ sinθ+20∘=15，
∴ sin2θ−50∘=sin2θ+40∘−90∘
=−cs2θ+40∘
=2sin2θ+20∘−1
=2×125−1
=−2325.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
平面向量数量积的性质及其运算律
平面向量在解析几何中的应用
【解析】
根据题意，利用平面向量的线性运算即可直接求解．
【解答】
解：如图，
因为DA→⊥DC→，AE→⊥CF→，
所以DA→⋅DC→=AE→⋅CF→=0，
所以DE→⋅DF→
=(DA→+AE→)⋅(DC→+CF→)
=DA→⋅DC→+DA→⋅CF→+AE→⋅DC→+AE→⋅CF→
=0+2×1×cs0+2×4×cs0+0
=10．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式求和公式即可判断出结论．
【解答】
解：设等差数列首项为a1，公差为d．
∴4a1+6d=a1+6d+1a1+3d+a1+6d=4．
∴a1=13d=1027．
∴a10=a1+9d=113．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
弦切互化
两角和与差的正弦公式
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为m→⊥n→，
所以3csA−sinA=0，
即tanA=3，
因为A∈(0,π)，
所以A=π3．
因为acsB+bcsA=csinC，
由正弦定理可得sinAcsB+sinBcsA=sin2C，
即sinAcsB+sinBcsA
=sinA+B=sinC=sin2C，
因为C∈(0,π)，
所以C=π2，
所以B=π−A−C=π−π3−π2=π6．
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性和特殊值排除即可求解.
【解答】
解：设fx=ln|x|x，
则f−x=ln|−x|−x=ln|x|−x=−fx，
∴ fx是奇函数，排除A，B；
当x趋近于+∞时，y>0，故排除D.
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
首先画出可行域，设t=−2x+y，并令t=0，作出初始目标函数y=−2x表示的直线，根据图象判断目标函数的最大值.
【解答】
解：作出可行域如图所示：
易得A(1,4)，B2,0，C1,−1，
令t=−2x+y，即y=2x+t，
当直线y=2x+t过点B时，
此时直线y=2x+t在y轴上的截距最小，t取得最小值，
将B2,0代入t=−2x+y可得，
tmin=−2×2+0=−4，
此时z=3−2x+y 有最小值，
最小值为zmin=3−4=181.
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．
【解答】
解：根据y=ln(x+b)得y′=1x+b,
由切线的方程y=x−a可得切线的斜率为1，
可得切点的横坐标为1−b，
∴ 切点为(1−b,0)，
代入y=x−a，得a+b=1，
∵ a，b为正实数，
∴ 1a+2b=a+b1a+2b
=3+ba+2ab≥3+22，
当且仅当ba=2ab，a+b=1，
即a=2−1，b=2−2时取等号，
故1a+2b的最小值为3+22.
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
先利用导数求得函数fx在区间1,2上的最小值，再分b≤0，b≥1，及0−m(x2−1)，
由m(x)是R上的奇函数且为增函数，
∴m2x+a>m(1−x2)，
∴2x+a>1−x2，
∴a>−x2−2x+1=−x+12+2，
当x∈−1,1时，−x+12+20，
∴ b=3+1.
故答案为：3+1.
【答案】
−23
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数f(x)=x3+ax2+bx−a2−7a，
所以f′(x)=3x2+2ax+b，
因为x=1时，f(x)取得极大值10，
所以f′(1)=3+2a+b=0，f(1)=1+b−a2−6a=10，
解得a=−2，b=1或a=−6，b=9，
经检验当a=−2，b=1时f(x)取得极小值，舍去．
所以a=−6，b=9．
所以ab=−69=−23.
故答案为：−23.
【答案】
(−∞,34)∪(1,+∞)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
分段函数的应用
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
本题考查了函数的性质的判断与应用．
【解答】
解：直线kx−y−3=0关于直线y=−2对称的直线l的方程为kx−−4−y−3=0，
即kx+y+1=0，对应的函数为y=−kx−1，
所以，直线l与函数y=fx的图象有两个交点，
对于一次函数y=−kx−1，
当x=0时，y=−1，且f0=0，
则直线l与函数y=fx的图象交点的横坐标不可能为0．
当x≠0时，令−kx−1=fx，可得−k=fx+1x，
此时，令gx=fx+1x，
则g(x)=lnx+1x−2，x>0，x+1x+54，x0时，g′x=1x−1x2=x−1x2，
当0