专题54 利用展开图求空间距离最值-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题54   利用展开图求空间距离最值

【方法点拨】

遇到求空间两点间距离的最小值或空间两条线段和的最小值问题，利用降维的思想，应考虑将线段所在平面展开至同一平面内或将侧面展开，将空间问题转化为平面内两点间距离最小问题.

【典型题示例】

例1   （2021·江苏金陵中学期末·16）如图，在正三棱锥P－ABC中，侧棱长为2，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN最小值是       .

【答案】＋1

【分析】由于M、N都是动点，A是定点，可将△PAD沿PD折起，使其所在平面与平面PCE垂直，则求AM＋MN最小值问题即转化为求点A到平面PCE距离的问题.也可将过PD且垂直于平面PCE的△POD折至与面PDA共面，则求AM＋MN最小值问题即转化为点A到直线PO'距离的问题（即解析所给解法）.

【解析】CB中点F,连接DF交CE于点O,

易证得DO⊥面PCE，要求AM＋MN最小，即求MN最小，

可得MN⊥PCE，又可证明MN//DF，再把平面POD绕PD旋转，与面PDA共面，如下图

又可证得∠POD＝90°．

∵PD＝AC，DO＝DF＝×AB＝AB＝1，

∴sin∠OPD＝＝，即∠OPD＝30°，

∴∠APN'＝45°＋30°＝75°，可得sin75°＝，

(AM＋MN)min＝AN'＝PA·sin75°＝＋1．

例2     如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，则这条绳长的最小值为         cm．

【答案】50

【解析】作出圆台的轴截面与侧面展开图，如图所示，

如图1，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得＝，可求得OA＝20 cm.

如图2，设∠BOB′＝α，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10 cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40 cm，

扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.

所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的.

所以OB⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，

所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.

例3     如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=1，E为棱AB的中点．一个点从E出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到E，则整个线路的最小值为           .

【答案】

【解析】如图，将正方体六个面展开，从图中E到E，

两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为.

【巩固训练】

1.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为______ cm.          

2.三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，M和N分别是棱SB和SC上的点，则△AMN周长的最小值为         ．

3. 如下图所示，在单位正方体的面对角线A1B上存在一点P使得最短，则的最小值为　　　　.

4.如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），过圆柱上下底面中心的平面截圆柱侧面得边长为2的正方形ABCD，P是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程为     ．

5.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，则沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为         ．

【答案与提示】

1.【答案】13

【提示】将侧面二次展开，得到长、宽各为12cm、5 cm的矩形，其对角线即为所求．

2.【答案】

【解析】如下图，将三棱锥S－ABC的侧面沿SA展开，显然，共线时最短.

3. 【答案】

【解析】右下图左，将△ABA1沿A1B折起，使之与平面A1D1CB共面，当A、P、D1共线时，AP+D1P取得最小值，在△AA1D1利用余弦定理易得.

4.【答案】

【提示】如上图右，AB=，P、Q关于直线CD对称，PQ＝，由勾股定理立得

5.【答案】

【解析】若将△A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F在同一平面内，则此时EF＝ .若将侧面沿B1B展成平面，则此时EF＝ .若将△A1B1C1沿A1C1折起使得E，F在同一平面内，则此时EF＝.经比较知沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为.